Корань мнагачлена

Корань мнагачлена (не роўнага тоесна нулю)

$a_0+a_{1}x+\dots +a_n{x}^n$

над полем k — гэта элемент $c\in k$ (альбо элемент пашырэння поля k), такі, што выконваюцца дзве наступныя раўназначныя ўмовы:

• дадзены мнагачлена дзеліцца на мнагачлен $x-c$;
• падстаноўка элемента c замест x ператварае ўраўненне

$a_0+a_{1}x+\dots +a_n{x}^n=0$

у тоеснасць.

Раўназначнасць дзвюх фармулёвак вынікае з тэарэмы Безу. У розных крыніцах нейкая адна з іх выбіраецца ў якасці азначэння, а другая выводзіцца ў якасці тэарэмы.

Кажуць, што корань $c$ мае кратнасць $m$, калі мнагачлен дзеліцца на $(x-c{)}^m$ і не дзеліцца на $(x-c{)}^{m+1}.$ Напрыклад, мнагачлен $x^2-2x+1$ мае адзіны корань роўны $1$, кратнасці 2. Выраз «кратны корань» азначае, што кратнасць кораня большая за адзінку.

Уласцівасці

• Лік каранёў мнагачлена ступені $n$ не перавышае $n$ нават у тым выпадку, калі кожны корань улічваць столькі разоў, якая яго кратнасць.
• Кожны мнагачлен $p(x)$ з камплекснымі каэфіцыентамі мае прынамсі адзін, наогул кажучы, камплексны, корань (асноўная тэарэма алгебры).
  • Аналагічнае сцвярджэнне справядліва для любога алгебраічна замкнёнага поля (па азначэнню).
  • Больш таго, мнагачлен з рэчаіснымі каэфіцыентамі $p(x)$ можна запісаць у выглядзе

$p(x)=a_n(x-c_1)(x-c_2)\dots (x-c_n),$

дзе $c_1,c_2,\dots ,c_n$ — (у агульным выпадку камплексныя) карані мнагачлена $p(x)$, магчыма з паўторамі, пры гэтым калі сярод каранёў $c_1,c_2,\dots ,c_n$ мнагачлена $p(x)$ сустракаюцца роўныя, то агульнае іх значэнне называецца кратным коранем.

• Лік камплексных каранёў мнагачлена з камплекснымі каэфіцыентамі ступені n, улічваючы кратныя карані кратную колькасць разоў, роўны n. Пры гэтым усе чыста камплексныя карані (калі яны ёсць) мнагачлена з рэчаіснымі каэфіцыентамі можна разбіць на пары спалучаных аднолькавай кратнасці, такім чынам, мнагачлен цотнай ступені з рэчаіснымі каэфіцыентамі можа мець толькі цотную колькасць рэчаісных каранёў, а няцотнай — толькі няцотную.
• Карані мнагачлена звязаныя з яго каэфіцыентамі формуламі Віета.

Гл. таксама

• Схема Горнера
• Нуль функцыі