Трансцэндэнтны лік

У матэматыцы, трансцэндэнтны лік — лік (рэчаісны ці камплексны), які не з'яўляецца алгебраічным, г. зн. не з'яўляецца коранем ніякага ненулявога мнагачлена з рацыянальнымі каэфіцыентамі. Самымі знакамітымі прыкладамі трансцэндэнтных лікаў з'яўляюцца [[Лік Пі|Шаблон:Pi]] і e. Хаця вядома толькі некалькі класаў трансцэндэнтных лікаў (часткова таму, што даказаць трасцэндэнтнасць пэўнага ліку бывае вельмі складана), трансцэндэнтныя лікі не рэдкасць. Больш таго, амаль усе рэчаісныя і камплексныя лікі трансцэндэнтныя, таму што алгебраічныя лікі ўтвараюць злічальнае мноства, тады як мноствы і рэчаісных, і камплексных лікаў абодва незлічальныя. Усе рэчаісныя лікі з'яўляюцца ірацыянальнымі, бо ўсе рацыянальныя лікі алгебраічныя. Адваротнае несправядліва: не ўсе ірацыянальныя лікі трансцэндэнтныя; напрыклад, квадратны корань з 2 ірацыянальны, але не трансцэндэнтны лік, бо ён з'яўляецца рашэннем алгебраічнага ўраўнення Шаблон:Math.

Гісторыя

Слова «трансцэндэнтны» паяўляецца ў Лейбніцавай працы 1682 года, дзе ён даказаў, што Sin x — не алгебраічная функцыя ад x. Эйлер быў мабыць першым, хто вызначыў трансцэндэнтныя лікі ў сучасным сэнсе.

У 1844 годзе Жазеф Ліувіль першы даказаў існаванне трансцэндэнтных лікаў, і ў 1851 годзе прывёў першыя дзесятковыя прыклады, такія як пастаянная Ліувіля

$\sum _{k=1}^{\mathrm{\infty }}10^{-k!}=0.1100010000000000000000010000\dots ,$

дзе n-я лічба пасля коскі раўняецца 1, калі n роўнае k! (k фактарыял) для некаторага k, і 0 у процілеглым выпадку. Ліувіль паказаў, што гэты лік адносіцца да класа лікаў, якія цяпер называюцца лікамі Ліувіля; такія лікі можна прыблізіць рацыянальнымі лікамі больш дакладна, чым гэта можна зрабіць для любых ірацыяльных алгебраічных лікаў. Ліувіль паказаў, што ўсе Ліувілевы лікі трансцэндэнтныя.

Іаган Генрых Ламберт у сваёй працы 1761 года, дзе ён даказаў ірацыянальнасць ліку [[лік Пі|Шаблон:Pi]], выказаў здагадку, што e і [[лік Пі|Шаблон:Pi]] абодва трансцэндэнтныя. Першым лікам, чыя трансцэндэнтнасць была даказана, а не вызначана пры пабудове (г. зн. лік не канструяваўся адмыслова як прыклад трансцэндэнтнасці), стаў лік e, даказаў гэта Шарль Эрміт у 1873 годзе.

У 1874 годзе Георг Кантар даказаў, што алгебраічныя лікі ўтвараюць злічальнае мноства, а рэчаісныя — незлічальнае. Ён таксама прыдумаў новы метад для канструявання трасцэндэнтных лікаў. У 1878 годзе Кантар апублікаваў выкладкі, якія даказвалі, што трасцэндэнтных лікаў гэтак жа многа, як і рэчаісных. Кантарава праца ўстанавіла паўсюднасць трансцэндэнтных лікаў.

У 1882 годзе Фердынанд фон Ліндэман апублікаваў доказ трансцэндэнтнасці ліку π. Спачатку ён паказаў, што e ў любой ненулявой алгебраічнай ступені з'яўляецца трасцэндэнтным лікам, і раз e^iπ = −1 ёсць алгебраічны лік (гл. тоеснасць Эйлера), то лік iπ і, адсюль, лік π павінны быць трансцэндэнтнымі. Гэты падыход быў абагульнены Карлам Веерштрасам як тэарэма Ліндэмана — Веерштраса. Трансцэндэнтнасць ліку π дазволіла даказаць для некалькіх антычных геаметрычных задач на пабудову немагчымасць іх развязання з дапамогаю цыркуля і лінейкі, уключаючы самую знакамітую з іх — квадратуру круга.

