Прагляд зыходнага тэксту старонкі Гіпотэза Бёрча — Свінертан-Даера

{{Праблемы тысячагоддзя}}
У [[матэматыка|матэматыцы]], '''гіпо́тэза Бёрча — Сві́нертан-Да́ера''' — адкрытая праблема ў [[тэорыя лікаў|тэорыі лікаў]], матэматычная здагадка пра ўласцівасці [[Эліптычная крывая|эліптычных крывых]].

Яна лічыцца адной з самых складаных матэматычных праблем. Гіпотэза была ўнесена ў спіс з сямі [[задачы тысячагоддзя|задач тысячагоддзя]], састаўлены {{нп3|Матэматычны інстытут Клэя|Матэматычным інстытутам Клэя|ru|Математический институт Клэя}}, які прапанаваў узнагароду ${{num|1000000}} за першы правільны доказ<ref>[http://www.claymath.org/millenium-problems/birch-and-swinnerton-dyer-conjecture Гіпотэза Бёрча — Свінертан-Даера] {{Архівавана|url=https://web.archive.org/web/20140705100910/http://www.claymath.org/millenium-problems/birch-and-swinnerton-dyer-conjecture |date=5 ліпеня 2014 }} на сайце Матэматычнага інстытута Клэя</ref>. Праблема названа так у гонар матэматыкаў {{нп3|Браян Джон Бёрч|Браяна Бёрча|en|Bryan John Birch}} і {{нп3|Пітэр Свінертан-Даер|Пітэра Свінертан-Даера|en|Peter Swinnerton-Dyer}}, якія распрацоўвалі гіпотэзу на працягу першай палавіны 1960-х гг. з дапамогай машынных вылічэнняў. На 2014 год даказаныя толькі асобныя выпадкі гіпотэзы.

Гіпотэза суадносіць арыфметычныя даныя, звязаныя з [[эліптычная крывая|эліптычнаю крывою]] ''E'' над [[алгебраічнае лікавае поле|лікавым полем]] ''K'', з паводзінамі {{нп3|L-функцыя Хассэ — Вейля|''L''-функцыі Хассэ — Вейля|en|Hasse–Weil L-function}} ''L''(''E'',&nbsp;''s'') крывой ''E'' у пункце ''s''&nbsp;=&nbsp;1. А іменна, выказана здагадка, што {{нп3|ранг абелевай групы|ранг|en|Rank of an abelian group}} [[абелева група|абелевай групы]] ''E''(''K'') пунктаў крывой ''E'' раўняецца парадку [[нуль функцыі|нуля]] функцыі ''L''(''E'',&nbsp;''s'') у пункце ''s'' = 1, а першы ненулявы каэфіцыент у [[раскладанне Тэйлара|раскладанні Тэйлара]] функцыі ''L''(''E'',&nbsp;''s'') у ''s'' = 1 вызначаецца больш тонкімі арыфметычнымі характарыстыкамі крывой ''E'' над ''K'' {{harv|Wiles|2006|Ref=Wiles 2006}}.

Найбольш яркім дасягненнем па стане на 2014 год астаецца даказанае ў 1977 годзе [[Джон Коўтс|Джонам Коўтсам]] і [[Эндру Джон Уайлс|Эндру Уайлсам]] сцвярджэнне, справядлівае для вялікага класа эліптычных крывых аб тым, што калі крывая ''E'' утрымлівае бесканечна многа рацыянальных пунктаў, то ''L''(''E'', 1) = 0.

== Перадумовы ==
{{нп3|Луіс Джоэл Мордэл|Мордэл|ru|Морделл, Луис Джоэл}} {{harv|Mordell|1922|Ref=Mordell 1922}} даказаў {{нп3|тэарэма Мордэла|тэарэму|en|Mordell's theorem}}: група {{нп3|рацыянальны пункт|рацыянальных пунктаў|en|Rational point}} на эліптычнай крывой мае канечны {{нп3|базіс, лінейнай алгебра|базіс|ru|Базис}}. Гэта азначае, што для любой эліптычнай крывой існуе канечнае [[падмноства]] рацыянальных пунктаў на крывой, з якіх можна спарадзіць усе астатнія рацыянальныя пункты.

