Артаганальная матрыца

Артаганальная матрыца — квадратная матрыца $A$ з рэчаіснымі элементамі, вынік множання якой на $A^T$ роўны адзінкавай матрыцы:

$A{A}^T=A^{T}A=E,$

або, што эквівалентна, яе адваротная матрыца роўная транспанаванай матрыцы:

$A^{-1}=A^T.$

Уласцівасці

• Стоўбцы і радкі артаганальнай матрыцы ўтвараюць сістэмы ортанарміраваных вектараў, гэта значыць:

$\sum _i{A}_{ij}{A}_{ik}={\delta }_{jk}$

і

$\sum _i{A}_{ji}{A}_{ki}={\delta }_{jk}$

дзе $i\in \{1,\dots ,n\}$, n — парадак матрыцы, а ${\delta }_{jk}$ — сімвал Кронекера.

Іншымі словамі, скалярны здабытак радка на сам сябе роўна 1, а на любы іншы радок — 0. Гэтак жа і для слупкоў.

• Вызначнік артаганальнай матрыцы роўны $\pm 1$, што вынікае з уласцівасцей вызначальнікаў:

  $1=\det (I)=\det (A^{T}A)=\det (A^T)\det (A)=\det (A)\det (A)=\det (A{)}^2=1.$

• Мноства артаганальных матрыц парадку $n$ над полем $k$ ўтварае групу па множанню, так званую артаганальную групу, якая пазначаецца $O_n(k)$ або $O(n,k)$ (калі $k$ апускаецца, то мяркуецца $k=ℝ$).
• Артаганальнай матрыцы адпавядаюць лінейным аператарам, якая пераводзiць ортанарміраванны базіс лінейнай прасторы ў ортанарміраваны.
• Любая рэчаісная артаганальная матрыца падобная блокава-дыяганальнай матрыцы з блокамі выгляду

$(\pm 1)$ и $\left(\begin{array}{cc}\cos \phi & \sin \phi \\ -\sin \phi & \cos \phi \end{array}\right).$

Прыклады

• $\left(\begin{array}{cc}1& 0\\ 0& 1\end{array}\right)$ — адзінкавая матрыца

• $\left(\begin{array}{cc}1& 0\\ 0& -1\end{array}\right)$

• $\left(\begin{array}{cc}0.96& -0.28\\ 0.28& 0.96\end{array}\right)$ — прыклад матрыцы павароту

• $\left(\begin{array}{cccc}0& 0& 0& 1\\ 0& 0& 1& 0\\ 1& 0& 0& 0\\ 0& 1& 0& 0\end{array}\right)$ — прыклад перастановачнай матрыцы

Гл. таксама

• Унітарная матрыца