У 1900 годе Давід Гільберт паставіў важнае пытанне аб трансцэндэнтных ліках, сваю сёмую праблему: Калі a ёсць алгебраічны лік, не роўны нулю і адзінцы, а b — ірацыянальны алгебраічны лік, ці будзе лік a^b абавязкова трасцэндэнтным? Станоўчы адказ у 1934 годе дала тэарэма Гельфанда — Шнайдэра. Гэты вынік быў пашыраны Аланам Бэйкерам у 1960-х у яго працы аб ніжніх ацэнках для лінейных форм ад адвольнага ліку лагарыфмаў алгебраічных лікаў.

Уласцівасці

Мноства трансцэндэнтных лікаў бесканечнае і, больш таго, незлічальнае. З таго, што мнагачлены з цэлымі каэфіцыентамі ўтвараюць злічальнае мноства, і кожны мнагачлен мае канечны лік нулёў, мноства алгебраічных лікаў таксама павінна быць злічальным. Але Кантараў дыяганальны доказ паказвае, што рэчаісных лікаў (і адсюль таксама камплексных лікаў) незлічальнае мноства; таму мноства ўсіх трансцэндэнтных лікаў таксама павінна быць незлічальным.

Сярод трансцэндэнтных лікаў няма рацыянальных, г. зн. усе рэчаісныя траснцэндэнтныя лікі ірацыянальныя. Рацыянальны лік можна запісаць як p/q, дзе p і q — цэлыя лікі. Відавочна, p/q ёсць корань мнагачлена qx − p = 0. Аднак, некаторыя ірацыянальныя лікі не з'яўляюцца трансцэндэнтнымі. Напрыклад, квадратны корань з 2 ірацыянальны, але не трансцэндэнтны (бо з'яўляецца рашэннем алгебраічнага ўраўнення x² − 2 = 0). Тое ж справядліва для квадратных каранёў з іншых лікаў, якія не з'яўляюцца поўнымі квадратамі.

Любая непастаянная алгебраічная функцыя ад аднае зменнай дае трансцэндэнтнае значэнне, калі яе аргумент — трансцэндэнтны лік. Напрыклад, ведаючы, што π — трансцэндэнтны лік, адразу ж можна сказаць, што такія лікі, як 5π, (π − 3)/√Шаблон:Overline, (√Шаблон:Overline − √Шаблон:Overline)⁸ і (π⁵ + 7)^1/7, таксама трансцэндэнтныя.

Аднак, алгебраічная функцыя некалькіх зменных можа даваць алгебраічны лік пры трансцэндэнтных аргументах у тым выпадку, калі яны алгебраічна залежныя. Напрыклад, π і (1 − π) абодва трансцэндэнтныя, а вось π + (1 − π) = 1 відавочна не. Невядома, трансцэндэнтны лік π + e ці не, хаця прынамсі адзін з лікаў π + e і πe павінен быць трансцэндэнтным. Больш агульна, для любых двух трансцэндэнтных лікаў a і b, хоць адзін з лікаў a + b і ab будзе трансцэндэнтным. Каб убачыць гэта, разгледзім мнагачлен (x − a)(x − b) = x² − (a + b)x + ab. Калі (a + b) і ab абодва алгебраічныя, тады гэта будзе мнагачлен з алгебраічнымі каэфіцыентамі. З таго, што алгебраічныя лікі ўтвараюць алгебраічна замкнутае поле, вынікае, што карані мнагачлена, a і b, таксама будуць алгебраічнымі лікамі. Але гэта супярэчнасць, і таму хаця б адзін з каэфіцыентаў трансцэндэнтны.

Невылічальныя лікі ўтвараюць уласнае падмноства трансцэндэнтных лікаў.

