Адзінкавая матрыца

Адзінкавая матрыца — квадратная матрыца, элементы галоўнай дыяганалі якой роўныя адзінцы поля, а астатнія роўныя нулю.

Азначэнне

Квадратная матрыца $E_n=(e_{ij})$ памеру (парадку $n$), дзе $e_{ii}=1$ для ўсякага $i\in \overline{1,n}$ для ўсякіх $i\ne j$, называецца адзінкавай матрыцай парадку $n$.

Адзінкавую матрыцу можна вызначыць як матрыцу $(e_{ij})$, у якой $e_{ij}={\delta }_{ij}$, де ${\delta }_{ij}$ — сімвал Кронэкера.

Адзінкавая матрыца з’яўляецца частковым выпадкам скалярнай матрыцы.

Абазначэнне

Адзінкавая матрыца памеру $n\times n$ звычайна абазначаецца $E_n$ і мае выгляд:

$E_n=\left[\begin{array}{cccc}1& 0& \cdots & 0\\ 0& 1& \cdots & 0\\ \cdots & \cdots & \cdots & \cdots \\ 0& 0& \cdots & 1\end{array}\right],$

Гэтак жа выкарыстоўваецца і іншае пазначэнне: $I_n$.

Калі з кантэксту ясна, якога памеру матрыца, то ніжні індэкс (які паказвае парадак) апускаецца: $E$, $I$.

Уласцівасці

• Здабытак любой матрыцы і адзінкавай матрыцы падыходнага памеру роўны самой матрыцы:

$AE=EA=A$

• Квадратная матрыца ў нулявой ступені дае адзінкавую матрыцу таго ж памеру:

$A^0=E$

• Пры памнажэнні матрыцы на адваротную ёй таксама атрымліваецца адзінкавая матрыца:

$A{A}^{-1}=E$

• Адзінкавая матрыца атрымліваецца пры памнажэнні артаганальнай матрыцы на яе транспанаваную матрыцу:

$A{A}^T=E$

• Вызначнік адзінкавай матрыцы роўны адзінцы:

$\mathrm{d}\mathrm{e}\mathrm{t}E=1$.

Прыклады

Адзінкавыя матрыцы першых парадкаў маюць выгляд

$E_1=\left(\begin{array}{c}1\end{array}\right),E_2=\left(\begin{array}{cc}1& 0\\ 0& 1\end{array}\right),E_3=\left(\begin{array}{ccc}1& 0& 0\\ 0& 1& 0\\ 0& 0& 1\end{array}\right)$

Заўвага

Калі ўзяць дзве матрыцы — матрыцу $A$ і адзінкавую $E$ — то, прывядзеннем матрыцы $A$ да адзінкавай метадам Гауса, можна дамагчыся адначасовага прывядзення матрыцы $E$ да матрыцы $A^{-1}$ наступным чынам: неабходна вырабляць над адзінкавай матрыцай тыя ж пераўтварэнні, якія вырабляюцца пры прывядзенні $A$ да адзінкавай. Матрыца, атрыманая з адзінкавай матрыцы $E$ будзе роўная $A^{-1}$.

Гл. таксама

• Нулявая матрыца