Злічальнае мноства

Злічальнае мноства — бесканечнае мноства, элементы якога можна перанумараваць натуральнымі лікамі. Больш фармальна: мноства $X$ з'яўляецца злічальным, калі існуе біекцыя $X\leftrightarrow \mathbb{N}$, дзе $\mathbb{N}$ пазначае мноства ўсіх натуральных лікаў. Іншымі словамі, злічальнае мноства — гэта мноства, якое такую ж магутнасць як і мноства натуральных лікаў.

Злічальнае мноства з'яўляецца «найменшым» бесканечным мноствам, гэта значыць у любым бесканечным мностве знойдзецца злічальнае падмноства. Магутнасць мноства ўсіх натуральных лікаў пазначаецца сімвалам ${\mathrm{\aleph }}_0$ (вымаўляецца: «Алеф-нуль»).

Уласцівасці

• Любое падмноства злічальнага мноства не больш чым злічальнае (г.зн. канечнае або злічальнае).
• Аб'яднанне канечнай або злічальнай колькасці злічальных мностваў злічальнае.
• Прамы здабытак канечнага ліку злічальных мностваў злічальны.
• Мноства ўсіх канечных падмностваў злічальнага мноства злічальнае.
• Мноства ўсіх падмностваў злічальнага мноства мае магутнасць кантынуума і таму не злічальнае.

Звязаныя паняцці

Незлічальнае мноства — бесканечнае мноства, якое не з'яўляецца злічальным. Такім чынам, любое мноства з'яўляецца альбо канечным, альбо злічальным, альбо незлічальным.

Прыклады

Злічальныя мноствы

• простыя лікі
• натуральныя лікі
• цэлыя лікі
• рацыянальныя лікі
• алгебраічныя лікі
• колца перыядаў
• вылічальныя лікі
• арыфметычныя лікі
• мноства ўсіх канечных слоў над злічальным алфавітам
• мноства ўсіх слоў над канечным алфавітам
• любое бесканечнае сямейства неперасякальных адкрытых прамежкаў на рэчаіснай восі
• мноства ўсіх прамых на плоскасці, кожная з якіх утрымлівае хаця б 2 пункты з рацыянальнымі каардынатамі
• любое бесканечнае мноства пунктаў на плоскасці, усе пары адлегласцей паміж элементамі якога рацыянальныя

Незлічальныя мноствы

• рэчаісныя лікі
• камплексныя лікі