Найменшае агульнае кратнае

Найме́ншае агу́льнае кра́тнае (найменшы агульны кратны лік, НАК) двух цэлых лікаў Шаблон:Math і Шаблон:Math — найменшы натуральны лік, які дзеліцца на Шаблон:Math і Шаблон:Math без астачы. Абазначаецца адным з наступных спосабаў:

• Шаблон:Math;
• Шаблон:Math;
• Шаблон:Math    (ад Шаблон:Lang-en).

Прыклад: НАК(16, 20) = 80.

Найменшае агульнае кратнае некалькіх лікаў — гэта найменшы натуральны лік, які дзеліцца на кожны з гэтых лікаў.

Адно з найбольш частых прымяненняў НАК — прывядзенне дробаў да агульнага назоўніка.

Уласцівасці

• Перастаўляльнасць (камутатыўнасць): $\mathrm{lcm}(a,b)=\mathrm{lcm}(b,a).$
• Спалучальнасць (асацыятыўнасць): $\mathrm{lcm}(a,\mathrm{lcm}(b,c))=\mathrm{lcm}(\mathrm{lcm}(a,b),c).$
• Сувязь з найбольшым агульным дзельнікам Шаблон:Math:

  $\mathrm{lcm}(a,b)=\frac{|a\cdot b|}{\gcd (a,b)}.$

• У прыватнасці, калі Шаблон:Math і Шаблон:Math — Шаблон:Нп3, то: $\mathrm{lcm}(a,b)=a\cdot b.$
• $\mathrm{lcm}(a_1^n,a_2^n,...,a_k^n)=(\mathrm{lcm}(a_1,a_2,...,a_k){)}^n$ пры $n⩾0.$
• Найменшае агульнае кратнае двух цэлых лікаў Шаблон:Math і Шаблон:Math з'яўляецца дзельнікам усіх іншых агульных кратных Шаблон:Math і Шаблон:Math. Больш таго, мноства агульных кратных Шаблон:Math і Шаблон:Math супадае з мноствам кратных для Шаблон:Math.
• Асімптотыкі для $\mathrm{lcm}(1,2,\dots ,n)$ можна выразіць праз некаторыя тэарэтыка-лікавыя функцыі.
  • Шаблон:Нп3 $\psi (x)=\ln \mathrm{lcm}(1,2,\dots ,\lfloor x\rfloor ).$
  • $\mathrm{lcm}(1,2,\dots ,n)⩽g\left(\frac{n(n+1)}{2}\right)\sim e^{\sqrt{\frac{n(n+1)}{2}\ln \frac{n(n+1)}{2}}}$. Гэта вынікае з азначэння і ўласцівасцей Шаблон:Нп3 g(n).
  • $\mathrm{lcm}(1,2,\dots ,n)\sim e^{n+o(1)}$, што вынікае з Шаблон:Нп3.

Вылічэнне НАК

Шаблон:Math можна вылічыць некалькімі спосабамі.

1. Калі вядомы найбольшы агульны дзельнік, можна выкарыстаць яго сувязь з НАК:

$\mathrm{lcm}(a,b)=\frac{|a\cdot b|}{\gcd (a,b)}$

2. Няхай вядома кананічнае раскладанне абодвух лікаў на простыя множнікі:

$a=p_1^{d_1}\cdot \dots \cdot p_k^{d_k},$

$b=p_1^{e_1}\cdot \dots \cdot p_k^{e_k},$

дзе $p_1,\dots ,p_k$ — розныя простыя лікі, а $d_1,\dots ,d_k$ і $e_1,\dots ,e_k$ — неадмоўныя цэлыя лікі (яны могуць быць нулямі, калі адпаведнага простага няма ў раскладанні). Тады Шаблон:Math вылічаецца па формуле:

$[a,b]=p_1^{\max (d_1,e_1)}\cdot \dots \cdot p_k^{\max (d_k,e_k)}.$

Іншымі словамі, раскладанне НАК утрымлівае ўсе простыя множнікі, якія ўваходзяць хоць у адно з раскладанняў лікаў Шаблон:Math і Шаблон:Math, прычым з двух паказчыкаў ступені гэтага множніка бярэцца найбольшы. Прыклад:

$8=2^3\cdot 3^0\cdot 5^0\cdot 7^0$

$9=2^0\cdot 3^2\cdot 5^0\cdot 7^0$

$21=2^0\cdot 3^1\cdot 5^0\cdot 7^1.$

$\mathrm{lcm}(8,9,21)=2^3\cdot 3^2\cdot 5^0\cdot 7^1=8\cdot 9\cdot 1\cdot 7=504.$

Вылічэнне найменшага агульнага кратнага некалькіх лікаў можна звесці да некалькіх паслядоўных вылічэнняў НАК ад двух лікаў:

• $\mathrm{lcm}(a,b,c)=\mathrm{lcm}(\mathrm{lcm}(a,b),c);$
• $\mathrm{lcm}(a_1,a_2,\dots ,a_n)=\mathrm{lcm}(\mathrm{lcm}(a_1,a_2,\dots ,a_{n-1}),a_n).$

Гл. таксама

• Найбольшы агульны дзельнік

Літаратура

• Шаблон:Кніга

Спасылкі

• Шаблон:MathWorld