Калі колькасць рацыянальных пунктаў на крывой [[бесканечнае мноства|бесканечная]], то некаторы пункт з канечнага базіса павінен мець бесканечны парадак. Лік ''незалежных'' базісных пунктаў з бесканечным парадкам называецца {{нп3|ранг абелевай групы|рангам|en|Rank of an abelian group}} крывой і з’яўляецца важнаю {{нп3|інварыянт, матэматыка|інварыянтнаю|ru|Инвариант (математика)}} ўласцівасцю эліптычнай крывой.

Калі ранг эліптычнай крывой роўны 0, тады крывая мае толькі канечны лік рацыянальных пунктаў. З другога боку, калі ранг крывой большы за 0, то крывая мае бесканечна многа рацыянальных пунктаў.

Хаця Мордэлава тэарэма паказвае, што ранг эліптычнай крывой заўсёды канечны, яна не дае эфектыўнага спосабу вылічэння рангу кожнай крывой. Ранг некаторых эліптычных крывых можна вылічыць, карыстаючыся лікавымі метадамі, але (на сённяшнім узроўні ведаў) яны не паддаюцца абагульненню на ўсе крывыя.

''L''-функцыя '''''L''(''E'',&nbsp;''s'')''' можа быць вызначана для эліптычнай крывой ''E'' пабудаваннем {{нп5|Эйлераў здабытак|Эйлеравага здабытку|en|Euler product}} з колькасці пунктаў на крывой па модулю кожнага [[просты лік|простага]] ''p''. Гэтая ''L''-функцыя з’яўляецца аналагам [[дзэта-функцыя Рымана|дзэта-функцыі Рымана]] і {{нп5|L-функцыя Дзірыхле|L-рада Дзірыхле|en|Dirichlet L-function}}, вызначанага для бінарнай {{нп5|квадратычная форма|квадратычнай формы|en|quadratic form}}. Яна з’яўляецца адмысловым выпадкам {{нп5|L-функцыя Хассэ — Вейля|''L''-функцыі Хассэ — Вейля|en|Hasse–Weil L-function}}.

Натуральнае азначэнне функцыі ''L''(''E'',&nbsp;''s'') збягаецца толькі пры тых камплексных ''s'', для якіх Re(''s'') > 3/2. {{нп3|Хельмут Хассэ||ru|Хассе, Хельмут}} выказаў здагадку, што функцыю ''L''(''E'',&nbsp;''s'') можна {{нп3|аналітычны працяг|аналітычна пашырыць|ru|Аналитическое продолжение}} на ўсю [[Камплексная плоскасць|камплексную плоскасць]]. Гэтая здагадка была ўпершыню даказана Дойрынгам {{harv|Deuring|1941|Ref=Deuring 1941}} для эліптычных крывых з {{нп5|камплекснае множанне|камплексным множаннем|en|Complex multiplication}}. Пазней было паказана, што гэта справядліва для ўсіх эліптычных крывых над '''Q''', як вынік з {{нп5|тэарэма аб мадулярнасці|тэарэмы аб мадулярнасці|en|modularity theorem}}.

Пошук рацыянальных пунктаў на эліптычных крывых агульнага выгляду — складаная праблема. Пошук пунктаў на эліптычнай крывой па модулю пэўнага простага ''p'' ідэйна няхітры, бо неабходна праверыць толькі канечнае мноства магчымасцей. Аднак, пры вялікіх простых знаходжанне пунктаў будзе вылічальна натужлівым.

== Гісторыя ==
[[Файл:BSD data plot for elliptic curve 800h1.svg|350px|right|thumb|Графік <math>f(X) = \prod_{p\leq X} \frac{N_p}{p}</math> для крывой ''y''²&nbsp;=&nbsp;''x''³&nbsp;−&nbsp;5''x'', калі ''X'' прабягае першыя 100000 простых. Па восі ''X'' адкладваецца log(log(''X'')), а вось ''Y'' у лагарыфмічнай шкале. Такім чынам, здагадка прадказвае, што даныя павінны ляжаць каля прамой з вуглавым каэфіцыентам, роўным рангу крывой, які ў дадзеным выпадку раўняецца адзінцы. Для параўнання на графіку нарысована чырвоная прамая з вуглавым каэфіцыентам 1.]]

