Нулявая матрыца

Нулявая матрыца — гэта матрыца памеру $m\times n,$, усе элементы якой роўныя нулю.

$Z=\left(\begin{array}{cccc}0& 0& \cdots & 0\\ 0& 0& \cdots & 0\\ ⋮& ⋮& \ddots & ⋮\\ 0& 0& \cdots & 0\end{array}\right)$

Прыкметы

Нулявая матрыца, і толькі яна, мае ранг 0.

Гэта азначае, што толькі нулявая матрыца валодае ўласцівасцю даваць нулявы слупок пры памнажэнні справа на любы вектар-слупок, і аналагічна для множання на вектар-радок злева.

Іншым наступствам гэтага факту з’яўляецца нулёвасць ўсіх матрыц памеру m×0 и 0×n, з прычыны таго, што ранг матрыцы m×n не перавышае min(m, n).

Уласцівасці

• Здабытак нулявой матрыцы на любы лік роўны ёй самой:

$aZ=Z.$

• Сума матрыцы $A$ і нулявой матрыцы таго ж памеру роўная зыходнай матрыцы $A$:

$A+Z=A,Z+A=A.$

• Розніца матрыцы $A$ і нулявой матрыцы таго ж памеру роўная зыходнай матрыцы $A$:

$A-Z=A.$

• Здабытак матрыцы $A$ памеру $l\times m,$ на нулявую матрыцу памеру $m\times n,$ роўны нулявой матрыцы памеру $l\times n:$

$A\cdot Z=Z.$

• Квадратная нулявая матрыца n×n пры $n⩾1$ з’яўляецца выраджанай, і, як следства, яе вызначнік роўны нулю:

• $\left|Z\right|=0.$

• Такім чынам, такая матрыца не мае адваротнай. Неквадратная, зрэшты, таксама не мае, што нядзіўна.

• Квадратная нулявая матрыца з’яўляецца сіметрычнай, і, як следства, яе транспанаваная матрыца роўная ёй самой:

$Z^T=Z.$

• Квадратная нулявая матрыца з’яўляецца таксама косасіметрычнай:

$Z^T=-Z(=Z).$

Толькі нулявая матрыца з’яўляецца адначасова і сіметрычнай, і косасіметрычнай.

• Апошнія два пункта даслоўна слушныя і ў дачыненні да эрмітавасці і косаэрмітавасці над полем комплексных лікаў.

• Квадратная нулявая матрыца з’яўляецца верхнетрохвугольнай, ніжнетрохвугольнай і дыяганальнай матрыцай.

• Квадратная нулявая матрыца з’яўляецца скалярнай матрыцай, і, такім чынам, перастановачная з любой квадратнай матрыцай таго ж памеру:

$ZA=AZ=Z$.