Нармальная падгрупа

Нармальная падгрупа (таксама інварыянтная падгрупа) — падгрупа адмысловага тыпу, левы і правы сумежныя класы па якой супадаюць. Такія групы важныя, паколькі дазваляюць будаваць фактаргрупу.

Азначэнні

Падгрупа $N$ групы $G$ называецца нармальнай, калі яна інварыянтная адносна спалучэнняў, гэта значыць для любога элемента $n$ з $N$ і любога $g$ з $G$, элемент $gn{g}^{-1}$ ляжыць у $N$:

$N◃G⟺\mathrm{\forall }n\in N,\mathrm{\forall }g\in G$ $gn{g}^{-1}\in N$

Наступныя ўмовы нармальнасці падгрупы эквівалентныя:

1. Для любога $g$ з $G$, $gN{g}^{-1}\subseteq N$.
2. Для любога $g$ з $G$, $gN{g}^{-1}=N$.
3. Мноствы левых і правых сумежных класаў $N$ у $G$ супадаюць.
4. Для любога $g$ из $G$, $gN=Ng$.
5. $N$ ізаморфныя аб'яднанню класаў спалучаных элементаў.

Умова (1) лагічна слабей, чым (2), а ўмова (3) лагічна слабей, чым (4). Таму ўмовы (1) і (3) часта выкарыстоўваюцца пры доказе нармальнасці падгрупы, а ўмовы (2) і (4) выкарыстоўваюцца для доказу следстваў нармальнасці.

Прыклады

• $\{e\}$ і $G$ — заўсёды нармальныя падгрупы $G$. Яны называюцца трывіяльнымі. Калі іншых нармальных падгруп няма, то група $G$ называецца простай.
• Цэнтр групы — нармальная падгрупа.
• Камутант групы — нармальная падгрупа .
• Любая характарыстычная падгрупа нармальная, так як спалучэнне — гэта заўсёды аўтамарфізм.
• Усе падгрупы $N$ абелевай групы G нармальныя, так як $gN=Ng$. Неабелева група, у якой любая падгрупа нармальная, называецца гамільтанавай.
• Група паралельных пераносаў ў прасторы любой размернасці — нармальная падгрупа эўклідавай групы; напрыклад, у трохмернай прасторы паварот, зрух і паварот у адваротны бок прыводзіць да простага зруху.
• У групе кубіка Рубіка падгрупа, якая складаецца з аперацый, якія дзейнічаюць толькі на вуглавыя элементы, нармальная, так як ніякае спалучанае пераўтварэнне не прымусіць такую аперацыю дзейнічаць на краёвы, а не вуглавы элемент. Наадварот, падгрупа, якая складаецца толькі з паваротаў верхняй грані, не нармальная, так як спалучэнні дазваляюць перамясціць частцы верхняй грані ўніз.

Уласцівасці

• Нармальнасць захоўваецца пры сюр'ектыўных гомамарфізмах і узяцці зваротных вобразаў.
• Ядро гомамарфізму — нармальная падгрупа.
• Нармальнасць захоўваецца пры пабудове прамога здабытку.
• Нармальная падгрупа нармальнай падгрупы не абавязаная быць нармальнай у групе, г. зн. нармальнасць не транзітыўная. Аднак характарыстычная падгрупа нармальнай падгрупы нармальная.
• Кожная падгрупа індэкса 2 нармальная. Калі $p$ — найменшы просты дзельнік парадку $G$, то любая падгрупа індэкса $p$ нармальная.
• Калі $N$ — нармальная падгрупа ў $G$, то на мностве левых (правых) сумежных класаў $G/N$ можна ўвесці групавую структуру па правілу

$(g_{1}N)(g_{2}N)=(g_1{g}_2)N$

Атрыманае мноства называецца фактаргрупай $G$ па $N$.

• N нармальная тады і толькі тады, калі яна трывіяльна дзейнічае на левых сумежных класах $G/N$.

Гістарычныя факты

Эварыст Галуа першым зразумеў важнасць нармальных падгруп.

Гл. таксама

• Група
• Падгрупа
• Прамы здабытак

Спасылкі

• Винберг Э. Б. Курс алгебры — Шаблон:М.:Издательство «Факториал Пресс», 2002, ISBN 5-88688-060-7
• Шаблон:Кніга