Гіпотэза Бёрча — Свінертан-Даера

Шаблон:Праблемы тысячагоддзя У матэматыцы, гіпо́тэза Бёрча — Сві́нертан-Да́ера — адкрытая праблема ў тэорыі лікаў, матэматычная здагадка пра ўласцівасці эліптычных крывых.

Яна лічыцца адной з самых складаных матэматычных праблем. Гіпотэза была ўнесена ў спіс з сямі задач тысячагоддзя, састаўлены Шаблон:Нп3, які прапанаваў узнагароду $Шаблон:Num за першы правільны доказ^[1]. Праблема названа так у гонар матэматыкаў Шаблон:Нп3 і Шаблон:Нп3, якія распрацоўвалі гіпотэзу на працягу першай палавіны 1960-х гг. з дапамогай машынных вылічэнняў. На 2014 год даказаныя толькі асобныя выпадкі гіпотэзы.

Гіпотэза суадносіць арыфметычныя даныя, звязаныя з эліптычнаю крывою E над лікавым полем K, з паводзінамі Шаблон:Нп3 L(E, s) крывой E у пункце s = 1. А іменна, выказана здагадка, што Шаблон:Нп3 абелевай групы E(K) пунктаў крывой E раўняецца парадку нуля функцыі L(E, s) у пункце s = 1, а першы ненулявы каэфіцыент у раскладанні Тэйлара функцыі L(E, s) у s = 1 вызначаецца больш тонкімі арыфметычнымі характарыстыкамі крывой E над K Шаблон:Harv.

Найбольш яркім дасягненнем па стане на 2014 год астаецца даказанае ў 1977 годзе Джонам Коўтсам і Эндру Уайлсам сцвярджэнне, справядлівае для вялікага класа эліптычных крывых аб тым, што калі крывая E утрымлівае бесканечна многа рацыянальных пунктаў, то L(E, 1) = 0.

Перадумовы

Шаблон:Нп3 Шаблон:Harv даказаў Шаблон:Нп3: група Шаблон:Нп3 на эліптычнай крывой мае канечны Шаблон:Нп3. Гэта азначае, што для любой эліптычнай крывой існуе канечнае падмноства рацыянальных пунктаў на крывой, з якіх можна спарадзіць усе астатнія рацыянальныя пункты.

Калі колькасць рацыянальных пунктаў на крывой бесканечная, то некаторы пункт з канечнага базіса павінен мець бесканечны парадак. Лік незалежных базісных пунктаў з бесканечным парадкам называецца Шаблон:Нп3 крывой і з’яўляецца важнаю Шаблон:Нп3 ўласцівасцю эліптычнай крывой.

Калі ранг эліптычнай крывой роўны 0, тады крывая мае толькі канечны лік рацыянальных пунктаў. З другога боку, калі ранг крывой большы за 0, то крывая мае бесканечна многа рацыянальных пунктаў.

Хаця Мордэлава тэарэма паказвае, што ранг эліптычнай крывой заўсёды канечны, яна не дае эфектыўнага спосабу вылічэння рангу кожнай крывой. Ранг некаторых эліптычных крывых можна вылічыць, карыстаючыся лікавымі метадамі, але (на сённяшнім узроўні ведаў) яны не паддаюцца абагульненню на ўсе крывыя.

L-функцыя L(E, s) можа быць вызначана для эліптычнай крывой E пабудаваннем Шаблон:Нп5 з колькасці пунктаў на крывой па модулю кожнага простага p. Гэтая L-функцыя з’яўляецца аналагам дзэта-функцыі Рымана і Шаблон:Нп5, вызначанага для бінарнай Шаблон:Нп5. Яна з’яўляецца адмысловым выпадкам Шаблон:Нп5.

Натуральнае азначэнне функцыі L(E, s) збягаецца толькі пры тых камплексных s, для якіх Re(s) > 3/2. Шаблон:Нп3 выказаў здагадку, што функцыю L(E, s) можна Шаблон:Нп3 на ўсю камплексную плоскасць. Гэтая здагадка была ўпершыню даказана Дойрынгам Шаблон:Harv для эліптычных крывых з Шаблон:Нп5. Пазней было паказана, што гэта справядліва для ўсіх эліптычных крывых над Q, як вынік з Шаблон:Нп5.

