Ранг матрыцы

Рангам сістэмы радкоў (слупкоў) матрыцы $A$ з $m$ радкоў і $n$ слупкоў называецца максімальны лік лінейна незалежных радкоў (слупкоў). Некалькі радкоў (слупкоў) называюцца лінейна незалежнымі, калі ні адзін з іх не выражаецца лінейна праз іншыя. Ранг сістэмы радкоў заўсёды роўны рангу сістэмы слупкоў, і гэты лік называецца рангам матрыцы.

Ранг матрыцы — найвышэйшы з парадкаў мінораў гэтай матрыцы, няроўных нулю.

Ранг матрыцы — размернасць вобраза $\dim (\mathrm{Im}(A))$ лінейнага аператара, якому адпавядае матрыца.

Звычайна ранг матрыцы $A$ абазначаецца $\mathrm{rang}A$ ($\mathrm{rg}A$) або $\mathrm{rank}A$. Абодва абазначэння прыйшлі да нас з замежных моў, таму і ўжывацца могуць абодва. Апошні варыянт уласцівы для англійскай мовы, у той час як першы — для нямецкай, французскай і шэрага іншых моў.

Азначэнне

Хай $A_{m\times n}$ — прамавугольная матрыца.

Тады па азначэнні рангам матрыцы $A$ з’яўляецца:

• нуль, калі $A$ — нулявая матрыца;
• лік $r\in \mathbb{N}:\mathrm{\exists }{M}_r\ne 0,\mathrm{\forall }{M}_{r+1}=0$, дзе $M_r$ — мінор матрыцы $A$ парадку $r$, а $M_{r+1}$ — аблямоўваючы яго мінор парадку $(r+1)$, калі яны існуюць.

Шаблон:Рамка Тэарэма (пра карэктнасць вызначэння рангаў). Хай усе міноры матрыцы $A_{m\times n}$ парадку $k$ роўныя нулю ($M_k=0$). Тады $\mathrm{\forall }{M}_{k+1}=0$, калі яны існуюць. Шаблон:/рамка

Звязаныя азначэнні

• Ранг $\mathrm{rang}M$ матрыцы $A$ памеру $m\times n$ называюць поўным, калі $\mathrm{rang}M=\min \{m,n\}$.
• Базісны мінор матрыцы $A$ — любы ненулявы мінор матрыцы $A$ парадку $r$, дзе $r=\mathrm{rang}A$.
  • Радкі і слупкі, на скрыжаванні якіх знаходзіцца базісны мінор, называюцца базіснымі радкамі і слупкамі. (Яны вызначаны неадназначна ў сілу неадназначнасці базіснага мінора.)

Уласцівасці

• Тэарэма (аб базісным міноры): Няхай $r=\mathrm{rang}A,M_r$ — базісны мінор матрыцы $A$, тады:
  1. базісныя радкі і базісныя слупкі лінейна незалежныя;
  2. любы радок (слупок) матрыцы $A$ ёсць лінейная камбінацыя базісных радкоў (слупкоў).
• Следства:
  • Калі ранг матрыцы роўны $r$, то любыя $p:p>r$ радкоў ці слупкоў гэтай матрыцы будуць лінейна залежныя.
  • Калі $A$ — квадратная матрыца, і $\det A=0⟺$, то радкі і слупкі гэтай матрыцы лінейна залежныя.
  • Хай $r=\mathrm{rang}A$, тады максімальная колькасць лінейна незалежных радкоў (слупкоў) гэтай матрыцы роўная $r$.
• Тэарэма (аб інварыянтнасці рангу пры элементарных пераўтварэннях): Увядзём абазначэнне $A\sim B$ для матрыц, атрыманых адна з адной элементарнымі пераўтварэннямі. Тады справядліва сцвярджэнне: Калі $A\sim B$, то іх рангі роўныя.
• Тэарэма Кронекера — Капелі: Сістэма лінейных алгебраічных ураўненняў сумесная тады і толькі тады, калі ранг яе асноўнай матрыцы роўны рангу яе пашыранай матрыцы. У прыватнасці:
  • Колькасць галоўных пераменных сістэмы роўна рангу сістэмы.
  • Сумесная сістэма будзе вызначанай (яе рашэнне адзіным), калі ранг сістэмы роўны ліку ўсіх яе зменных.

Лінейнае пераўтварэнне і ранг матрыцы

Няхай $A$ — матрыца памеру $m\times n$ над полем $ℂ$ (або $ℝ$). Няхай $T$ — лінейнае пераўтварэнне, якое адпавядае $A$ ў стандартным базісе; гэта значыць, што $T(x)=Ax$. Ранг матрыцы $A$ — гэта размернасць вобласці значэнняў пераўтварэння $T$.

Метады

Існуе некалькі метадаў знаходжання рангу матрыцы:

• Метад элементарных пераўтварэнняў

Ранг матрыцы роўны ліку ненулявых радкоў у матрыцы пасля прывядзення яе да ступеньчатай формы пры дапамозе элементарных пераўтварэнняў над радкамі матрыцы.

• Метад аблямоўваючых мінораў

Няхай ў матрыцы $A$ знойдзены ненулявы мінор $k$-га парадку $M$. Разгледзім усе міноры $(k+1)$-га парадку, якія ўключаюць у сябе (аблямоўваючы) мінор $M$; калі ўсе яны роўныя нулю, то ранг матрыцы роўны $k$. У адваротным выпадку сярод аблямоўваючых мінораў знойдзецца ненулявы, і ўся працэдура паўтараецца.

Літаратура

• Шаблон:Cite web