Лінейная алгебра

Лінейная алгебра — раздзел алгебры, які вывучае аб’екты лінейнай прыроды: вектары, вектарныя, або лінейныя прасторы, лінейныя адлюстраванні і сістэмы лінейных ураўненняў, сярод асноўных інструментаў, якія выкарыстоўваюцца ў лінейнай алгебры — вызначальнікі, матрыцы, спалучэнне. Тэорыя інварыянтаў і тэнзарныя вылічэнні звычайна таксама лічацца часткамі лінейнай алгебры.

Вектарныя прасторы сустракаюцца ў матэматыцы і яе прыкладаннях паўсюдна. Лінейная алгебра шырока выкарыстоўваецца ў абстрактнай алгебры і функцыянальным аналізе, шырока прымяняецца ў прыродазнаўчых навуках.

Гісторыя

Першыя элементы лінейнай алгебры вынікалі з практычных вылічальных задач вакол рашэння лінейных ураўненняў, у прыватнасці, такія арыфметычныя прыёмы, як Шаблон:Нп5 і Шаблон:Нп5 былі сфармуліраваны яшчэ ў старажытнасці. У «Пачатках» Еўкліда фігуруюць дзве тэорыі «лінейнага» характару: тэорыя велічыні і тэорыя цэлых лікаў. Блізкія да сучасных матрычных метадаў падыходы да рашэнняў сістэм лінейных ураўненняў ёсць у вавілонян (сістэмы з двух ураўненняў з дзвюма пераменнымі) і старажытных кітайцаў (у «Матэматыка ў дзевяці кнігах», да трох ураўненняў з трыма пераменнымі)Шаблон:Sfn. Аднак пасля дасягнення нявызначанасці з асноўнымі пытаннямі знаходжання рашэнняў сістэм лінейных ураўненняў развіццё раздзела практычна не адбывалася, і нават у канцы XVIII — пачатку XIX ст. лічылася, што праблем адносна ўраўненняў першай ступені больш не існуе, прытым сістэмы лінейных ураўненняў з лікам пераменных, якія адрозніваюцца ад колькасці ўраўненняў або з лінейна-залежнымі каэфіцыентамі ў левай часты проста лічыліся некарэктныміШаблон:Sfn.

Метады, якія сфарміравалі лінейную алгебру як самастойную галіну матэматыкі, уваходзяць каранямі ў іншыя раздзелы. Ферма ў 1630-е гады, стварыў класіфікацыю плоскіх крывых, увёў у матэматыку (ключавы для лінейнай алгебры) прынцып памернасці і раздзяліў задачы аналітычнай геаметрыі паводле ліку невядомых (з адным невядомым — шуканне кропкі, з дзвюма — крывой або геаметрычнага месца на плоскасці, з трыма — паверхні). Эйлер стварыў класіфікацыю крывых паводле парадкаў, звярнуўшы ўвагу на лінейны характар пераўтварэнняў каардынатаў, увёў у зварот паняцце афіннага пераўтварэння (і само слова «афіннасць»)Шаблон:Sfn.

Першае ўвядзенне паняцця вызначальнік для мэт рашэння сістэм лінейных ураўненняў адносяць да Лейбніца (1678 Шаблон:Sfn або 1693 годШаблон:Sfn), але гэтыя работы не былі апублікаваны. Таксама вызначальнік ёсць у працах Сэкі Такакадзу 1683 года, у якіх ён абагульніў метад рашэння сістэм лінейных ураўненняў з старажытнакітайскай «Матэматыкі ў дзевяці кнігах» да $n$ ураўненняў з $n$ невядомыміШаблон:Sfn. Маклорэн, фактычна выкарыстоўваючы найпрасцейшыя вызначальнікі ў трактаце, які выйшаў у 1748 годзе прыводзіць рашэнні сістэм з двух лінейных ураўненняў з дзвюма невядомымі і трох ураўненняў з трыма невядомыміШаблон:Sfn. Крамер і Безу ў працах па праблеме шукання плоскай крывой, якая праходзіць праз зададзеную кропку, зноў стварылі гэтае паняцце (правіла Крамера сфармуліраванае ў 1750 годзе), Вандэрмонд і Лагранж далі індуктыўнае азначэнне для выпадкаў $n > 3$ Шаблон:Sfn, а цэласнае азначэнне і канечныя ўласцівасці вызначальнікаў далі Кашы (1815) і Якобі (1840-е гады)Шаблон:Sfn. Гаўсу (каля 1800 года) належыць фармалізацыя метаду паслядоўнага выключэння пераменных для рашэння гэтых задач, які стаў вядомым пад яго імемШаблон:Sfn (хаця па сутнасці для рашэння сістэм лінейных ураўненняў менавіта гэты метад і выкарыстоўваўся са старажытнасціШаблон:Sfn).