У пачатку 1960-х гг. {{нп5|Пітэр Свінертан-Даер||en|Peter Swinnerton-Dyer}} займаўся на камп’ютары [[EDSAC]] у {{нп3|Камп'ютарная лабараторыя Кембрыджскага ўніверсітэта|Вылічальнай лабараторыі|en|Computer Laboratory, University of Cambridge}} вылічэннем колькасці пунктаў па модулю ''p'' (абазначаецца як ''N<sub>p</sub>'') для вялікай колькасці простых ''p'' на эліптычных крывых, ранг якіх быў вядомы. На аснове вынікаў вылічальных эксперыментаў Свінертан-Даер {{harv|Birch|Swinnerton-Dyer|1965|Ref=Birch and Swinnerton-Dyer 1965}} выказаў здагадку, што ''N<sub>p</sub>'' для крывой ''E'' з рангам ''r'' падпарадкоўваецца асімптатычнаму закону

: <math>\prod_{p\leq x} \frac{N_p}{p} \approx C\log (x)^r, \qquad x \rightarrow \infty </math>

дзе ''C'' — пастаянная.

Першапачаткова здагадка грунтавалася на не вельмі пераканаўчых заканамернасцях на графіках; гэта дало падставы для пэўнага скептыцызму. Праз нейкі час накапіліся лікавыя даныя на карысць здагадкі.

Гэта, у сваю чаргу, прывяло іх да агульнай здагадкі аб паводзінах L-функцыі крывой ''L''(''E'',&nbsp;''s'') у пункце ''s'' = 1, а іменна, што яна будзе мець нуль парадку ''r'' у гэтым пункце. Гэта была праніклівая гіпотэза для таго часу, калі ўлічыць, што аналітычны працяг функцыі ''L''(''E'',&nbsp;''s'') быў устаноўлены яшчэ толькі для крывых з камплексным множаннем, якія былі таксама асноўнаю крыніцай лікавых прыкладаў. (Варта заўважыць, што {{нп3|адваротны лік|адваротнае значэнне|ru|Обратное число}} L-функцыі з пэўнага погляду з’яўляецца больш натуральным аб’ектам для даследавання; у такім выпадку гэта азначае, што трэба разглядаць {{нп5|полюс функцыі|полюсы|ru|Полюс (комплексный анализ)}}, а не [[нуль функцыі|нулі]].)

Гіпотэза пазней была пашырана, каб уключыць прадказанне дакладнага значэння першага ненулявога [[рад Тэйлара|каэфіцыента рада Тэйлара]] L-функцыі ў пункце ''s'' = 1. Згодна з гіпотэзай гэты каэфіцыент раўняецца

: <math>\frac{L^{(r)}(E,1)}{r!} = \frac{\#\mathrm{Sha}(E)\Omega_E R_E \prod_{p|N}c_p}{(\#E_{\mathrm{Tor}})^2}</math>

дзе велічыні ў правай частцы — гэта інварыянты крывой, якія даследаваліся {{нп3|Джон Касэлс|Касэлсам|en|J. W. S. Cassels}}, {{нп3|Джон Тэйт|Тэйтам|en|John Tate}}, [[Ігар Расціслававіч Шафарэвіч|Шафарэвічам]] і іншымі: у формулу ўваходзяць парадак {{нп3|перыядычная група|перыядычнай групы|en|torsion group}}, парадак {{нп3|група Тэйта — Шафарэвіча|групы Тэйта — Шафарэвіча|en|Tate–Shafarevich group}}, і {{нп3|кананічная вышыня|кананічныя вышыні|en|canonical height}} базіса рацыянальных пунктаў {{harv|Wiles|2006|Ref=Wiles 2006}}.

