Гіпотэза Рымана

Шаблон:Праблемы тысячагоддзя Гіпо́тэза Ры́мана - здагадка аб размеркаванні нулёў дзэта-функцыі Рымана. Яна сцвярджае, што ўсе нетрывіяльныя нулі Рыманавай дзэта-функцыі маюць рэчаісную частку Шаблон:Дроб2. Гіпотэза была сфармулявана Бернхардам Рыманам у 1859 годзе.

Пакуль невядома якой-небудзь заканамернасці, якая апісвала б размеркаванне простых лікаў сярод натуральных. Рыман выявіў, што колькасць простых лікаў, не большых за Шаблон:Math, — функцыя размеркавання простых лікаў, якая абазначаецца праз Шаблон:Math, — выражаецца праз размеркаванне так званых «нетрывіяльных нулёў» дзэта-функцыі.

Многія сцвярджэнні аб размеркаванні простых лікаў, у тым ліку аб вылічальнай складанасці некаторых цэлалікавых алгарытмаў, даказаныя пры дапушчэнні справядлівасці гіпотэзы Рымана.

Гіпотэза Рымана ўваходзіць у спіс сямі Шаблон:Нп3, за рашэнне кожнай з якіх Шаблон:Нп3 (Clay Mathematics Institute, Кембрыдж, Масачусетс) выплаціць узнагароду ў адзін мільён долараў ЗША. У выпадку апублікавання контрпрыкладу да гіпотэзы Рымана, вучоны савет інстытута Клэя мае права вырашыць, ці можна лічыць гэты контрпрыклад канчатковым рашэннем праблемы, ці праблему можна перафармуляваць у вузейшай форме і пакінуць адкрытай (у апошнім выпадку аўтару контрпрыкладу можа быць выплачана невялікая частка ўзнагароды).

Фармулёўка

Рэчаісная (чырвоная) і ўяўная (сіняя) часткі дзэта-функцыі

Дзэта-функцыя Рымана $\zeta (s)$ вызначана для ўсіх камплексных $s\ne 1$ і мае нулі ў адмоўных цотных $s=-2,-4,-6\dots$.

З функцыянальнага ўраўнення

$\zeta (s)=2^s{\pi }^s\sin \frac{\pi s}{2}\frac{1}{\sin \pi s\mathrm{\Gamma }(s)}\zeta (1-s)$

і яўнага выразу

$\frac{1}{\zeta (s)}=\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}\frac{\mu (n)}{n^s}$    пры $\mathrm{Re}s>1,$

дзе $\mu (n)$ — функцыя Мёбіуса, вынікае, што ўсе астатнія нулі, якія называюцца «нетрывіяльнымі», размяшчаюцца ў паласе $0⩽\mathrm{Re}s⩽1$ сіметрычна адносна так званай «крытычнай лініі» $\frac{1}{2}+it,t\in ℝ$.

Гіпотэза Рымана

Гіпотэза Рымана сцвярджае, што:

Усе нетрывіяльныя нулі дзэта-функцыі маюць рэчаісную частку, роўную Шаблон:Дроб2.

Абагульненая гіпотэза Рымана

Абагульненая гіпотэза Рымана складаецца з таго ж самага сцвярджэння для абагульненняў дзэта-функцыі, якія называюцца Шаблон:Нп3.

Раўназначныя фармулёўкі

У 1901 годзе Шаблон:Нп3 паказаў, што гіпотэза Рымана раўназначная наступнаму сцвярджэнню аб размеркаванні простых лікаў:

$\pi (x)=\underset{2}{\overset{x}{\int }}\frac{dt}{\ln t}+O(\sqrt{x}\ln x)$ при $x\to \mathrm{\infty }.$

Ёсць яшчэ некалькі раўназначных фармулёвак:

• Для ўсіх $x⩾2657$ выконваецца няроўнасць

  $|\pi (x)-\underset{2}{\overset{x}{\int }}\frac{dt}{\ln t}|<\frac{1}{8\pi }\sqrt{x}\ln x,$

• Для ўсіх $x⩾73.2$ справядліва няроўнасць

  $|\psi (x)-x|<\frac{1}{8\pi }\sqrt{x}{\ln }^2(x),$

• Для ўсіх $n>5040$ верная няроўнасць

  $\sigma (n)<e^{\gamma }n\log \log n,$

дзе Шаблон:Math — функцыя дзельнікаў ліку Шаблон:Math, а Шаблон:Math — пастаянная Эйлера — Маскероні.