Усе лікі Ліувіля трансцэндэнтныя, але не наадварот. Любы лік Ліувіля павінен мець неабмежаваныя няпоўныя дзелі ў раскладанні ў непарыўны дроб. Існуюць трансцэндэнтныя лікі, якія маюць абмежаваныя няпоўныя дзелі і таму не з'яўляюцца лікамі Ліувіля. Гэта вынікае з таго, што лікі, чые непарыўныя дробы маюць абмежаваныя няпоўныя дзелі, утвараюць незлічальнае мноства, тады як мноства алгебраічных лікаў злічальнае, і таму абавязкова знойдуцца неалгебраічныя (трасцэндэнтныя) лікі з абмежаванымі няпоўнымі дзелямі.

Карыстаючыся яўным відам раскладання ліку e ў непарыўны дроб, можна паказаць, што e — не лік Ліувіля (хоць няпоўныя дзелі ў яго непарыўным дробе неабмежаваныя). У 1953 годзе Курт Малер паказаў, што π — таксама не лік Ліувіля. Была выказана гіпотэза, што ўсе бесканечныя неперыядычныя непарыўныя дробы з абмежаванымі дзелямі прадстаўляюць трасцэндэнтныя лікі (перыядычныя непарыўныя дробы адпавядаюць квадратычным ірацыянальнасцям).

Роднасны клас — лікі ў замкнёнай форме, якія можна вызначаць рознымі спосабамі, уключаючы рацыянальныя лікі (і ў некаторых азначэннях усе алгебраічныя лікі), але таксама дазваляюць ступеняванне і лагарыфмаванне.

Лікі з даказанаю трансцэндэнтнасцю

Лікі з даказанаю трансцэндэнтнасцю:

• e^a, калі a — алгебраічны лік, не роўны нулю (па тэарэме Ліндэмана — Веерштраса).
• π (па тэарэме Ліндэмана — Веерштраса).
• e^π, пастаянная Гельфанда, гэтак жа як e^−π/2=i ⁱ (па тэарэме Гельфанда — Шнайдэра).
• a^b, калі a — алгебраічны лік, не роўны 0 ці 1, а b — ірацыянальны алгебраічны лік (па тэарэме Гельфанда — Шнайдэра), у прыватнасці:

$2^{\sqrt{2}},$

пастаянная Гельфанда — Шнайдэра (ці лік Гільберта).

• Непарыўнадробавая сталая, Карл Людвіг Зігель (1929)

$1+\frac{1}{2+\frac{1}{3+\frac{1}{4+\frac{1}{5+\frac{1}{6+\ddots }}}}}$

• sin(a), cos(a) і tan(a), а таксама csc(a), sec(a) і cot(a), для любога ненулявога алгебраічнага ліку a (па тэарэме Ліндэмана — Веерштраса).
• ln(a), калі a — алгебраічны лік, не роўны 0 ці 1, для любой галіны лагарыфмічнай функцыі (па тэарэме Ліндэмана — Веерштраса).
• W(a), калі a — ненулявы алгебраічны лік, для любой галіны Ламбертавай W-функцыі (па тэарэме Ліндэмана — Веерштраса).
• Γ(1/3), Γ(1/4), and Γ(1/6).
• 0.12345678910111213141516…, Шаблон:Нп3.
• лік Ω, Шаблон:Нп3 (бо гэта невылічымы лік).
• Лік Фрэдгольма

$\sum _{n=0}^{\mathrm{\infty }}{2}^{-2^n}$

больш агульна, любы лік віду

$\sum _{n=0}^{\mathrm{\infty }}{\beta }^{2^n}$

дзе 0 < |β| < 1, β — алгебраічны лік.

• Вышэйназваная пастаянная Ліувіля

$\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}10^{-n!};$

больш агульна, любы лік віду

$\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}{\beta }^{n!}$

дзе 0 < |β| < 1 і β алгебраічнае

• Шаблон:Нп3.
• Любы лік, чые лічбы па некаторай аснове ўтвараюць Шаблон:Нп3.
• Пры β > 1

$\sum _{k=0}^{\mathrm{\infty }}10^{-\lfloor {\beta }^k\rfloor },$

дзе $\beta \mapsto \lfloor \beta \rfloor$ — цэлая частка ліку β.