== Цяперашні стан ==
Гіпотэза Бёрча — Свінертан-Даера даказана толькі ў асобных выпадках:

# {{нп3|Джон Коўтс, матэматык|Коўтс|en|John H. Coates}} і [[Эндру Джон Уайлс|Уайлс]] {{harv|Coates|Wiles|1977|Ref=Coates and Wiles 1977}} даказалі, што калі ''E'' — крывая над лікавым полем ''F'' з камплексным множаннем адносна {{нп3|квадратычнае поле|ўяўнага квадратычнага поля|ru|Квадратичное поле}} ''K'' з {{нп3|група класаў ідэалаў|лікам класаў|en|Ideal class group}} 1, ''F'' = ''K'' ці '''Q''', і ''L''(''E'', 1) не роўная 0, тады ''E''(''F'') — [[канечная група]]. У рабоце Ніколь Арто {{harv|Arthaud|1978|Ref=Arthaud 1978}} гэтае сцвярджэнне было пашырана на выпадак, калі ''F'' — адвольнае канечнае {{нп3|абелева пашырэнне||ru|Абелево расширение}} поля ''K''.
# {{нп3|Бенедзікт Грос|Грос|en|Benedict Gross}} і {{нп3|Дон Цагір|Цагір|en|Don Zagier}} {{harv|Gross|Zagier|1986|Ref=Gross and Zagier 1986}} паказалі, што калі L-функцыя {{нп3|мадулярная эліптычная крывая|мадулярнай эліптычнай крывой|en|modular elliptic curve}} мае нуль першага парадку ў пункце ''s'' = 1, тады на крывой ёсць рацыянальны пункт бесканечнага парадку; гл. {{нп3|тэарэма Гроса — Цагіра||en|Gross–Zagier theorem}}.
# {{нп3|Віктар Аляксандравіч Калывагін|Калывагін|en|Victor Kolyvagin}} {{harv|Kolyvagin|1989|Ref=Kolyvagin 1989}} паказаў, што мадулярная эліптычная крывая ''E'', для якой ''L''(''E'', 1) не роўная нулю, мае ранг 0, а мадулярная эліптычная крывая ''E'', для якой ''L''(''E'', 1) мае нуль першага парадку ў ''s'' = 1, мае ранг 1.
# {{нп3|Карл Рубін|Рубін|en|Karl Rubin}} {{harv|Rubin|1991|Ref=Rubin 1991}} паказаў, што для эліптычных крывых, вызначаных над уяўным квадратычным полем ''K'' з камплексным множаннем па полі ''K'', калі ''L''-рад эліптычнай крывой не роўны нулю ў ''s'' = 1, тады ''p''-частка групы Тэйта — Шафарэвіча мае парадак, прадказаны гіпотэзай Бёрча — Свінертан-Даера для ўсіх простых ''p'' > 7.
# Група матэматыкаў {{harv|Breuil|Conrad|Diamond|Taylor|2001|Ref=BreConDiaTay2001}}, працягваючы работу {{harv|Wiles|1995|Ref=Wiles 1995}}, даказала, што {{нп3|тэарэма аб мадулярнасці|ўсе эліптычныя крывыя, вызначаныя над полем рацыянальных лікаў, з'яўляюцца мадулярнымі|en|Modularity theorem}}, што пашырае вынікі 2 і 3 на ўсе эліптычныя крывыя над рацыянальнымі лікамі і паказвае, што ''L''-функцыі ўсіх эліптычных крывых над '''Q''' вызначаны ў пункце ''s'' = 1.
# [[Манджул Бхаргава|Бхаргава]] і Шанкар {{harv|Bhargava|Shankar|2014|Ref=Bhargava and Shankar 2014}} даказалі, што сярэдні ранг групы Мордэла — Вейля эліптычнай крывой над '''Q''' абмежаваны зверху лікам 7/6. Аб’ядноўваючы гэта з [[тэарэма аб p-цотнасці|тэарэмай аб p-цотнасці]] (гл. {{harv|Nekovář|2009|Ref=Nekovář 2009}} і {{harv|Dokchitser|Dokchitser|2010|Ref=2Dokchitser 2010}}) і з доказам {{нп3|галоўная гіпотэза тэорыі Івасавы|галоўнай гіпотэзы тэорыі Івасавы|en|main conjecture of Iwasawa theory}} для GL(2) {{harv|Skinner|Urban|2014|Ref=Skinner and Urban 2014}}, яны вывелі, што дадатная доля эліптычных крывых над '''Q''' мае нулявы аналітычны ранг, і такім чынам, згодна з працаю {{harv|Kolyvagin|1989|Ref=Kolyvagin 1989}}, задавальняе гіпотэзу Бёрча — Свінертан-Даера.