• Для ўсіх $n>1$ спраўджваецца няроўнасць

  $\sigma (n)<H_n+e^{H_n}\ln H_n,$

дзе Шаблон:Math — Шаблон:Math-ы Шаблон:Нп3.

• Для любога дадатнага $\epsilon$ выконваецца няроўнасць

  $M(n)=O(n^{1/2+\epsilon }),$

дзе Шаблон:Math — Шаблон:Нп3, гл. таксама абазначэнне O вялікае. Мацнейшая гіпотэза $|M(n)|<\sqrt{n}$ была абвергнута ў 1985 годзе.

• Гіпотэза Рымана раўназначная наступнай роўнасці:

  $\underset{0}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}\frac{(1-12t^2)}{(1+4t^2{)}^3}\underset{1/2}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}\log |\zeta (\sigma +it)|d\sigma dt=\frac{\pi (3-\gamma )}{32}$.

• Калі гіпотэза Рымана несправядлівая, то існуе алгарытм, які рана ці позна выявіць яе парушэнне. Адсюль вынікае, што калі адмаўленне гіпотэзы Рымана недаказальнае ў арыфметыцы Пеана, то гіпотэза Рымана верная.
• Гіпотэза Рымана таксама раўназначная сцвярджэнню, што наступнае Шаблон:Нп3 не мае рашэнняў у неадмоўных цэлых ліках:

$\begin{array}{cc}& (el{g}^2+\alpha -(b-xy)q^2{)}^2+(q-b^{5^{60}}{)}^2+(\lambda +q^4-1-\lambda b^5{)}^2+\\ & (\theta +2z-b^5{)}^2+(u+t\theta -l{)}^2+(y+m\theta -e{)}^2+(n-q^{16}{)}^2+\\ & ((g+e{q}^3+l{q}^5+(2(e-z\lambda )(1+x{b}^5+g{)}^4+\lambda b^5+\lambda b^5{q}^4)q^4)(n^2-n)+\\ & (q^3-bl+l+\theta \lambda q^3+(b^5-2)q^5)(n^2-1)-r{)}^2+\\ & (p-2w{s}^2{r}^2{n}^2{)}^2+(p^2{k}^2-k^2+1-{\tau }^2{)}^2+\\ & (4(c-ks{n}^2{)}^2+\eta -k^2{)}^2+(r+1+hp-h-k{)}^2+\\ & (a-(w{n}^2+1)rs{n}^2{)}^2+(2r+1+\varphi -c{)}^2+\\ & (bw+ca-2c+4\alpha \gamma -5\gamma -d{)}^2+\\ & ((a^2-1)c^2+1-d^2{)}^2+((a^2-1)i^2{c}^4+1-f^2{)}^2+\\ & (((a+f^2(d^2-a){)}^2-1)(2r+1+jc{)}^2+1-(d+of{)}^2{)}^2+\\ & (((z+u+y{)}^2+u{)}^2+y-K{)}^2=0\end{array}$

дзе Шаблон:Math — некаторы вялікі фіксаваны цэлалікавы каэфіцыент (які, у прынцыпе, можна запісаць у яўным выглядзе), а астатнія літары абазначаюць зменныя. Ступень гэтага ўраўнення можна панізіць да чатырох цаною павелічэння колькасці зменных.

Гісторыя

У 1896 годзе Адамар і Шаблон:Нп3 незалежна даказалі, што нулі дзэта-функцыі не могуць ляжаць на прамых $\mathrm{Re}s=0$ і $\mathrm{Re}s=1$.

У 1900 годзе Давід Гільберт уключыў гіпотэзу Рымана ў спіс 23 нерэшаных праблем як частку восьмай праблемы, сумесна з Шаблон:Нп3.

У 1914 годзе Шаблон:Нп3 даказаў, што на крытычнай лініі знаходзіцца бесканечна многа нулёў, а пазней сумесна з Шаблон:Нп3 даў ніжнюю ацэнку долі тых нулёў, што ляжаць на крытычнай лініі. Гэтую ацэнку потым паляпшалі розныя матэматыкі. Таксама ў 1914 годзе Я. П. Громер знайшоў неабходныя і дастатковыя ўмовы справядлівасці гіпотэзы Рымана ў аналітычнай тэорыі лікаў (няроўнасці Громера).

