Матрыца (матэматыка)

Шаблон:Значэнні Матрыца — табліца пэўных элементаў (найчасцей — лікаў). Матрыцы выкарыстоўваюцца для вырашэння сістэм лінейных ураўненняў і для лінейных пераўтварэнняў.

Абазначэнні

Матрыца складаецца са слупкоў і радкоў. Калі яна складаецца з $n$ радкоў і $m$ слупкоў, то кажуць, што памер матыцы роўны $n*m$. Элемент, які знаходзіцца ў i-тым радку і j-тым слупку абазначаецца $a_{ij}$ .

Матрыца, у якой колькасць радкоў ці слупкоў роўная 1, называецца вектарам.

Матрыцы называюцца роўнымі, калі іх адпаведныя элементы роўныя паміж сабой:

$A=B:a_{ij}=b_{ij}$ .

Прыклад

$A=\left[\begin{array}{cccc}3& 0& -2& 4\\ 4& 10& 0& 1\end{array}\right]$

А — матрыца памера $2*4$. Складаецца з 2-х радкоў і 4-х слупкоў.

Аперацыі з матрыцамі

Сума

Складанне матрыц заключаецца ў складанні іх адпаведных элементаў. Каб матрыцы можна было скласці, іх памеры павінны супадаць.

$C=A+B:c_{ij}=a_{ij}+bij$

Памнажэнне на лік

Каб памножыць матрыцу на лік, трэба памножыць кожны яе элемент на гэты лік.

$2\left[\begin{array}{ccc}1& 8& -3\\ 4& -2& 5\end{array}\right]=\left[\begin{array}{ccc}2\times 1& 2\times 8& 2\times -3\\ 2\times 4& 2\times -2& 2\times 5\end{array}\right]=\left[\begin{array}{ccc}2& 16& -6\\ 8& -4& 10\end{array}\right]$

Здабытак

Каб перамножыць 2 матрыцы, трэба каб колькасць слупкоў у першай супадала з колькасццю радкоў ў 2-ой. Здабытак будзе мець радкоў як у першай і слупкоў як ў 2-ой матрыцы. Кожны элемент здабытку вылічваецца па наступнай формуле:

Сістэмы лінейных ураўненняў

Сістэму лінейных ураўненняў

$a_{11}{x}_1+a_{12}{x}_2+\cdots +a_{1n}=b_1$

$a_{21}{x}_1+a_{22}{x}_2+\cdots +a_{2n}=b_2$

$\cdots \cdots \cdots \cdots \cdots$

$a_{n1}{x}_1+a_{n2}{x}_2+\cdots +a_{nn}=b_n$

можна запісаць у выглядзе здабытку

$AX=B$

Рашэнне гэтай сістэмы заключаецца ў знаходжанні адваротнай матрыцы А-1, бо калі мы памножым папярэдняе ўраўненне на гэтую матрыцу

$A^{-1}AX=A^{-1}B$

то зможам атрымаць слупок

$X=A^{-1}B$

Віды матрыц

• Нулявая матрыца — матрыца, ў якой усе элементы роўныя 0.
• Квадратная матрыца — матрыца, у якой колькасць радкоў і слупкоў супадае.
• Адзінкавая матрыца — матрыца, у якой усе элементы, якія знаходзяцца на асноўнай дыяганалі (аій: і=й) роўныя адзінцы, а ўсе астатнія роўныя 0.
• Выраджаная матрыца — матрыца, дэтэрмінант якой роўны 0.
• Транспанаваная матрыца — матрыца, у якой слупкі і радкі перамененыя месцамі.
• Адваротная матрыца — матрыца, памнажэнне на якую дае адзінкавую матрыцу.
• Сіметрычная матрыца — матрыца, якая супадае са сваёй транспанаванай матрыцай.
• Трохвугольная матрыца — матрыца, у якой усе элементы ніжэй (вышэй) асноўнай дыяганалі роўныя 0.

Гл. таксама

• Жарданава матрыца