Нічога не даказана для крывых з рангам, большым за 1, хоць на карысць гіпотэзы сведчыць вялікая колькасць лікавых дадзеных<ref>{{cite paper |url=http://homepages.warwick.ac.uk/~masgaj/papers/bsd50.pdf |title=Numerical evidence for the Birch and Swinnerton-Dyer Conjecture |first=John |last=Cremona |year=2011 |work=Talk at the BSD 50th anniversary conference, May 2011 |access-date=12 жніўня 2014 |archive-date=9 жніўня 2017 |archive-url=https://web.archive.org/web/20170809095947/http://homepages.warwick.ac.uk/~masgaj/papers/bsd50.pdf |url-status=dead }}</ref>.

== Вынікі ==
Як і з [[гіпотэза Рымана|гіпотэзы Рымана]], са здагадкі Бёрча — Свінертан-Даера вынікае мноства вывадаў, у тым ліку наступныя два:
* Хай ''n'' — няцотны {{нп3|свабодны ад квадратаў лік|свабодны ад квадратаў|ru|Свободное от квадратов число}} [[цэлы лік]]. Калі здагадка Бёрча — Свінертан-Даера правільная, лік ''n'' з’яўляецца плошчаю прамавугольнага трохвугольніка з рацыянальнымі даўжынямі старон ({{нп3|кангруэнтны лік|кангруэнтным лікам|en|Congruent number}}) тады і толькі тады, калі колькасць троек цэлых лікаў (''x'', ''y'', ''z''), якія задавальняюць роўнасць <math>2x^2 + y^2 + 8z^2 = n</math>, раўняецца падвоенай колькасці цэлалікавых троек, якія задавальняюць <math>2x^2 + y^2 + 32z^2 = n</math>. Гэтае сцвярджэнне, праз {{нп3|тэарэма Танэла|тэарэму Танэла|en|Tunnell's theorem}} {{harv|Tunnell|1983|Ref=Tunnell 1983}}, звязана з тым фактам, што лік ''n'' з’яўляецца кангруэнтным тады і толькі тады, калі эліптычная крывая <math>y^2 = x^3 - n^2x</math> мае рацыянальны пункт бесканечнага парадку (і такім чынам, пры справядлівасці здагадкі Бёрча — Свінертан-Даера, яе ''L''-функцыя мае нуль у пункце 1). Сцвярджэнне цікавае тым, што выкананне яго ўмовы лёгка праверыць<ref>{{Cite book
 | last = Koblitz |first=Neal
 | year = 1993 | edition=2nd
 | title = Introduction to Elliptic Curves and Modular Forms
 | series = Graduate Texts in Mathematics
 | volume=97
 | publisher = Springer-Verlag
 | isbn=0-387-97966-2
 | postscript = <!--None-->
 }}</ref>.
* У іншым напрамку, некаторыя аналітычныя метады дазваляюць ацэньваць парадак нулёў пасярэдзіне [[крытычная паласа|крытычнай паласы]] сямействаў ''L''-функцый. Паводле гіпотэзы Бёрча — Свінертан-Даера, гэтыя ацэнкі адпавядаюць інфармацыі аб рангу сямействаў разглядаемых эліптычных крывых. Напрыклад: пры дапушчэнні {{нп3|абагульненая гіпотэза Рымана|абагульненай гіпотэзы Рымана|en|generalized Riemann hypothesis}} і здагадкі Бёрча — Свінертан-Даера, сярэдні ранг крывых, зададзеных ураўненнем <math>y^2=x^3+ax+b</math>, меншы чым 2.<ref>{{cite journal |first=D. R. |last=Heath-Brown |title=The Average Analytic Rank of Elliptic Curves |url=https://archive.org/details/sim_duke-mathematical-journal_2004-04-15_122_3/page/n170 |journal=Duke Mathematical Journal |volume=122 |issue=3 |pages=591–623 |year=2004 |doi=10.1215/S0012-7094-04-12235-3 }}</ref>

== Гл. таксама ==
* [[Адкрытыя матэматычныя праблемы]]
* [[Эліптычная крывая]]
* [[L-функцыя Дзірыхле]]

