Сіметрычны мнагачлен

Сіметры́чны мнагачле́н — мнагачлен ад Шаблон:Math зменных $F(x_1,x_2,...,x_n)$, які не мяняе выгляду пры любых перастаноўках сваіх зменных. Інакш кажучы, калі адвольным чынам перанумараваць зменныя, сіметрычны мнагачлен застанецца тым жа.

Элементарныя сіметрычныя мнагачлены

Элементарныя сіметрычныя мнагачлены — мнагачлены віду

${\sigma }_k(x_1,x_2,\dots ,x_n)=\sum _{1\le j_1<j_2<\dots <j_k\le n}{x}_{j_1}\dots x_{j_k},$

вызначаныя для $k=1,2\dots n$, г.зн. такія:

$\begin{array}{ccc}{\sigma }_1(x_1,x_2,\dots ,x_n)& =& x_1+x_2+\cdots +x_n\\ {\sigma }_2(x_1,x_2,\dots ,x_n)& =& x_1{x}_2+x_1{x}_3+\cdots +x_{n-1}{x}_n\\ & \cdots & \\ {\sigma }_{n-1}(x_1,x_2,\dots ,x_n)& =& x_1{x}_2\dots x_{n-1}+x_1{x}_2\dots x_{n-2}{x}_n+\cdots +x_2{x}_3\dots x_n\\ {\sigma }_n(x_1,x_2,\dots ,x_n)& =& x_1{x}_2\dots x_n\end{array}$

Прыклады

• Дыскрымінант — мнагачлен віду

  $D(p)=a_n^{2n-2}\prod _{i<j}({\alpha }_i-{\alpha }_j{)}^2,$

  дзе ${\alpha }_1,{\alpha }_2,\dots ,{\alpha }_n$ — карані нейкага мнагачлена ад аднае зменнай:

  $p(x)=a_0+a_{1}x+...+a_n{x}^n.$

• Ступенныя сумы — сумы аднолькавых ступеней зменных, г.зн.

  $F(x_1,x_2,\dots ,x_n)=\sum _{i=1}^n{x}_i^{\alpha }$

Асноўная тэарэма тэорыі сіметрычных мнагачленаў

Асноўная тэарэма тэорыі сіметрычных мнагачленаў сцвярджае: Шаблон:Тэарэма

Гл. таксама

• Дыскрымінант
• Сіметрычная група

Літаратура

• Шаблон:Кніга
• Шаблон:Артыкул