Лікі, пра якія невядома, трасцэндэнтныя яны ці не

Лікі, для якіх на сёння не даказана ні іх трансцэндэнтнасць, ні іх алгебраічнасць:

• Большасць сум, здабыткаў, ступеней і пад. ліку π і ліку e. Напрыклад, для лікаў π + e, π − e, πe, π/e, π^π, e^e, π^e, π^{√Шаблон:Overline}, e^π² невядома, рацыянальныя яны, алгебраічныя ірацыянальныя ці трасцэндэнтныя. Вядомымі выключэннямі з'яўляюцца π + e^π, πe^π і e^{π√Шаблон:Overline} (для любога дадатнага цэлага n), для якіх было даказана, што яны трансцэндэнтныя.
• Пастаянная Эйлера — Маскероні γ (не даказана нават яе ірацыянальнасць).
• Пастаянная Каталана, для якой таксама невядома, ці ірацыянальная яна.
• Пастаянная Аперы, ζ(3) (якая, як даказаў Аперы, з'яўляецца ірацыянальным лікам)
• Рыманава дзэта-функцыя ў іншых няцотных натуральных пунктах, ζ(5), ζ(7), … (невядома, ірацыянальныя яны ці не.)
• Шаблон:Нп3, δ і α.

Гіпотэзы:

• Шаблон:Нп3,
• Шаблон:Нп3.

Накід доказу трасцэндэнтнасці ліку e

Першы доказ, што аснова натуральных лагарыфмаў, e, — трасцэндэнтны лік, адносіцца да 1873 года. Тут будзем ісці шляхам Давіда Гільберта (1862—1943), які спрасціў першапачатковы доказ Шарля Эрміта. Ідэя наступная:

Будзем даказваць ад процілеглага. Дапусцім, што лік e алгебраічны. Тады існуе канечны набор цэлых каэфіцыентаў c₀, c₁, …, c_n, якія задавальняюць ураўненне:

$c_0+c_{1}e+c_2{e}^2+\cdots +c_n{e}^n=0,c_0,c_n\ne 0.$

Цяпер для натуральнага k, вызначым наступны мнагачлен:

$f_k(x)=x^k{[(x-1)\cdots (x-n)]}^{k+1},$

і дамножым абедзве часткі вышэйпрыведзенага ўраўнення на

$\underset{0}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}{f}_k{e}^{-x}dx,$

каб атрымаць ураўненне:

$c_0\left(\underset{0}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}{f}_k{e}^{-x}dx\right)+c_{1}e\left(\underset{0}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}{f}_k{e}^{-x}dx\right)+\cdots +c_n{e}^n\left(\underset{0}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}{f}_k{e}^{-x}dx\right)=0.$

Гэта ўраўненне можна запісаць у выглядзе

$P+Q=0,$

дзе

$P=c_0\left(\underset{0}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}{f}_k{e}^{-x}dx\right)+c_{1}e\left(\underset{1}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}{f}_k{e}^{-x}dx\right)+c_2{e}^2\left(\underset{2}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}{f}_k{e}^{-x}dx\right)+\dots +c_n{e}^n\left(\underset{n}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}{f}_k{e}^{-x}dx\right)$

$Q=c_{1}e\left(\underset{0}{\overset{1}{\int }}{f}_k{e}^{-x}dx\right)+c_2{e}^2\left(\underset{0}{\overset{2}{\int }}{f}_k{e}^{-x}dx\right)+\dots +c_n{e}^n\left(\underset{0}{\overset{n}{\int }}{f}_k{e}^{-x}dx\right)$

Лема 1. Няхай цэлы лік k выбраны так, што k+1 — просты лік, тады $\frac{P}{k!}$ — ненулявы цэлы лік.

Доказ. Пакажам, што кожны член у P з'яўляецца цэлым лікам, дамножаным на суму фактарыялаў. Гэта вынікае з наступных разважанняў.

Для любога натуральнага j справядліва роўнасць

$\underset{0}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}{x}^j{e}^{-x}dx=j!$

(гл. Гама-функцыя).

