Фактаргрупа

Фактаргрупа — канструкцыя, якая дае новую групу (фактаргрупу) па групе і яе нармальнай падгрупе.

Фактаргрупа групы $G$ па нармальнай падгрупе $H$ звычайна абазначаецца $G/H$.

Вызначэнне

Няхай $G$ — група, і $H$ — яе нармальная падгрупа. Тады на класах сумежнасці $H$ у $G$

$aH=\{ah\mid h\in H\}$

можна ўвесці множанне:

$(aH)(bH)=abH$

Лёгка праверыць, што гэтае памнажэнне не залежыць ад выбару элементаў у класах сумежнасці, гэта значыць калі $aH=a^{\prime }H$ і $bH=b^{\prime }H$, то $abH=a^{\prime }{b}^{\prime }H$. Гэтае множанне вызначае структуру групы на мностве класаў сумежнасці, а атрыманая група $G/H$ называецца фактаргрупай $G$ па $H$.

Уласцівасці

• Тэарэма аб гомамарфізме: Для любога гомамарфізма $\phi :G\to K$

$G/\mathrm{K}\mathrm{e}\mathrm{r}\phi \cong \phi (G)$,

г. зн. фактаргрупа $G$ па ядру $\mathrm{K}\mathrm{e}\mathrm{r}\phi$ ізаморфна яе вобразу $\phi (G)$ у $K$.

• Адлюстраванне $a\mapsto aH$ задае натуральны гомамарфізм $G\to G/H$.
• Парадак $G/H$ роўны індэксу падгрупы $[G:H]$. У выпадку канечнай групы $G$ ён роўны $|G|/|H|$.
• Калі $G$ абелева, нільпатэнтная, вырашальная, цыклічная або канечнаспароджаная, то і $G/H$ будзе мець тыя жа ўласцівасці.
• $G/G$ ізаморфная трывіяльнай групе ($\{e\}$), $G/e$ ізаморфная $G$.

Прыклады

• Няхай $G=\mathbb{Z}$, $H=2\mathbb{Z}$, тады $G/H$ ізаморфная ${\mathbb{Z}}_2$.
• Няхай $G={𝐔𝐓}_n$ (група нявыраджаных верхнетрохвугольных матрыц), $H={𝐒𝐔𝐓}_n$ (група верхніх унітрохвугольных матрыц), тады $G/H$ ізоморфна групе дыяганальных матрыц.

Літаратура

• Винберг Э. Б. Курс алгебры. — Шаблон:М.: «Факториал Пресс», 2002. — ISBN 5-88688-060-7.