Пошук рацыянальных пунктаў на эліптычных крывых агульнага выгляду — складаная праблема. Пошук пунктаў на эліптычнай крывой па модулю пэўнага простага p ідэйна няхітры, бо неабходна праверыць толькі канечнае мноства магчымасцей. Аднак, пры вялікіх простых знаходжанне пунктаў будзе вылічальна натужлівым.

Гісторыя

У пачатку 1960-х гг. Шаблон:Нп5 займаўся на камп’ютары EDSAC у Шаблон:Нп3 вылічэннем колькасці пунктаў па модулю p (абазначаецца як N_p) для вялікай колькасці простых p на эліптычных крывых, ранг якіх быў вядомы. На аснове вынікаў вылічальных эксперыментаў Свінертан-Даер Шаблон:Harv выказаў здагадку, што N_p для крывой E з рангам r падпарадкоўваецца асімптатычнаму закону

\prod_{p \leq x} \frac{N_{p}}{p} \approx C \log (x)^{r}, x \to \infty

дзе C — пастаянная.

Першапачаткова здагадка грунтавалася на не вельмі пераканаўчых заканамернасцях на графіках; гэта дало падставы для пэўнага скептыцызму. Праз нейкі час накапіліся лікавыя даныя на карысць здагадкі.

Гэта, у сваю чаргу, прывяло іх да агульнай здагадкі аб паводзінах L-функцыі крывой L(E, s) у пункце s = 1, а іменна, што яна будзе мець нуль парадку r у гэтым пункце. Гэта была праніклівая гіпотэза для таго часу, калі ўлічыць, што аналітычны працяг функцыі L(E, s) быў устаноўлены яшчэ толькі для крывых з камплексным множаннем, якія былі таксама асноўнаю крыніцай лікавых прыкладаў. (Варта заўважыць, што Шаблон:Нп3 L-функцыі з пэўнага погляду з’яўляецца больш натуральным аб’ектам для даследавання; у такім выпадку гэта азначае, што трэба разглядаць Шаблон:Нп5, а не нулі.)

Гіпотэза пазней была пашырана, каб уключыць прадказанне дакладнага значэння першага ненулявога каэфіцыента рада Тэйлара L-функцыі ў пункце s = 1. Згодна з гіпотэзай гэты каэфіцыент раўняецца

\frac{L^{(r)} (E, 1)}{r!} = \frac{# S h a (E) Ω_{E} R_{E} \prod_{p | N} c_{p}}{(# E_{T o r})^{2}}

дзе велічыні ў правай частцы — гэта інварыянты крывой, якія даследаваліся Шаблон:Нп3, Шаблон:Нп3, Шафарэвічам і іншымі: у формулу ўваходзяць парадак Шаблон:Нп3, парадак Шаблон:Нп3, і Шаблон:Нп3 базіса рацыянальных пунктаў Шаблон:Harv.

Цяперашні стан

Гіпотэза Бёрча — Свінертан-Даера даказана толькі ў асобных выпадках:

