Жарданава матрыца

Жарданава матрыца (нармальная жарданава форма) — адно з фундаментальных паняццяў лінейнай алгебры, якое мае вялікі лік прымяненняў у розных раздзелах матэматыкі і фізікі.

Жарданавай матрыцай называецца квадратная блокава-дыяганальная матрыца над полем $𝕂$, з блокамі выгляду

$J_{\lambda }=\left(\begin{array}{cccccc}\lambda & 1& 0& \cdots & 0& 0\\ 0& \lambda & 1& \cdots & 0& 0\\ 0& 0& \lambda & \ddots & 0& 0\\ ⋮& ⋮& \ddots & \ddots & \ddots & ⋮\\ 0& 0& 0& \ddots & \lambda & 1\\ 0& 0& 0& \cdots & 0& \lambda \end{array}\right),$

пры гэтым кожны блок $J_{\lambda }$ называецца жарданавай клеткай з уласным значэннем $\lambda$ (уласныя значэнні ў розных блоках, наогул кажучы, могуць супадаць).

Згодна з тэарэмай аб жарданавай нармальнай форме, для адвольнай квадратнай матрыцы $A$ над алгебраічна замкнёным полем $𝕂$ (напрыклад, полем камплексных лікаў $𝕂=ℂ$) існуе квадратная нявыраджаная (гэта значыць адваротная, з вызначніком, які адрозніваецца ад нуля) матрыца $C$ над $𝕂$, такая, што

$J=C^{-1}AC$

з'яўляецца жарданавай матрыцай. Пры гэтым $J$ называецца жарданавай формай (або жарданавай нармальнай формай) матрыцы $A$. У гэтым выпадку таксама кажуць, што жарданава матрыца $J$ ў поле $𝕂$ падобная (або спалучаная) дадзенай матрыцы $A$. І наадварот, у сілу эквівалентных суадносін

$A=CJ{C}^{-1}$

матрыца $A$ падобная ў поле $𝕂$ матрыцы $J$. Няцяжка паказаць, што ўведзеныя такім чынам адносіны падабенства з'яўляюцца адносінамі эквівалентнасці і разбіваюць мноства ўсіх квадратных матрыц зададзенага парадку над дадзеным полем на класы эквівалентнасці, якія не перасякаюцца. Жарданава форма матрыцы вызначана не адназначна, а з дакладнасцю да парадку жарданавых клетак. Дакладней, дзве жарданавыя матрыцы падобныя над $𝕂$ ў тым і толькі ў тым выпадку, калі яны складзеныя з адных і тых жа жарданавых клетак і адрозніваюцца адзін ад аднаго толькі размяшчэннем гэтых клетак на галоўнай дыяганалі.

Уласцівасці

• Колькасць жарданавых клетак парадку $n$ з уласным значэннем $\lambda$ ў жарданавай форме матрыцы $A$ можна вылічыць па формуле

  $c_n(\lambda )=\mathrm{rank}(A-\lambda I{)}^{n-1}-2\mathrm{rank}(A-\lambda I{)}^n+\mathrm{rank}(A-\lambda I{)}^{n+1},$

дзе $I$ — адзінкавая матрыца таго ж парадку, што і $A$, сімвал $\mathrm{rank}$ пазначае ранг матрыцы, а $\mathrm{rank}(A-\lambda I{)}^0$, па вызначэнні, роўны парадку $A$. Вышэйпрыведзеная формула вынікае з роўнасці

$\mathrm{rank}(A-\lambda I)=\mathrm{rank}(J-\lambda I).$

• У выпадку, калі поле $𝕂$не з'яўляецца алгебраічна замкнёным, для таго каб матрыца $A$ была падобная над $𝕂$ некаторай жордановой матрыцы, неабходна і дастаткова, каб поле $𝕂$ змяшчала ўсе карані характарыстычнага мнагачлена матрыцы $A$.
• У эрмітавай матрыцы ўсе жарданавы клеткі маюць памер 1.
• З'яўляецца матрыцай лінейнага аператара ў кананічным базісе.
• Жарданавы формы двух падобных матрыц супадаюць з дакладнасцю да парадку клетак.

Гісторыя

Такая форма матрыцы разглядалася адным з першых Жарданам.

