Асноўная тэарэма алгебры
Асно́ўная тэарэ́ма а́лгебры сцвярджае, што поле камплексных лікаў алгебраічна замкнута, г. зн.
Шаблон:Рамка Усякі непастаянны мнагачлен (ад аднае зменнай) з камплекснымі каэфіцыентамі мае па меншай меры адзін корань на полі камплексных лікаў. Шаблон:/рамка Дадзенае сцвярджэнне справядліва і для мнагачленаў з рэчаіснымі каэфіцыентамі, бо ўсякі рэчаісны лік з'яўляецца камплексным, з нулявой уяўнай часткай.
Не існуе строга алгебраічнага доказу тэарэмы — усе наяўныя прыцягваюць неалгебраічныя канцэпцыі, накшталт паўнаты мноства рэчаісных лікаў або тапалогіі камплекснай плоскасці. Да таго ж, тэарэма не з'яўляецца «асноўнай» у сучаснай алгебры — яна атрымала гэту назву ў часы, калі асноўным напрамкам алгебры быў пошук рашэнняў алгебраічных ураўненняў з рэчаіснымі і камплекснымі каэфіцыентамі.
Доказ
Самы просты доказ гэтай тэарэмы даецца метадамі камплекснага аналізу. Выкарыстоўваецца той факт, што функцыя, якая аналітычная на ўсёй камплекснай плоскасці і не мае асаблівасцей на бесканечнасці, ёсць канстанта. Таму функцыя 1/p, дзе p — мнагачлен, павінна мець хоць адзін полюс на камплекснай плоскасці, і адпаведна, мнагачлен мае хоць адзін корань.
Вынік
Прамым вынікам з тэарэмы з'яўляецца тое, што любы мнагачлена ступені Шаблон:Math над полем камплексных лікаў мае ў ім роўна Шаблон:Math каранёў, з улікам іх кратнасці.
Доказ выніку
У мнагачлена ёсць корань , значыць, па тэарэме Безу, яго можна запісаць у выглядзе , дзе — іншы мнагачлен. Прыменім тэарэму да і будзем прымяняць яе такім жа чынам да таго часу, пакуль на месцы не апынецца лінейны множнік.
Гісторыя
Як здагадка гэтая тэарэма ўпершыню сустракаецца ў нямецкага матэматыка Пітэра Роўтэ (пам. 1617). Першыя доказы асноўнай тэарэмы алгебры належаць Жырару, 1629 г., і Дэкарту, 1637 г., у фармулёўцы, якая адрозніваецца ад сучаснай. Маклорэн і Эйлер удакладнілі фармулёўку, надаўшы ёй форму, раўназначную сучаснай:
Шаблон:Рамка Усякі мнагачлен з рэчаіснымі каэфіцыентамі можна раскласці ў здабытак лінейных і квадратычных множнікаў з рэчаіснымі каэфіцыентамі. Шаблон:/рамка
Д'Аламбер першым у 1746 годзе апублікаваў доказ гэтай тэарэмы. Ён грунтаваўся на леме, што для любога пункта, які не з'яўляецца коранем мнагачлена, знойдзецца пункт з меншым модулем мнагачлена ў ім, г.зн.
Гэты доказ быў бы строгім, калі б Д'Аламбер мог даказаць, што на камплекснай плоскасці значэнне модуля мнагачлена дасягае найменшага значэння. У другой палавіне XVIII стагоддзя з'яўляюцца доказы Эйлера, Лапласа, Лагранжа і іншых. Ва ўсіх гэтых доказах дапускаецца, што нейкія «ідэальныя» карані мнагачлена існуюць, а затым даказваецца, што прынамсі адзін з іх з'яўляецца камплексным лікам.
Гаус першым даў доказ без гэтага дапушчэння, адзіным выкарыстаным ім, але недаказаным сцвярджэннем была тэарэма Бальцана — Кашы для мнагачлена. Яна сцвярджае, што мнагачлен з рэчаіснымі каэфіцыентамі, які прымае як дадатнае, так і адмоўнае значэнне, мае корань. Доказ Гауса, па сутнасці, утрымлівае пабудову поля раскладання мнагачлена.