Дыскрымінант

Дыскрыміна́нт (Шаблон:Lang-la — падзяляць, адрозніваць) або адро́знік мнагачлена — лікавая велічыня, якая дазваляе рабіць высновы пра від каранёў мнагачлена і іх узаемнае становішча. Так, для мнагачлена

$P(x)=a_n{x}^n+\dots +a_{1}x+a_0$

дыскрымінант (адрознік) вызначаюць як

$D(P)=a_n^{2n-2}\prod _{1\le i<k\le n}({\alpha }_i-{\alpha }_k{)}^2,$

дзе ${\alpha }_1,{\alpha }_2,\dots ,{\alpha }_n$ − карані мнагачлена Шаблон:Math (г.зн. рашэнні ўраўнення Шаблон:Math) з улікам іх кратнасцей.

Дыскрымінант мнагачлена роўны нулю, калі і толькі калі мнагачлен мае кратны корань.

Дыскрымінант (адрознік) алгебраічнага ураўнення Шаблон:Math вызначаюць як адрознік мнагачлена Шаблон:Math.

Найбольш вядомы дыскрымінант (адрознік) квадратнага ўраўнення.

Дыскрымінант квадратнага ўраўнення

Карані квадратнага ўраўнення

$a{x}^2+bx+c=0$

з рэчаіснымі каэфіцыентамі Шаблон:Math, Шаблон:Math і Шаблон:Math можна вылічыць па формуле

$x_{1,2}=\frac{-b\pm \sqrt{b^2-4ac}}{2a}.$

Колькасць рэчаісных рашэнняў залежыць ад знака выразу пад коранем (так званага падкарэннага выразу).

Гэты выраз

$b^2-4ac$

называюць дыскрымінантам квадратнага ўраўнення

$a{x}^2+bx+c=0$

і абазначаюць праз Шаблон:Math.

• Калі Шаблон:Math, падкарэнны выраз дадатны, і таму формула дае два розныя рэчаісныя рашэнні $x_1$ і $x_2$.
• Калі Шаблон:Math, значэнне квадратнага кораня роўнае нулю, таму формула дае адно рэчаіснае значэнне (яно будзе двухкратным коранем ураўнення, або коранем кратнасці 2).
• Калі Шаблон:Math, квадратны корань з адмоўнага выразу не вызначан у полі рэчаісных лікаў $ℝ$. Таму рэчаісных каранёў няма. Аднак становішча змяняецца, калі разглядаць рашэнні над полем камплексных лікаў; у гэтым выпадку маем два (не рэчаісныя) рашэнні, якія з'яўляюцца камплексна спалучанымі адзін да аднаго.

Заўвага. Як выразна відаць з вышэйсказанага, значэнне дыскрымінанта (адрозніка) дазваляе адрозніваць выпадкі становішча каранёў ураўнення, адсюль і назва.

Азначэнне ў агульным выпадку

Няхай $f(x)=a_n{x}^n+\dots +a_{1}x+a_0\in R[x]$ − мнагачлен Шаблон:Math-ай ступені ад адной зменнай над абсягам цэласнасці Шаблон:Math (перастаўляльным колцам з адзінкай і без дзельнікаў нуля). Няхай Шаблон:Math ёсць поле раскладання мнагачлена $f$ (г.зн. у гэтым полі мнагачлен $f$ раскладваецца на лінейныя множнікі).

Тады адрознік (дыскрымінант) мнагачлена вызначаюць як

$D(f)=a_n^{2n-2}\prod _{1\le i<j\le n}({\alpha }_i-{\alpha }_j{)}^2,$

дзе ${\alpha }_1,\dots ,{\alpha }_n$ − карані мнагачлена $f$, якія ляжаць у полі Шаблон:Math.

Заўвага. Можна паказаць, што для любога мнагачлена над нейкім абсягам цэласнасці Шаблон:Math існуе поле раскладання. Так, поле дзелей Шаблон:Math колца Шаблон:Math з'яўляецца найменшым полем, якое змяшчае колца Шаблон:Math. І ў якасці поля раскладання Шаблон:Math можна ўзяць алгебраічнае замыканне поля Шаблон:Math.

