Гама-функцыя

Абсалютная велічыня гама-функцыі на камплекснай плоскасці

Гама-функцыя (або Эйлераў інтэграл другога роду) — матэматычная функцыя, якая пашырае паняцце фактарыяла на поле камплексных лікаў. Звычайна абазначаецца грэчаскай літарай гама Шаблон:Math.

Для натуральных Шаблон:Math справядліва роўнасць:

$\mathrm{\Gamma }(n)=(n-1)!$

Гама-функцыя вызначана для ўсіх камплексных лікаў, за выключэннем адмоўных цэлых і нуля. Для камплексных лікаў з дадатнай рэчаіснай часткай, функцыя вызначаецца з дапамогай збежнага неўласцівага інтэграла:

$\mathrm{\Gamma }(t)=\underset{0}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}{x}^{t-1}{e}^{-x}dx.$

Гэту інтэгральную функцыю можна аналітычна працягнуць на ўсю камплексную плоскасць, за выключэннем недадатных цэлых лікаў (дзе функцыя мае простыя полюсы). Атрыманая ў выніку мераморфная функцыя і называецца гама-функцыяй.

Была ўведзена Леанардам Эйлерам, а сваім абазначэннем гама-функцыя абавязана Лежандру.

Азначэнні

Графік гама-функцыі рэчаіснай зменнай

Інтэгральнае азначэнне

Калі рэчаісная частка камплекснага ліку $z$ дадатная, то Гама-функцыя вызначаецца праз інтэграл

$\mathrm{\Gamma }(z)=\underset{0}{\overset{+\mathrm{\infty }}{\int }}{t}^{\mathrm{z}-1}{e}^{-t}dt,z\in ℂ:\mathrm{R}\mathrm{e}(z)>0$

На ўсю камплексную плоскасць функцыя аналітычна працягваецца праз тоеснасць

$\mathrm{\Gamma }(z+1)=z\mathrm{\Gamma }(z).$

Існуе непасрэдны аналітычны працяг зыходнай формулы на ўсю камплексную плоскасць, т. зв. інтэграл Рымана-Ханкеля

$\mathrm{\Gamma }(z)=\frac{1}{e^{i2\pi \mathrm{z}}-1}\underset{L}{\int }{t}^{\mathrm{z}-1}{e}^{-t}dt,z\in ℂ\setminus \{0,-1,-2,\dots \}.$

дзе контур $L$ — любы контур на камплекснай плоскасці, які абходзіць пункт $t=0$ супраць гадзіннікавай стрэлкі, і канцы якога ідуць на бесканечнасць уздоўж дадатнай рэчаіснае восі.

Наступныя выразы з’яўляюцца альтэрнатыўнымі азначэннямі Гама-функцыі.

Азначэнне па Гаусу

Яно вернае для ўсіх камплексных $z$, за выключэннем 0 і адмоўных цэлых лікаў

$\mathrm{\Gamma }(z)=\lim {\mathrm{\backslash limits}}_{n\to \mathrm{\infty }}\frac{n!n^z}{z(z+1)(z+2)\cdots (z+n)},z\in ℂ\setminus \{0,-1,-2,\dots \}.$

Азначэнне па Эйлеру

$\mathrm{\Gamma }(z)=\frac{1}{z}\left(\prod _{n=1}^{\mathrm{\infty }}{(1+\frac{1}{n})}^z{(1+\frac{z}{n})}^{-1}\right)=\frac{1}{z}\prod _{n=1}^{\mathrm{\infty }}\frac{{(1+\frac{1}{n})}^{\mathrm{z}}}{1+\frac{\mathrm{z}}{n}},z\in ℂ\setminus \{0,-1,-2,\dots \}.$

Азначэнне па Веерштрасу

$\mathrm{\Gamma }(z)=\frac{e^{-\gamma z}}{z}\prod _{n=1}^{\mathrm{\infty }}{(1+\frac{z}{n})}^{-1}{e}^{z/n},z\in ℂ\setminus \{0,-1,-2,\dots \},$

дзе $\gamma =\lim {\mathrm{\backslash limits}}_{n\to \mathrm{\infty }}(\sum _{k=1}^n\frac{1}{k}-\ln n)\approx 0,57722$ — пастаянная Эйлера — Маскероні.

Заўвагі

• Вышэйпрыведзены інтэграл збягаецца абсалютна, калі рэчаісная частка камплекснага ліку $z$ дадатна.
• Прымяняючы інтэграванне па частках, можна паказаць, што тоеснасць

  $\mathrm{\Gamma }(z+1)=z\mathrm{\Gamma }(z)$

справядліва для падынтэгральнага выразу.