У складніках віду

$c_a{e}^a\underset{a}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}{f}_k{e}^{-x}dx,$

дзе a — цэлы лік, 0 < a ≤ n, пад інтэгралам замест x падставім x—a. Пасля замены вынесем з-пад інтэграла множнік e^-a, пад інтэгралам застанецца здабытак паказчыкавай функцыі і мнагачлена f_k(x—a), які мае цэлыя каэфіцыенты і дзеліцца на x^k+1. Такім чынам, P ператвараецца ў суму інтэгралаў віду

$\underset{0}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}{x}^j{e}^{-x}dx,$

дзе k+1 ≤ j, і, такім чынам, гэта цэлы лік, які дзеліцца на (k+1)!. Пасля дзялення на k!, атрымліваем нуль па модулю (k+1).

Аднак, можна запісаць:

$\underset{0}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}{f}_k{e}^{-x}dx=\underset{0}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}([(-1{)}^n(n!){]}^{k+1}{e}^{-x}{x}^k+\dots )dx$

і адсюль для складніка з каэфіцыентам c₀ атрымліваем

$\frac{1}{k!}{c}_0\underset{0}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}{f}_k{e}^{-x}dx=c_0[(-1{)}^n(n!){]}^{k+1}mod(k+1).$

Выбіраючы k так, каб k+1 было простым лікам, большым за n і |c₀|, атрымліваем, што

$\frac{P}{k!}$

не роўны нулю па модулю (k+1) і, такім чынам, ненулявы.

Лема 2. $\left|\frac{Q}{k!}\right|<1$ для дастаткова вялікага k.

Доказ. Заўважым, што

$f_k{e}^{-x}=x^k[(x-1)(x-2)\dots (x-n){]}^{k+1}{e}^{-x}=([x(x-1)\dots (x-n){]}^k)((x-1)\dots (x-n)e^{-x}).$

Усе сумножнікі ў правай частцы непарыўныя і абмежаваныя на адрэзку [0,n]. Таму існуюць такія велічыні G і H (незалежныя ад k), што для любых x на адрэзку [0,n] спраўджваюцца няроўнасці

$|x(x-1)\dots (x-n)|\le G,$

$|(x-1)\dots (x-n)e^{-x}|\le H.$

Адсюль атрымліваем

$|Q|<G^{k}H(|c_1|e+2|c_2|e^2+\dots +n|c_n|e^n).$

З гранічнай роўнасці

$\underset{k\to \mathrm{\infty }}{\lim }\frac{G^k}{k!}=0$

вынікае, што

$\underset{k\to \mathrm{\infty }}{\lim }\frac{Q}{k!}=0,$

чаго дастаткова, каб завяршыць доказ лемы.

Заўважаючы, што k можна выбраць так, каб спраўджваліся абедзве лемы, атрымліваем супярэчнасць, неабходную, каб даказаць трасцэндэнтнасць ліку e.

Трасцэндэнтнасць ліку π

Падобны падыход (у першапачатковым Ліндэманавым доказе выкарыстоўваўся іншы) можна выкарыстаць, каб паказаць, что лік π трансцэндэнтны. Акрамя таго, у доказе важную ролю адыгрываюць гама-функцыя і некаторыя ацэнкі (як і ў доказе для e), а таксама факты аб сіметрычных мнагачленах.

Больш падрабязныя звесткі пра доказы трансцэндэнтнасці π і e гл. у спасылках на крыніцы і сеціўныя рэсурсы.

Класіфікацыя Малера

У 1932 годзе Курт Малер раздзяліў усе трасцэндэнтныя лікі на 3 класы, названыя S, T, і U. Вызначэнне гэтых класаў заснавана на пашырэнні ідэі лікаў Ліувіля (згаданых вышэй).

Мера ірацыянальнасці рэчаіснага ліку

Адзін са спосабаў вызначыць лік Ліувіля — разгледзець, наколькі малымі зададзены рэчаісны лік x робіць лінейныя мнагачлены |qx − p|, не зануляючы іх. Тут p, q — цэлыя лікі, такія што |p|, |q| абмежаваныя дадатным цэлым H.

