Дзэта-функцыя Рымана

Якасны графік дзэта-функцыі Рымана на рэчаіснай восі. Злева ад нуля значэнні функцыі павялічаны ў 100 разоў для нагляднасці

Дзэта-функцыя Рымана — функцыя $\zeta (s)$ камплекснай зменнай $s=\sigma +it$, якую пры $\sigma >1$ вызначаюць з дапамогай рада Дзірыхле:

$\zeta (s)=\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}\frac{1}{n^s}=\frac{1}{1^s}+\frac{1}{2^s}+\frac{1}{3^s}+\dots ,$

дзе $s\in ℂ$.

У зададзенай вобласці $\sigma >1(\{s:\mathrm{Re}s>1\})$ гэты рад збягаецца, з’яўляецца аналітычнаю функцыяй і дапушчае аналітычны працяг на ўсю камплексную плоскасць без адзінкі.

Дзэта-функцыя Рымана для рэчаісных s > 1

Тоеснасць Эйлера

У зыходнай вобласці таксама справядліва прадстаўленне ў выглядзе бесканечнага здабытку (тоеснасць Эйлера)

$\zeta (s)=\prod _p\frac{1}{1-p^{-s}}$ ,

дзе здабытак бярэцца па ўсіх простых ліках Шаблон:Math. Шаблон:Hider

Гэта роўнасць з’яўляецца адной з асноўных уласцівасцей дзэта-функцыі.

Уласцівасці

• Існуюць яўныя формулы для значэнняў дзэта-функцыі ў цотных цэлых пунктах:

  $2\zeta (2m)=(-1{)}^{m+1}\frac{(2\pi {)}^{2m}}{(2m)!}{B}_{2m},$

  дзе $B_{2m}$ — лік Бернулі.

  • Напрыклад, $\zeta (2)=\frac{{\pi }^2}{6},\zeta (4)=\frac{{\pi }^4}{90}.$
• Пра значэнні дзэта-функцыі ў няцотных цэлых пунктах вядома мала: лічыцца, што яны ірацыянальныя і нават трансцэндэнтныя, але пакуль даказана толькі ірацыянальнасць ліку ζ(3) (Ражэ Аперы, 1978). Таксама даказана, што сярод значэнняў ζ(5), ζ(7), ζ(9), ζ(11) ёсць хаця б адзін ірацыянальны.
• Пры $\mathrm{Re}s>1$
  • $\frac{1}{\zeta (s)}=\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}\frac{\mu (n)}{n^s},$

  дзе $\mu (n)$ — функцыя Мёбіуса

  • ${\zeta }^2(s)=\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}\frac{\tau (n)}{n^s},$

  дзе $\tau (n)$ — лік дзельнікаў ліку $n$

  • ${\zeta }^2(s)\zeta (2s)=\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}\frac{2^{\nu (n)}}{n^s},$

  дзе $\nu (n)$ — лік простых дзельнікаў ліку $n$

• $\zeta (s)$ мае ў пункце $s=1$ просты полюс з вылікам, роўным 1.
• Дзэта-функцыя пры $s\ne 0,s\ne 1$ задавальняе ўраўненне:

  $\zeta (s)=2^s{\pi }^{s-1}\sin \left(\frac{\pi s}{2}\right)\mathrm{\Gamma }(1-s)\zeta (1-s),$

  дзе $\mathrm{\Gamma }(z)$ — гама-функцыя Эйлера. Гэта ўраўненне называецца функцыянальным ураўненнем Рымана.

• Для так званай ксі-функцыі Рымана

  $\xi (s)=\frac{1}{2}{\pi }^{-s/2}s(s-1)\mathrm{\Gamma }\left(\frac{s}{2}\right)\zeta (s),$

  уведзенай Рыманам для даследавання $\zeta (s)$, гэта ўраўненне прымае выгляд:

  $\xi (s)=\xi (1-s).$

Нулі дзэта-функцыі

Як вынікае з функцыянальнага ўраўнення Рымана, у паўплоскасці $\mathrm{Re}s<0$, функцыя $\zeta (s)$ мае толькі простыя нулі ў адмоўных цотных пунктах:

$0=\zeta (-2)=\zeta (-4)=\zeta (-6)=\dots .$

Гэтыя нулі называюцца «трывіяльнымі» нулямі дзэта-функцыі. Далей, $\zeta (s)\ne 0$ пры рэчаісных $s\in (0,1)$. Такім чынам, усе «нетрывіяльныя» нулі дзэта-функцыі — камплексныя лікі. Акрамя таго, яны размяшчаюцца сіметрычна адносна рэчаіснае восі і адносна вертыкалі $\mathrm{Re}s=\frac{1}{2}$ і ляжаць у паласе $0⩽\mathrm{Re}s⩽1$, якая называецца крытычнаю паласою. Згодна з гіпотэзаю Рымана, яны ўсе знаходзяцца на крытычнай прамой $\mathrm{Re}s=\frac{1}{2}$.

Абагульненні

Існуе даволі вялікая колькасць адмысловых функцый, звязаных з дзэта-функцыяй Рымана і аб’яднаных пад агульнай назваю дзэта-функцыі. Напрыклад:

• Дзэта-функцыя Гурвіца:

  $\zeta (s,q)=\sum _{k=0}^{\mathrm{\infty }}(k+q{)}^{-s},$

якая супадае з дзэта-функцыяй Рымана пры q = 1 (бо сумаванне вядзецца ад 0, а не ад 1).

• Полілагарыфм:

  ${\mathrm{L}\mathrm{i}}_s(z)=\sum _{k=1}^{\mathrm{\infty }}\frac{z^k}{k^s},$

які супадае з дзэта-функцыяй Рымана пры z = 1.

• Дзэта-функцыя Лерха:

  $\mathrm{\Phi }(z,s,q)=\sum _{k=0}^{\mathrm{\infty }}\frac{z^k}{(k+q{)}^s},$

якая супадае з дзэта-функцыяй Рымана пры z = 1 і q = 1 (бо сума бярэцца ад 0, а не ад 1).

• Квантавы аналаг (q-аналаг).

Гісторыя

Як функцыя рэчаіснай зменнай, дзэта-функцыя была ўведзена ў 1737 годзе Эйлерам, які і знайшоў формулу яе раскладання ў здабытак. Затым гэту функцыю разглядаў Дзірыхле і, асабліва паспяхова, Чабышоў пры даследаванні закону размеркавання простых лікаў. Але найбольш глыбокія ўласцівасці дзэта-функцыі былі выяўлены пазней, пасля працы Рымана (1859), у якой дзэта-функцыя разглядалася як функцыя камплекснай зменнай.

Спасылкі

• Шаблон:MathWorld