Некаторыя нетрывіяльныя нулі размяшчаюцца экстрэмальна блізка адзін да аднаго. Гэтая ўласцівасць вядома як «з'ява Лемера».

Цітчмарш і Ворас у 1987 годзе паказалі, што дзэта-функцыя можа быць раскладзена ў здабытак праз свае нетрывіяльныя нулі ў раскладанне Адамара.

На 2004 год праверана больш чым 10^{13 першых нулёў.}

Група матэматыкаў Універсітэта Пердзью (ЗША) пад кіраўніцтвам Луі дэ Бранжа (Louis De Branges de Bourcia) прапанавала доказ гіпотэзы Рымана, які, аднак, аказаўся няправільным.

Меркаванні аб справядлівасці гіпотэзы

У аглядных працах (Шаблон:Harvnb, Шаблон:Harvnb, Шаблон:Harvnb) адзначаецца, што даныя на карысць справядлівасці гіпотэзы Рымана моцныя, але пакідаюць месца для абгрунтаваных сумненняў. Асобныя аўтары, аднак, упэўненыя ў няправільнасці гіпотэзы (напрыклад, так лічыў Джон Літлвуд).

Сярод вынікаў, якія дазваляюць дапускаць праўдзівасць гіпотэзы, можна выдзяліць паспяховы доказ падобных гіпотэз (у тым ліку, гіпотэзы Рымана аб мнагастайнасцях над канечнымі палямі). Гэта найбольш моцны тэарэтычны довад, які дазваляе меркаваць, што ўмова Рымана выконваецца для ўсіх Шаблон:Нп3, звязаных з Шаблон:Нп3, што ўключае класічную гіпотэзу Рымана. Ісціннасць аналагічнай гіпотэзы ўжо даказана для Шаблон:Нп3, у нечым падобнай на функцыю Рымана, і для Шаблон:Нп3 (аналаг дзэта-функцыі Рымана для функцыянальных палёў).

З другога боку, некаторыя з дзэта-функцый Эпштэйна не задавальняюць умову Рымана, хоць і маюць бесканечны лік нулёў на крытычнай лініі. Аднак гэтыя функцыі не выражаюцца праз рады Эйлера і не звязаныя напрамую з аўтаморфнымі адлюстраваннямі.

Да «практычных» довадаў на карысць справядлівасці Рыманавай гіпотэзы адносіцца вылічальная праверка вялікай колькасці нетрывіяльных нулёў дзэта-функцыі ў рамках праекта ZetaGrid.

Звязаныя праблемы

Дзве гіпотэзы Хардзі — Літлвуда

У 1914 годзе Годфры Харальд Хардзі даказаў, што функцыя $\zeta (\frac{1}{2}+it)$ мае бесканечна многа рэчаісных нулёў.

Няхай $N(T)$ ёсць колькасць рэчаісных нулёў, а $N_0(T)$ колькасць нулёў няцотнага парадку функцыі $\zeta (\frac{1}{2}+it)$, якія ляжаць на прамежку $(0,T]$.

Дзве гіпотэзы Хардзі і Літлвуда (аб адлегласці паміж рэчаіснымі нулямі $\zeta (\frac{1}{2}+it)$ і аб шчыльнасці нулёў $\zeta (\frac{1}{2}+it)$ на прамежках $(T,T+H]$ пры досыць вялікім $T>0$, $H=T^{a+\epsilon }$ і як можна меншым значэнні $a>0$, дзе $\epsilon >0$ адвольна малы лік), вызначылі два напрамкі ў даследаванні дзэта-функцыі Рымана:

1. Для любога $\epsilon >0$ існуе $T_0=T_0(\epsilon )>0$, такое што пры $T⩾T_0$ і $H=T^{0,25+\epsilon }$ прамежак $(T,T+H]$ утрымлівае нуль няцотнага парадку функцыі $\zeta (\frac{1}{2}+it)$.
2. Для любога $\epsilon >0$ існуюць такія $T_0=T_0(\epsilon )>0$ і $c=c(\epsilon )>0$, што пры $T⩾T_0$ і $H=T^{0,5+\epsilon }$ справядліва няроўнасць $N_0(T+H)-N_0(T)⩾cH$.