Няхай m(x, 1, H) — найменшае ненулявое абсалютнае значэнне, якое прымаюць гэтыя мнагачлены. Возьмем:

$\omega (x,1,H)=-\frac{\log m(x,1,H)}{\log H}$

$\omega (x,1)=\underset{H\to \mathrm{\infty }}{\mathrm{lim\; sup}}\omega (x,1,H).$

ω(x, 1) часта называецца мераю ірацыянальнасці рэчаіснага ліку x. Для рацыянальных лікаў, ω(x, 1) = 0, для ірацыянальных жа лікаў яна не меншая за 1. Лікі Ліувіля вызначаны так, што іх мера ірацыянальнасці бесканечная. Шаблон:Нп3 сцвярджае, што ірацыянальныя рэчаісныя алгебраічныя лікі маюць меру ірацыянальнасці 1.

Мера трансцэндэнтнасці камплекснага ліку

Далей разгледзім значэнні мнагачленаў у камплексным пункце x, калі гэтыя мнагачлены маюць цэлыя каэфіцыенты, ступень не больш за n, і вышыню не больш за H, дзе n і H — натуральныя лікі.

Няхай m(x,n,H) — найменшае ненулявое абсалютнае значэнне, якое такія мнагачлены прымаюць у пункце x. Прымем:

$\omega (x,n,H)=-\frac{\log m(x,n,H)}{n\log H}$

$\omega (x,n)=\underset{H\to \mathrm{\infty }}{\mathrm{lim\; sup}}\omega (x,n,H).$

Дапусцім, гэта раўняецца бесканечнасці для некаторага найменшага натуральнага n. Камплексны лік x у гэтым выпадку называецца U-лікам ступені n.

Цяпер можна вызначыць велічыню

$\omega (x)=\underset{n\to \mathrm{\infty }}{\mathrm{lim\; sup}}\omega (x,n).$

ω(x) часта называецца мераю трансцэндэнтнасці ліку x. Калі ω(x,n) абмежаваныя, тады ω(x) канечная, і x называецца S-лікам. Калі велічыні ω(x,n) канечныя, але неабмежаваныя, x называецца T-лікам. Лік x алгебраічны, калі і толькі калі ω(x) = 0.

Відавочна, лікі Ліувіля з'яўляюцца падмноствам U-лікаў. Уільям ЛеВекью (Шаблон:Lang-en) у 1953 годзе пабудаваў U-лікі адвольнай ступені. Лікі Ліувіля і, такім чынам, U-лікі з'яўляюцца незлічальнымі мноствамі. Лебегава мера гэтых мностваў раўняецца нулю.

T-лікі таксама складаюць мноства меры 0. Спатрэбілася каля 35 год, каб паказаць, што яны існуюць. Вольфганг Шміт у 1968 годзе паказаў, што прыклады такіх лікаў існуюць. Такім чынам, атрымліваецца, што амаль усе камплексныя лікі з'яўляюцца S-лікамі. Малер даказаў, што паказчыкавая функцыя пераводзіць усе ненулявыя алгебраічныя лікі ў S-лікі: гэта паказвае, што e ёсць S-лік, і дае доказ трансцэндэнтнасці ліку π. Амаль усё, што вядома пра лік π, — гэта тое, што ён не U-лік. Многія іншыя трансцэндэнтныя лікі застаюцца некласіфікаванымі.

Два лікі x і y называюцца алгебраічна залежнымі, калі існуе ненулявы мнагачлен P ад 2 невядомых з цэлымі каэфіцыентамі, такі што P(x, y) = 0. Ёсць моцная тэарэма, якая сцвярджае: калі два камплексныя лікі алгебраічна залежныя, то яны належаць аднаму Малераваму класу. Гэта дазваляе будаваць новыя трансцэндэнтныя лікі, такія як сума ліку Ліувіля з e ці π.

Часта мяркуюць, што S абазначае імя Малеравага настаўніка Карла Людвіга Зігеля, а T і U — проста дзве наступныя літары.

Эквівалентная класіфікацыя Коксмы

Юр'ен Коксма ў 1939 прапанаваў іншую класіфікацыю, заснаваную на прыбліжэнні алгебраічнымі лікамі.

