Рэзультант

РэзультаШаблон:Націскнт − лікавая велічыня, якая дазваляе праверыць два мнагачлены на наяўнасць агульных каранёў. З дапамогай рэзультанта можна звесці развязанне сістэмы алгебраічных ураўненняў да развязання аднаго ўраўнення з адным невядомым.

Азначэнне

Рэзультант вызначаюць або праз вызначнік матрыцы Сільвестра, або праз карані мнагачленаў. Абодва гэтыя азначэнні раўназначныя, і калі адно з іх прыняць за зыходнае, то другое атрымліваецца як вынік.

Праз вызначнік матрыцы Сільвестра

Для двух мнагачленаў

$f(x)=a_n{x}^n+a_{n-1}{x}^{n-1}+\dots +a_{1}x+a_0,$

$g(x)=b_m{x}^m+b_{m-1}{x}^{m-1}+\dots +b_{1}x+b_0$

рэзультант азначаюць як вызначнік матрыцы (так званай матрыцы Сільвестра) парадку Шаблон:Math:

$R(f,g)=\left|\begin{array}{ccccc}{a}_n& a_{n-1}& \dots & a_1& a_0\\ & a_n& a_{n-1}& \dots & a_1& a_0\\ & & \ddots & \ddots & \dots & \ddots & \ddots \\ & & & a_n& a_{n-1}& \dots & a_1& a_0\\ b_m& b_{m-1}& \dots & b_1& b_0\\ & b_m& b_{m-1}& \dots & b_1& b_0\\ & & \ddots & \ddots & \dots & \ddots & \ddots \\ & & & b_m& b_{m-1}& \dots & b_1& b_0\end{array}\right|,$

дзе на свабодных месцах стаяць нулі.

Праз карані мнагачленаў

Няхай

$f(x)=a_n{x}^n+a_{n-1}{x}^{n-1}+\dots +a_{1}x+a_0,$

$g(x)=b_m{x}^m+b_{m-1}{x}^{m-1}+\dots +b_{1}x+b_0.$

Калі ${\alpha }_1,{\alpha }_2,\dots ,{\alpha }_n$ − карані мнагачлена Шаблон:Math, а ${\beta }_1,{\beta }_2,\dots ,{\beta }_m$ − карані Шаблон:Math, то рэзультант вызначаюць як

$R(f,g)=a_n^m{b}_m^n\prod _{\genfrac{}{}{0ex}{}{1\le i\le n}{1\le k\le m}}({\alpha }_i-{\beta }_k).$

Уласцівасці

• Рэзультант пары мнагачленаў роўны нулю, калі і толькі калі яны маюць агульны корань.

Тоеснасці

Няхай Шаблон:Math і Шаблон:Math − мнагачлены, і Шаблон:Math, Шаблон:Math.

• $R(f,g)=a_n^m\prod _{i=1}^{n}g({\alpha }_i)=(-1{)}^{m\cdot n}{b}_m^n\prod _{k=1}^{m}f({\beta }_k)$

• $R(g,f)=(-1{)}^{m\cdot n}R(f,g)$

• $R(fh,g)=R(f,g)R(h,g)$

• Калі Шаблон:Math і Шаблон:Math, то

  $R(p,g)=R(f,g)$

Сувязь з дыскрымінантам (адрознікам)

Няхай поле Шаблон:Math мае нулявую характарыстыку. Тады для любога мнагачлена $f(x)=a_n{x}^n+\dots +a_{1}x+a_0\in K[x]$ праўдзіцца тоеснасць

$a_{n}D(f)=(-1{)}^{n(n-1)/2}R(f,f^{\prime }).$

Гл. таксама

• Дыскрымінант

Крыніцы і спасылкі

• Шаблон:MathWorld