Адваротная матрыца

Адваротная матрыца — такая матрыца A⁻¹, пры дамнажэнні на якую, зыходная матрыца A дае ў выніку адзінкавую матрыцу E:

$A{A}^{-1}=A^{-1}A=E.$

Квадратная матрыца абарачальная тады і толькі тады, калі яна нявыраджаная, гэта значыць яе вызначнік не роўны нулю. Для неквадратных матрыц і выраджаных матрыц адваротных матрыц не існуе. Аднак магчыма абагульніць гэта паняцце і ўвесці псеўдаадваротныя матрыцы, падобныя на адваротныя па многіх уласцівасцях.

Уласцівасці адваротнай матрыцы

• $\det A^{-1}=\frac{1}{\det A},$ дзе $\det$ абазначае вызначнік.
• $(AB{)}^{-1}=B^{-1}{A}^{-1}$ для любых дзвюх абарачальных матрыц $A$ і $B$.
• $(A^T{)}^{-1}=(A^{-1}{)}^T,$ дзе ${*}^T$ абазначае транспанаваную матрыцу.
• $(kA{)}^{-1}=k^{-1}{A}^{-1}$ для любога каэфіцыента $k=0$.
• Калі неабходна рашыць сістэму лінейных ураўненняў $Ax=b$, (b — ненулявы вектар) дзе $x$ — шуканы вектар, і калі $A^{-1}$ існуе, то $x=A^{-1}b$. У адваротным выпадку альбо размернасць прасторы рашэнняў большая за нуль, альбо іх няма зусім.

Прыклады

Матрыца 2х2

$A^{-1}={\left[\begin{array}{cc}a& b\\ c& d\end{array}\right]}^{-1}=\frac{1}{ad-bc}\left[\begin{array}{cc}d& -b\\ -c& a\end{array}\right].$

Абарачэнне матрыцы 2х2 магчыма толькі пры ўмове, што $ad-bc=\det A\ne 0$.