Інтэграл

Вызначаны інтэграл як плошча фігуры

Што такое інтэграл (анімацыя)

ІнтэграШаблон:Націскл фуШаблон:Націскнкцыі — аналаг сумы паслядоўнасці, адно з галоўных паняццяў матэматычнага аналізу. Паняцце ўзнікла ў сувязі з патрэбаю знаходзіць функцыі па іх вытворных (нявызначаны інтэграл) і вызначаць плошчы, аб’ёмы і г.д. (вызначаны інтэграл).

Працэс знаходжання інтэграла называецца інтэграваШаблон:Націскннем.

Згодна з асноўнай тэарэмай аналізу, інтэграванне ёсць аперацыяй, адваротнай да дыферэнцавання. Гэты факт выкарыстоўваецца пры развязанні дыферэнцыяльных раўнанняў.

Існуе некалькі розных азначэнняў аперацыі інтэгравання, якія адрозніваюцца ў тэхнічных дэталях. Аднак усе яны ўзгодненыя, г.зн. любыя два спосабы інтэгравання, калі іх можна прымяніць да дадзенай функцыі, дадуць адзін і той жа вынік. Найбольш простым з’яўляецца інтэграл Рымана.

Нявызначаны інтэграл

Хай дадзена $f(x)$ — функцыя сапраўднай зменнай. Нявызначаным інтэгралам функцыі $f(x)$ ці яе першаіснай называецца такая функцыя $F(x)$, вытворная ад якой роўная $f(x)$, то-бок $F^{\prime }(x)=f(x)$. Пазначаецца гэта так:

$F(x)=\int f(x)dx$

У гэтым запісе$\int$ -- знак інтэграла, $f(x)$ называецца падынтэгральны функцыяй, а $dx$ -- элементам інтэгравання.

Першаісная ёсць не для кожнай функцыі. Лёгка паказаць, што, прынамсі, усё бесперапынныя функцыі маюць першаісную. Паколькі вытворныя двух функцый, якія адрозніваюцца на канстанту, супадаюць, у выраз для нявызначанага інтэграла ўключаюць адвольную пастаянную $C$, напрыклад

$\int x^{2}dx=\frac{x^3}{3}+C,\int \cos (x)dx=\sin (x)+C$

Аперацыя знаходжання інтэграла называецца інтэграваннем. Аперацыі інтэгравання і дыферэнцыявання процілеглыя адна другой у наступным сэнсе:

$\frac{d}{dx}\int f(x)dx=f(x),\int \frac{df(x)}{dx}dx=f(x)+C$

Спасылкі

• Шаблон:MathWorld
• Wolfram Integrator — вылічэнне інтэгралаў анлайн з дапамогай сістэмы Mathematica