Гіпотэза А. Сельберга

У 1942 годзе Атле Сельберг даследаваў праблему Хардзі — Літлвуда 2 і даказаў, што для любога $\epsilon >0$ існуюць $T_0=T_0(\epsilon )>0$ і $c=c(\epsilon )>0$, такія што для $T⩾T_0$ і $H=T^{0,5+\epsilon }$ справядліва няроўнасць $N(T+H)-N(T)⩾cH\log T$.

У сваю чаргу, Атле Сельберг выказаў гіпотэзу, што можна паменшыць паказчык ступені $a=0,5$ для велічыні $H=T^{0,5+\epsilon }$.

У 1984 годзе Шаблон:Нп3 даказаў, што пры фіксаваным $\epsilon$ з умоваю $0<\epsilon <0,001$, даволі вялікім $T$ і $H=T^{a+\epsilon }$, $a=\frac{27}{82}=\frac{1}{3}-\frac{1}{246}$ прамежак $(T,T+H)$ утрымлівае не менш за $cH\ln T$ рэчаісных нулёў дзэта-функцыі Рымана $\zeta (\frac{1}{2}+it)$. Тым самым ён пацвердзіў гіпотэзу Сельберга.

Ацэнкі А. Сельберга і А. А. Карацубы з’яўляюцца непаляпшальнымі па парадку росту пры $T\to +\mathrm{\infty }$.

У 1992 годзе А. А. Карацуба даказаў, што аналаг гіпотэзы Сельберга справядлівы для «амаль усіх» прамежкаў $(T,T+H]$, $H=T^{\epsilon }$, дзе $\epsilon$ — адвольна малы фіксаваны дадатны лік. Метад, распрацаваны Карацубам, дазваляе даследаваць нулі дзэта-функцыі Рымана на «звышкароткіх» прамежках крытычнай прамой, г.зн. на прамежках $(T,T+H]$, даўжыня $H$ якіх расце павольней за любую, нават адвольна малую, ступень $T$. Сярод іншага, ён даказаў, што для любых зададзеных лікаў $\epsilon$, ${\epsilon }_1$ з умоваю $0<\epsilon ,{\epsilon }_1<1$ амаль усе прамежкі $(T,T+H]$ пры $H⩾\exp \{(\ln T{)}^{\epsilon }\}$ утрымліваюць не менш чым $H(\ln T{)}^{1-{\epsilon }_1}$ нулёў функцыі $\zeta (\frac{1}{2}+it)$. Гэтая ацэнка вельмі блізкая да тае, што вынікае з гіпотэзы Рымана.

Цікавыя факты

• Вядомы адказ Гільберта на пытанне, якія будуць яго дзеянні, калі ён па нейкай прычыне праспіць пяцьсот гадоў і раптам прачнецца. Матэматык адказаў, што перш за ўсё спытае, ці была даказана гіпотэза Рымана.
• Гіпотэза Рымана адносіцца да знакамітых Шаблон:Нп3, у лік якіх у свой час уваходзіла і тэарэма Ферма. Як вядома, Ферма зрабіў запіс аб тым, што даказаў сваю тэарэму, не пакінуўшы самога доказу, і тым самым кінуў выклік наступным пакаленням матэматыкаў. Брытанскі матэматык Г. Х. Хардзі скарыстаў сітуацыю з гэтымі праблемамі для забеспячэння ўласнай бяспекі ў час марскіх падарожжаў. Кожны раз перад адпраўкаю ў падарожжа ён адпраўляў аднаму са сваіх калег тэлеграму: ДАКАЗАЎ ГІПОТЭЗУ РЫМАНА КРПК ПАДРАБЯЗНАСЦІ ПА ВЯРТАННІ КРПК. Хардзі лічыў, што бог не дапусціць паўтарэння сітуацыі з тэарэмаю Ферма і дазволіць яму шчасліва вярнуцца з плавання.

Гл. таксама

• Адкрытыя матэматычныя праблемы

Літаратура

• Шаблон:Кніга
• Дербишир, Джон. Простая одержимость. Бернхард Риман и величайшая нерешенная проблема в математике. Астрель, 2010. 464 с. ISBN 978-5-271-25422-2.
• Шаблон:Артыкул
• Шаблон:Citation
• Шаблон:Citation
• Шаблон:Citation

Спасылкі

• Шаблон:MathWorld