• Паколькі $\mathrm{\Gamma }(1)=1$, для ўсіх натуральных лікаў $n$

$\mathrm{\Gamma }(n+1)=n\cdot \mathrm{\Gamma }(n)=\dots =n!\cdot \mathrm{\Gamma }(1)=n!$

• $\mathrm{\Gamma }(z)$ з’яўляецца мераморфнаю на камплекснай плоскасці і мае полюсы ў пунктах $z=0,-1,-2,-3,\dots$

Звязаныя азначэнні

• Калі-нікалі выкарыстоўваецца альтэрнатыўны запіс, так званая пі-функцыя, якая звязана з гама-функцыяй наступным чынам:

  $\mathrm{\Pi }(z)=\mathrm{\Gamma }(z+1)=z\mathrm{\Gamma }(z).$

• У інтэграле з азначэння гама-функцыі, межы інтэгравання нязменныя. Разглядаюць таксама няпоўную гама-функцыю, якую вызначаюць падобным інтэгралам са зменнай верхняй ці ніжняй мяжою інтэгравання. Вылучаюць верхнюю няпоўную гама-функцыю, якую часта абазначаюць як гама-функцыю ад двух аргументаў:

$\mathrm{\Gamma }(a,z)=\underset{\mathrm{z}}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}{t}^{a-1}{e}^{-t}dt,$

і ніжнюю няпоўную гама-функцыю, якую таксама абазначаюць малой літарай «гама»:

$\gamma (a,z)=\underset{0}{\overset{\mathrm{z}}{\int }}{t}^{a-1}{e}^{-t}dt.$

Уласцівасці

Графік модуля гама-функцыі на камплекснай плоскасці.

• Формула дапаўнення Эйлера:

  $\mathrm{\Gamma }(1-z)\mathrm{\Gamma }(z)=\frac{\pi }{\sin \pi z}.$

• З яе вынікае Шаблон:Нп4:

  $\mathrm{\Gamma }(z)\mathrm{\Gamma }(z+\frac{1}{n})\dots \mathrm{\Gamma }(z+\frac{n-1}{n})=n^{\frac{1}{2}-nz}\cdot (2\pi {)}^{\frac{n-1}{2}}\mathrm{\Gamma }(nz),$

• якую пры n=2 называюць формулай падваення Лежандра:

  $\mathrm{\Gamma }(z)\mathrm{\Gamma }(z+\frac{1}{2})=2^{1-2z}\sqrt{\pi }\mathrm{\Gamma }(2z).$

• Гама-функцыя мае полюс у $z=-n$ для любога натуральнага $n$ і нуля; вылік у гэтым пункце задаецца так:

  ${\mathrm{Res}}_{z=-n}\mathrm{\Gamma }(z)=\frac{(-1{)}^n}{n!}.$

• Наступнае прадстаўленне гама-функцыі ў выглядзе бесканечнага здабытку, як паказаў Веерштрас, верна для ўсіх камплексных $z$, акрамя недадатных цэлых лікаў:

  $\mathrm{\Gamma }(z)=\frac{e^{-\gamma z}}{z}\prod _{k=1}^{\mathrm{\infty }}{(1+\frac{z}{k})}^{-1}{e}^{z/k},$

дзе $\gamma$ — пастаянная Эйлера — Маскероні.

• Важная ўласцівасць, якая вынікае з гранічнага азначэння:

  $\overline{\mathrm{\Gamma }(z)}=\mathrm{\Gamma }(\bar{z})$.

• Гама-функцыя бесканечна дыферэнцавальная, і

  ${\mathrm{\Gamma }}^{\prime }(x)=\psi (x)\mathrm{\Gamma }(x),$

дзе $\psi (x)$ часта называюць «псі-функцыяй», ці дыгама-функцыяй.

• Гама-функцыя і бэта-функцыя звязаны наступнымі суадносінамі:

  $\mathrm{B}(x,y)=\frac{\mathrm{\Gamma }(x)\mathrm{\Gamma }(y)}{\mathrm{\Gamma }(x+y)}.$

Асобныя значэнні

• Найбольш вядомыя значэнні гама-функцыі ад няцэлага аргумента:

  $\mathrm{\Gamma }\left(\frac{1}{2}\right)=\sqrt{\pi }.$

  $\mathrm{\Gamma }\left(\frac{1}{4}\right)=\sqrt{\frac{(2\pi {)}^{3/2}}{AGM(\sqrt{2},1)}},$

  дзе Шаблон:Math — Шаблон:Нп3 лікаў Шаблон:Math і Шаблон:Math.

  $\mathrm{\Gamma }\left(\frac{3}{2}\right)=\frac{\sqrt{\pi }}{2}.$

  $\mathrm{\Gamma }(\frac{1}{2}+n)=\frac{(2n)!}{4^{n}n!}\sqrt{\pi }=\frac{(2n-1)!!}{2^n}\sqrt{\pi }=\sqrt{\pi }\cdot [(\genfrac{}{}{0ex}{}{n-\frac{1}{2}}{n})n!]$

  $\mathrm{\Gamma }(\frac{1}{2}-n)=\frac{(-4{)}^{n}n!}{(2n)!}\sqrt{\pi }=\frac{(-2{)}^n}{(2n-1)!!}\sqrt{\pi }=\sqrt{\pi }/[(\genfrac{}{}{0ex}{}{-\frac{1}{2}}{n})n!]$

Гл. таксама

• Спіс аб'ектаў, названых у гонар Леанарда Эйлера
• K-функцыя
• G-функцыя Барнса
• Бэта-функцыя
• Гама-размеркаванне
• Няпоўная гама-функцыя
• Формула Стырлінга

Літаратура

• Шаблон:Кніга

Спасылкі

• Шаблон:MathWorld