Шаблон:Нп3 і Уайлс Шаблон:Harv даказалі, што калі E — крывая над лікавым полем F з камплексным множаннем адносна Шаблон:Нп3 K з Шаблон:Нп3 1, F = K ці Q, і L(E, 1) не роўная 0, тады E(F) — канечная група. У рабоце Ніколь Арто Шаблон:Harv гэтае сцвярджэнне было пашырана на выпадак, калі F — адвольнае канечнае Шаблон:Нп3 поля K.
Шаблон:Нп3 і Шаблон:Нп3 Шаблон:Harv паказалі, што калі L-функцыя Шаблон:Нп3 мае нуль першага парадку ў пункце s = 1, тады на крывой ёсць рацыянальны пункт бесканечнага парадку; гл. Шаблон:Нп3.
Шаблон:Нп3 Шаблон:Harv паказаў, што мадулярная эліптычная крывая E, для якой L(E, 1) не роўная нулю, мае ранг 0, а мадулярная эліптычная крывая E, для якой L(E, 1) мае нуль першага парадку ў s = 1, мае ранг 1.
Шаблон:Нп3 Шаблон:Harv паказаў, што для эліптычных крывых, вызначаных над уяўным квадратычным полем K з камплексным множаннем па полі K, калі L-рад эліптычнай крывой не роўны нулю ў s = 1, тады p-частка групы Тэйта — Шафарэвіча мае парадак, прадказаны гіпотэзай Бёрча — Свінертан-Даера для ўсіх простых p > 7.
Група матэматыкаў Шаблон:Harv, працягваючы работу Шаблон:Harv, даказала, што Шаблон:Нп3, што пашырае вынікі 2 і 3 на ўсе эліптычныя крывыя над рацыянальнымі лікамі і паказвае, што L-функцыі ўсіх эліптычных крывых над Q вызначаны ў пункце s = 1.
Бхаргава і Шанкар Шаблон:Harv даказалі, што сярэдні ранг групы Мордэла — Вейля эліптычнай крывой над Q абмежаваны зверху лікам 7/6. Аб’ядноўваючы гэта з тэарэмай аб p-цотнасці (гл. Шаблон:Harv і Шаблон:Harv) і з доказам Шаблон:Нп3 для GL(2) Шаблон:Harv, яны вывелі, што дадатная доля эліптычных крывых над Q мае нулявы аналітычны ранг, і такім чынам, згодна з працаю Шаблон:Harv, задавальняе гіпотэзу Бёрча — Свінертан-Даера.

Нічога не даказана для крывых з рангам, большым за 1, хоць на карысць гіпотэзы сведчыць вялікая колькасць лікавых дадзеных^[2].

Вынікі

Як і з гіпотэзы Рымана, са здагадкі Бёрча — Свінертан-Даера вынікае мноства вывадаў, у тым ліку наступныя два:

Хай n — няцотны Шаблон:Нп3 цэлы лік. Калі здагадка Бёрча — Свінертан-Даера правільная, лік n з’яўляецца плошчаю прамавугольнага трохвугольніка з рацыянальнымі даўжынямі старон (Шаблон:Нп3) тады і толькі тады, калі колькасць троек цэлых лікаў (x, y, z), якія задавальняюць роўнасць $2 x^{2} + y^{2} + 8 z^{2} = n$ , раўняецца падвоенай колькасці цэлалікавых троек, якія задавальняюць $2 x^{2} + y^{2} + 32 z^{2} = n$ . Гэтае сцвярджэнне, праз Шаблон:Нп3 Шаблон:Harv, звязана з тым фактам, што лік n з’яўляецца кангруэнтным тады і толькі тады, калі эліптычная крывая $y^{2} = x^{3} - n^{2} x$ мае рацыянальны пункт бесканечнага парадку (і такім чынам, пры справядлівасці здагадкі Бёрча — Свінертан-Даера, яе L-функцыя мае нуль у пункце 1). Сцвярджэнне цікавае тым, што выкананне яго ўмовы лёгка праверыць^[3].
У іншым напрамку, некаторыя аналітычныя метады дазваляюць ацэньваць парадак нулёў пасярэдзіне крытычнай паласы сямействаў L-функцый. Паводле гіпотэзы Бёрча — Свінертан-Даера, гэтыя ацэнкі адпавядаюць інфармацыі аб рангу сямействаў разглядаемых эліптычных крывых. Напрыклад: пры дапушчэнні Шаблон:Нп3 і здагадкі Бёрча — Свінертан-Даера, сярэдні ранг крывых, зададзеных ураўненнем $y^{2} = x^{3} + a x + b$ , меншы чым 2.^[4]

Гл. таксама

Зноскі

Шаблон:Reflist

Літаратура

Спасылкі

Шаблон:Бібліяінфармацыя

↑ Гіпотэза Бёрча — Свінертан-Даера Шаблон:Архівавана на сайце Матэматычнага інстытута Клэя
↑ Шаблон:Cite paper
↑ Шаблон:Cite book
↑ Шаблон:Cite journal

[1] Гіпотэза Бёрча — Свінертан-Даера Шаблон:Архівавана на сайце Матэматычнага інстытута Клэя

[2] Шаблон:Cite paper

[3] Шаблон:Cite book

[4] Шаблон:Cite journal

[1]

[2]

[3]

[4]