Варыяцыі і абагульненні

• Над полем рэчаісных лікаў уласныя значэнні матрыцы (гэта значыць карані характарыстычнага мнагачлена) могуць быць як рэчаіснымі, так і камплекснымі, прычым камплексныя ўласныя значэння, калі яны ёсць, прысутнічаюць парамі разам са сваімі камплексна спалучанымі: ${\lambda }_{1,2}=\alpha \pm i\beta$, дзе $\alpha$ и $\beta$ — рэчаісныя лікі, $\beta \ne 0$. У рэчаіснай прасторы такой пары комплексных ўласных значэнняў адказвае блок $J_{{\lambda }_{1,2}}$, і да згаданага вышэй выгляду жарданавых матрыц дадаюцца матрыцы, якія змяшчаюць таксама блокі выгляду $J_{{\lambda }_{1,2}}$, якія адказваюць парам камплексных уласных значэнняў:

$J_{{\lambda }_{1,2}}=\left(\begin{array}{ccccccccccc}\alpha & \beta & 1& 0& 0& 0& \cdots & 0& 0& 0& 0\\ -\beta & \alpha & 0& 1& 0& 0& \cdots & 0& 0& 0& 0\\ 0& 0& \alpha & \beta & 1& 0& \cdots & 0& 0& 0& 0\\ 0& 0& -\beta & \alpha & 0& 1& \ddots & 0& 0& 0& 0\\ ⋮& ⋮& \ddots & \ddots & \ddots & \ddots & \ddots & ⋮& ⋮& ⋮& ⋮\\ ⋮& ⋮& ⋮& \ddots & \ddots & \ddots & \ddots & \ddots & ⋮& ⋮& ⋮\\ ⋮& ⋮& ⋮& ⋮& \ddots & \ddots & \ddots & \ddots & \ddots & ⋮& ⋮\\ 0& 0& 0& 0& 0& 0& \cdots & \alpha & \beta & 1& 0\\ 0& 0& 0& 0& 0& 0& \cdots & -\beta & \alpha & 0& 1\\ 0& 0& 0& 0& 0& 0& \cdots & 0& 0& \alpha & \beta \\ 0& 0& 0& 0& 0& 0& \cdots & 0& 0& -\beta & \alpha \end{array}\right).$

• Тэарэма аб жарданавай нармальнай форме з'яўляецца прыватным выпадкам тэарэмы аб структуры канечнаспароджаных модуляў над абласцямі галоўных ідэалаў. Сапраўды, класіфікацыя матрыц адпавядае класіфікацыі лінейных аператараў, а вектарныя прасторы над полем $𝕂$ з фіксаваным лінейным аператарам біектыўна адпавядаюць модулям над кальцом мнагачлена $𝕂[x]$ (множанне вектара на $x$ задаецца як прымяненне лінейнага аператара) .
• Акрамя жарданавай нармальнай формы, разглядаюць шэраг іншых тыпаў нармальных форм матрыцы (напрыклад, фробеніўсава нармальная форма). Да іх разгляду звяртаюцца, у прыватнасці, калі асноўнае поле не змяшчае ўсіх каранёў характарыстычнага мнагачлена дадзенай матрыцы.

Літаратура

• Шаблон:Кніга
• Гантмахер Ф. Р. Теория матриц. — Шаблон:М.: Наука, 1966. — 576 с.
• Хорн Р. (Roger A. Horn), Джонсон Ч. (Charles C. Johnson). Матричный анализ. — Шаблон:М.: Мир, 1989, 655 с., ил. (ISBN 5-03-001042-4).
• Гельфанд И. М. Лекции по линейной алгебре М.: Наука, 1971.
• Фаддеев Д. К. Лекции по алгебре. М.: Наука, 1984.
• Шафаревич И. Р., Ремизов А. О. Линейная алгебра и геометрия, — Физматлит, Москва, 2009.
• Ким, Г. Д. Линейная алгебра и аналитическая геометрия, Москва, 2005.
• В. В. Колыбасова, Н. Ч. Крутицкая, А. В. Овчинников. Жорданова форма матрицы оператора Шаблон:Архівавана
• P. Aluffi. Algebra: Chapter 0 (Graduate Studies in Mathematics). — American Mathematical Society, 2009 — ISBN 0-8218-4781-3.