== Зноскі ==
{{Reflist}}

== Літаратура ==
* {{Cite journal |last=Arthaud |first=Nicole |authorlink= |title=On Birch and Swinnerton-Dyer's conjecture for elliptic curves with complex multiplication |journal=Compositio Mathematica |volume=37 |issue=2 |year=1978 |pages=209–232 |doi= |mr=504632 |ref=Arthaud 1978 }}
* {{Cite journal |last=Bhargava |first=Manjul |authorlink= |last2=Shankar |first2=Arul |authorlink2= |title=Ternary cubic forms having bounded invariants, and the existence of a positive proportion of elliptic curves having rank 0 |year=2014 |journal=[[Annals of Mathematics]] |volume=Forthcoming |issue= |pages= |arxiv=1007.0052 |ref=Bhargava and Shankar 2014 |url=http://annals.math.princeton.edu/articles/8533 }}
* {{cite journal |last=Birch |first=Bryan |authorlink= |last2=Swinnerton-Dyer |first2=Peter |authorlink2= |year=1965 |title=Notes on Elliptic Curves (II) |journal=[[Journal für die reine und angewandte Mathematik|J. Reine Angew. Math.]] |volume=165 |issue=218 |pages=79–108 |doi=10.1515/crll.1965.218.79 |ref=Birch and Swinnerton-Dyer 1965}}
* {{cite journal |last=Breuil |first=Christophe |last2=Conrad |first2=Brian |last3=Diamond |first3=Fred |last4=Taylor |first4=Richard |year=2001 |title=On the Modularity of Elliptic Curves over Q: Wild 3-Adic Exercises |journal=[[Journal of the American Mathematical Society]] |volume=14 |issue=4 |pages=843–939 |doi=10.1090/S0894-0347-01-00370-8 |ref=BreConDiaTay2001 }}
* {{cite book | first1=J.H. | last1=Coates | first2=R. | last2=Greenberg | first3=K.A. | last3=Ribet | first4=K. | last4=Rubin | title=Arithmetic Theory of Elliptic Curves | series=Lecture Notes in Mathematics | volume=1716 | publisher=[[Springer-Verlag]] | year=1999 | isbn=3-540-66546-3 }}
* {{Cite journal |last=Coates |first=J. |last2=Wiles |first2=A. |title=On the conjecture of Birch and Swinnerton-Dyer |journal=[[Inventiones Mathematicae]] |volume=39 |year=1977 |issue=3 |pages=223–251 |doi=10.1007/BF01402975 | zbl=0359.14009 |ref=Coates and Wiles 1977}}
* {{cite journal |last=Deuring |first=Max |year=1941 |title=Die Typen der Multiplikatorenringe elliptischer Funktionenkörper |journal=Abhandlungen aus dem Mathematischen Seminar der Universität Hamburg |volume=14 |issue=1 |pages=197–272 |doi=10.1007/BF02940746 |ref=Deuring 1941 }}
* {{cite journal |last1=Dokchitser |first1=Tim |last2=Dokchitser |first2=Vladimir |doi=10.4007/annals.2010.172.567 |mr=2680426 |title=On the Birch-Swinnerton-Dyer quotients modulo squares|url=https://archive.org/details/sim_annals-of-mathematics_2010-07_172_1/page/567 |journal=[[Annals of Mathematics]] |volume=172 |year=2010 |issue=1 |pages=567–596 |ref=2Dokchitser 2010 }}
* {{cite journal |last1=Gross |first1=Benedict H. |last2=Zagier |first2=Don B. |doi=10.1007/BF01388809 |mr=0833192 |title=Heegner points and derivatives of L-series |url=https://archive.org/details/sim_inventiones-mathematicae_1986-05_84_2/page/225 |journal=[[Inventiones Mathematicae]] |volume=84 |year=1986 |issue=2 |pages=225–320 |ref=Gross and Zagier 1986 }}
* {{cite journal |last=Kolyvagin |first=Victor |year=1989 |title=Finiteness of ''E''(''Q'') and ''X''(''E'',&nbsp;''Q'') for a class of Weil curves |journal=Math. USSR Izv. |volume=32 |issue= |pages=523–541 |ref=Kolyvagin 1989 |doi=10.1070/im1989v032n03abeh000779}}