Разгледзім прыбліжэнне камплекснага ліку x алгебраічнымі лікамі ступені ≤ n і вышыні ≤ H. Няхай α — алгебраічны лік з гэтага канечнага мноства, такі што |x − α| мае найменшае дадатнае значэнне. Вызначым ω*(x,H,n) і ω*(x,n) паводле суадносін:

$|x-\alpha |=H^{-n{\omega }^{*}(x,H,n)-1}.$

${\omega }^{*}(x,n)=\underset{H\to \mathrm{\infty }}{\mathrm{lim\; sup}}{\omega }^{*}(x,n,H).$

Калі для некаторага найменшага натуральнага n велічыня ω*(x,n) бесканечная, x называецца U*-лікам ступені n.

Калі велічыні ω*(x,n) абмежаваныя і пры нарастанні n не збягяюцца да 0, x называецца S*-лікам,

Лік x называецца A*-лікам, калі ω*(x,n) збягаецца да 0 пры імкненні n да бесканечнасці.

Калі велічыні ω*(x,n) ўсе канечныя, але неабмежаваныя, x называецца T*-лікам.

Класіфікацыі Коксмы і Малера эквівалентныя ў тым, што яны падзяляюць трансцэндэнтныя лікі на тыя самыя класы. A*-лікі — гэта алгебраічныя лікі.

Канструкцыя ЛеВекью

Няхай

$\lambda =\frac{1}{3}+\sum _{k=1}^{\mathrm{\infty }}10^{-k!}$

Можна паказаць, што корань n-ай ступені з λ (ліку Ліувіля) з'яўляецца U-лікам ступені n.

Гэту канструкцыю можна палепшыць, каб пабудаваць незлічальнае сямейства U-лікаў ступені n. Няхай Z — мноства, якое складаецца з усіх ступеней дзясяткі ў вышэйпрыведзеным радзе для λ. Мноства ўсіх падмностваў Z незлічальнае. Выдаленне любога з падмностваў мноства Z з рада для λ стварае незлічальна многа розных лікаў Ліувіля, чые карані n-й ступені з'яўляюцца U-лікамі ступені n.

Тып

Дакладная верхняя мяжа паслядоўнасці {ω(x, n)} называецца тыпам. Амаль усе рэчаісныя лікі з'яўляюцца S-лікамі тыпу 1, які з'яўляецца найменшым для рэчаісных S-лікаў. Амаль усе камплексныя лікі з'яўляюцца S-лікамі тыпу 1/2, які таксама найменшы для камплексных S-лікаў. Сцвярджэнне для амаль усіх лікаў было сфармулявана Малерам (т. зв. праблема Малера) і ў 1965 годзе даказана Уладзімірам Спрынджуком.

Гл. таксама

• Тэорыя трансцэндэнтнасці — галіна тэорыі лікаў, у якой разглядаюцца пытанні, звязаныя з трансцэндэнтнымі лікамі
• Алгебраічны лік
• Ірацыянальны лік

Літаратура

• Шаблон:Крыніцы/БелЭн
• Шаблон:Кніга
• Шаблон:Крыніцы/МатЭС
• Шаблон:Артыкул
• David Hilbert, «Über die Transcendenz der Zahlen e und $\pi$», Mathematische Annalen 43:216-219 (1893).
• A. O. Gelfond, Transcendental and Algebraic Numbers, Dover reprint (1960).
• Шаблон:Cite book
• Шаблон:Cite book
• Шаблон:Cite book
• Шаблон:Cite book
• Шаблон:Cite book
• Шаблон:Cite book
• Peter M Higgins, «Number Story» Copernicus Books, 2008, ISBN 978-1-84800-001-8.
• Шаблон:Cite book

Спасылкі

• Шаблон:MathWorld
• Шаблон:MathWorld
• Шаблон:En icon Доказ трансцэндэнтнасці ліку e Шаблон:Архівавана
• Шаблон:En icon Доказ трасцэндэнтнасці пастаяннай Ліувіля Шаблон:Архівавана
• Шаблон:De icon Доказ трансцэндэнтнасці ліку e (PDF) Шаблон:Архівавана
• Шаблон:De icon Доказ трансцэндэнтнасці ліку $\pi$ (PDF) Шаблон:Архівавана