Тэарэма Безу

Тэарэма Безу сцвярджае, што астача ад дзялення мнагачлена $P(x)$ на мнагачлен $(x-a)$ роўная $P(a)$.

Будзем лічыць, што каэфіцыенты мнагачлена змяшчаюцца ў некаторым камутатыўным кальцы з адзінкай (напрыклад, у полі рэчаісных ці камплексных лікаў).

Доказ

Падзелім з астачаю мнагачлен $P(x)$ на мнагачлен $x-a$:

$P(x)=(x-a)Q(x)+R(x).$

Паколькі $\mathrm{deg}R(x)<\mathrm{deg}(x-a)=1$, то $R(x)$ — мнагачлен ступені не вышэй чым 0. Падстаўляючы $x=a$, маем $(a-a)Q(a)=0$, і таму $P(a)=R(a)$.

Вынікі

• Лік $a$ з'яўляецца коранем мнагачлена $p(x)$ тады і толькі тады, калі $p(x)$ дзеліцца без астачы на двухчлен $x-a$ (адсюль, сярод іншага вынікае, што мноства каранёў мнагачлена $P(x)$ тоеснае з мноствам каранёў адпаведнага ўраўнення $P(x)=0$).
• Свабодны член мнагачлена з цэлымі каэфіцыентамі дзеліцца на любы цэлы корань мнагачлена (калі старшы каэфіцыент роўны 1, то ўсе рацыянальныя карані з'яўляюцца і цэлымі).
• Няхай $a$ — цэлы корань прыведзенага мнагачлена $A(x)$ з цэлымі каэфіцыентамі. Тады для любога цэлага $k$ лік $A(k)$ дзеліцца на $a-k$.

Прыкладанні

Тэарэма Безу і вынікі з яе дазваляюць лёгка знаходзіць рацыянальныя карані алгебраічных ураўненняў з рацыянальнымі каэфіцыентамі.

Гл. таксама

• Асноўная тэарэма алгебры