* {{cite journal |last=Mordell |first=Louis |title=On the rational solutions of the indeterminate equations of the third and fourth degrees |journal=[[Mathematical Proceedings of the Cambridge Philosophical Society|Proc. Cambridge Phil. Soc.]] |volume=21 |issue= |year=1922 |pages=179–192 |doi= |ref=Mordell 1922 }}
* {{cite journal |last=Nekovář |first=Jan |title=On the parity of ranks of Selmer groups IV |journal=[[Compositio Mathematica]] |volume=145 |issue=6 |year=2009 |pages=1351–1359 |doi=10.1112/S0010437X09003959 |ref=Nekovář 2009 }}
* {{cite journal |last=Rubin |first=Karl |year=1991 |title=The 'main conjectures' of Iwasawa theory for imaginary quadratic fields |url=https://archive.org/details/sim_inventiones-mathematicae_1991-01_103_1/page/25 |journal=[[Inventiones Mathematicae]] |volume=103 |issue=1 |pages=25–68 |doi=10.1007/BF01239508 |ref=Rubin 1991 | zbl=0737.11030 }}
* {{Cite journal |last=Skinner |first=Christopher |last2=Urban |first2=Éric |title=The Iwasawa main conjectures for GL<sub>2</sub> |journal=[[Inventiones Mathematicae]] |volume=195 |issue=1 |pages=1–277 |year=2014 |doi=10.1007/s00222-013-0448-1 |ref=Skinner and Urban 2014 }}
* {{cite journal |last=Tunnell |first=Jerrold B. |ref=Tunnell 1983 | title = A classical Diophantine problem and modular forms of weight 3/2 |url=https://archive.org/details/sim_inventiones-mathematicae_1983-05_72_2/page/323 | journal = [[Inventiones Mathematicae]] | volume = 72 | issue = 2 | pages = 323–334 | year = 1983 | zbl=0515.10013 | doi = 10.1007/BF01389327 }}
* {{Cite journal | last1=Wiles | first1=Andrew | title=Modular elliptic curves and Fermat's last theorem | url=https://archive.org/details/sim_annals-of-mathematics_1995-05_141_3/page/443 | jstor=2118559 | mr=1333035 | year=1995 | journal=[[Annals of Mathematics|Annals of Mathematics. Second Series]] | issn=0003-486X | volume=141 | issue=3 | pages=443–551 | ref=Wiles 1995 }}
* {{Cite book
| last=Wiles
| first=Andrew
| author-link=
| chapter=The Birch and Swinnerton-Dyer conjecture
| editor1-last=Carlson
| editor1-first=James
| editor2-last=Jaffe
| editor2-first=Arthur
| editor2-link=
| editor3-last=Wiles
| editor3-first=Andrew
| editor3-link=
| title=The Millennium prize problems
| publisher=American Mathematical Society
| year=2006
| isbn=978-0-8218-3679-8
| chapter-url=http://www.claymath.org/sites/default/files/birchswin.pdf
| pages=31–44
| ref=Wiles 2006
| access-date=12 жніўня 2014
| archive-date=29 сакавіка 2018
| archive-url=https://web.archive.org/web/20180329033023/http://www.claymath.org/sites/default/files/birchswin.pdf
| url-status=dead
}}
* {{кніга
| аўтар= Коблиц Н.
| загаловак= Введение в эллиптические кривые и модулярные формы 
| адказны = под редакцией Ю. И. Манина
| месца={{М.}}
| выдавецтва= Мир
| год= 1988
}}
* {{кніга
| аўтар= Айерлэнд К., Роузен М.
| загаловак= Классическое введение в современную теорию чисел
| адказны = 
| месца={{М.}}
| выдавецтва= Мир
| год= 1987
}}

== Спасылкі ==
* {{MathWorld|urlname = Swinnerton-DyerConjecture |title = Swinnerton-Dyer Conjecture}}
* {{planetMath|urlname = birchandswinnertondyerconjecture|title =  Birch and Swinnerton-Dyer Conjecture}}

{{Бібліяінфармацыя}}

[[Катэгорыя:Тэорыя лікаў]]
[[Катэгорыя:Дзэта- і L-функцыі]]
[[Катэгорыя:Дыяфантава геаметрыя]]
[[Катэгорыя:Матэматычныя гіпотэзы|Бёрча — Свінертан-Даера]]
[[Катэгорыя:Задачы тысячагоддзя]]
[[Катэгорыя:Адкрытыя матэматычныя праблемы]]