Уласцівасці дыскрымінанта

Сувязь з рэзультантам

Няхай поле Шаблон:Math мае нулявую характарыстыку.

Тады адрознік (дыскрымінант) мнагачлена $f(x)=a_n{x}^n+\dots +a_{1}x+a_0$ над полем Шаблон:Math можна вылічыць як рэзультант мнагачлена $f$ і яго вытворнай $f^{\prime }$, падзелены на старшы каэфіцыент $a_n$:

$D(f)=\frac{(-1{)}^{n(n-1)/2}}{a_n}R(f,f^{\prime }).$

Адсюль вынікае тоеснасць

$D(f)=(-1{)}^{n(n-1)/2}{a}_n^{n-2}\prod _{i=1}^n{f}^{\prime }({\alpha }_i).$

Адрознік як функцыя ад каэфіцыентаў мнагачлена

Рэзультант мнагачлена $f(x)=a_n{x}^n+\dots +a_{1}x+a_0$ і яго вытворнай $f^{\prime }(x)=n{a}_n{x}^{n-1}+\dots +a_1$ роўны вызначніку пэўнай Шаблон:Math-матрыцы (так званай матрыцы Сільвестра). Таму, калі поле Шаблон:Math мае нулявую характарыстыку, з выразу адрозніка праз рэзультант вынікае формула:

$D(f)=\frac{(-1{)}^{\frac{1}{2}n(n-1)}}{a_n}\det \left(\begin{array}{cccccccc}{a}_n& a_{n-1}& \cdots & a_1& a_0& 0& \cdots & 0\\ 0& a_n& a_{n-1}& \cdots & a_1& a_0& \cdots & 0\\ ⋮& \ddots & \ddots & \ddots & \ddots & \ddots & \ddots & 0\\ 0& 0& 0& a_n& a_{n-1}& \cdots & a_1& a_0\\ n{a}_n& (n-1)a_{n-1}& \cdots & 1a_1& 0& 0& \cdots & 0\\ 0& n{a}_n& (n-1)a_{n-1}& \cdots & 1a_1& 0& \cdots & 0\\ ⋮& \ddots & \ddots & \ddots & \ddots & \ddots & \ddots & ⋮\\ 0& 0& 0& n{a}_n& (n-1)a_{n-1}& \cdots & 1a_1& 0\\ 0& 0& 0& 0& n{a}_n& (n-1)a_{n-1}& \cdots & 1a_1\end{array}\right).$

Пры вылічэнні вызначніка з першага слупка можна вынесці множнік $a_n$, які скароціцца.

Прыклады

• Адрознік квадратнага мнагачлена Шаблон:Math роўны

  $D=b^2-4ac.$

• Адрознік кубічнага мнагачлена Шаблон:Math раўняецца

  $D=b^2{c}^2-4a{c}^3-4b^{3}d-27a^2{d}^2+18abcd.$

• Адрознік мнагачлена чацвёртай ступені Шаблон:Math роўны

  $D=\left|\begin{array}{ccccccc}1& a_3& a_2& a_1& a_0& 0& 0\\ 0& a_4& a_3& a_2& a_1& a_0& 0\\ 0& 0& a_4& a_3& a_2& a_1& a_0\\ 4& 3a_3& 2a_2& 1a_1& 0& 0& 0\\ 0& 4a_4& 3a_3& 2a_2& 1a_1& 0& 0\\ 0& 0& 4a_4& 3a_3& 2a_2& 1a_1& 0\\ 0& 0& 0& 4a_4& 3a_3& 2a_2& 1a_1\end{array}\right|.$

Гл. таксама

• Рэзультант
• Дыскрымінант поля

Літаратура

• Ван дер Варден Б. Л. Алгебра. М.: Наука, 1975.
• Матэматычная энцыклапедыя. Гал. рэд. В. І. Бернік. Мн.: Тэхналогія, 2001.

Спасылкі

• Шаблон:MathWorld

Шаблон:Алгебраічныя ўраўненні