Пі

Разгортка акружнасці і лік Шаблон:Math

Лік Шаблон:Math (чытаецца як «пі») — матэматычная пастаянная, адносіна даўжыні акружнасці да яе дыяметра, прыблізна роўная 3,14159. Абазначаецца грэчаскай літарай «пі».

Шаблон:Pi — ірацыянальны лік, і таму яго нельга дакладна запісаць звычайным дробам. Аднак дробы, напрыклад, такія як 22/7, 3,14 і некаторыя іншыя рацыянальныя лікі, даволі часта выкарыстоўваюцца як прыбліжэнні ліку Шаблон:Pi. Дзесятковы запіс ліку Шаблон:Pi ніколі не заканчваецца і ніколі не становіцца перыядычным. Лічбы выглядаюць выпадкова размеркаванымі, аднак доказаў, што гэта сапраўды так, дагэтуль няма.

Шаблон:Pi — трансцэндэнтны лік, г. зн. ён не можа быць коранем ніякага ненулявога мнагачлена з рацыянальнымі каэфіцыентамі. Адсюль, сярод іншага, вынікае, што развязаць антычную праблему квадратуры круга з дапамогай цыркуля і лінейкі немагчыма.

Упершыню лік $\pi$ з'явіўся ў геаметрыі пры вывучэнні адносін даўжыні і радыуса акружнасці. Тысячы гадоў матэматыкі даследавалі лік Шаблон:Pi, у тым ліку вылічваючы яго значэнне з высокаю дакладнасцю. Да 15-га стагоддзя для ацэнкі значэння Шаблон:Pi матэматыкі (напрыклад, Архімед і Лю Хуэй) карысталіся геаметрычнымі метадамі, заснаванымі на многавугольніках. Пачынаючы прыблізна з 15-га стагоддзя, новыя алгарытмы, заснаваныя на бесканечных радах, карэнным чынам змянілі ўзровень вылічэнняў Шаблон:Pi. У 20—21 стст. матэматыкі і інфарматыкі вынайшлі новыя падыходы, што разам з нарастаннем вылічальных магутнасцей павялічыла колькасць вядомых дзесятковых лічб Шаблон:Pi да больш чым 10 трыльёнаў (10¹³) (на канец 2011 г.). Навуковыя прыкладанні, як правіла, патрабуюць не больш за 40 лічб Шаблон:Pi, так што галоўнаю прычынаю гэтых вылічэнняў з'яўляецца чалавечае жаданне пабіць рэкорды. Акрамя таго, гэтыя працаёмкія вылічэнні выкарыстоўваліся пры тэсціраванні суперкамп’ютараў і алгарытмаў множання высокай дакладнасці.

Грэчаскай літарай $\pi$ гэту пастаянную ўпершыню абазначыў брытанскі матэматык Уільям Джонс (1706), а агульнапрынятым такое абазначэнне стала пасля прац Леанарда Эйлера. Абазначэнне паходзіць ад пачатковай літары грэчаскіх слоў περιφέρεια — акружнасць, перыферыя і περίμετρος — перыметр.

З тае прычыны, што азначэнне ліку Шаблон:Pi звязана з акружнасцю, ён уваходзіць у многія формулы ў трыганаметрыі і геаметрыі, асабліва ў тыя, што датычацца акружнасцей, эліпсаў і сфер. Ён таксама сустракаецца ў формулах з іншых галін навукі, такіх як касмалогія, тэорыя лікаў, статыстыка, тэорыя фракталаў, тэрмадынаміка, механіка і электрамагнетызм. Паўсюднасць ліку Шаблон:Pi робіць яго адною з самых знакамітых матэматычных сталых як сярод навуковай супольнасці, так і па-за ёю: ліку прысвечана некалькі кніг, у гонар ліку ўстаноўлены Дзень Пі, рэкордныя вылічэнні лічбаў Шаблон:Pi часта трапляюць у загалоўкі навін. Спробы запомніць лічбы Шаблон:Pi з нарастаннем дакладнасці прывялі да рэкордаў у больш чым 67,000 лічб.

Асноўныя звесткі

Абазначэнне

У матэматыцы адносіну даўжыні акружнасці да яе дыяметра абазначаюць грэчаскаю літараю Шаблон:Pi (вымаўляецца «пі»), якая часам, асабліва калі недаступны адпаведныя шрыфты, запісваецца спалучэннем лацінскіх літар як «pi». У матэматычным ужытку, маленкая літара Шаблон:Pi адрозніваецца ад вялікай літары Π, якая абазначае здабытак элементаў паслядоўнасці.

Азначэнне

Акружнасць трохі больш чым у тры разы даўжэйшая за свой дыяметр. Дакладная адносіна называецца Шаблон:Pi.

Лік Шаблон:Pi звычайна вызначаюць як адносіну даўжыні акружнасці Шаблон:Math да яе дыяметра Шаблон:Math :

$\pi =\frac{C}{d}$

Адносіна Шаблон:Math ёсць сталая велічыня, незалежная ад памераў круга. Напрыклад, калі адзін круг мае дыяметр, удвая большы чым у другога, то і даўжыня акружнасці першага будзе ўдвая большая чым у другога, пры гэтым значэнне адносіны Шаблон:Math захоўваецца. Такое адзначэнне ліку Шаблон:Pi няяўна выкарыстоўвае плоскую (еўклідаву) геаметрыю; хаця паняцці круга і акружнасці можна пашырыць на любую скрыўленую (нееўклідаву) геаметрыю, для гэтых новых кругаў формулу Шаблон:Math ўжо не будзе справядліваю. Ёсць таксама іншыя азначэнні ліку Шаблон:Pi, у якіх кругі не выкарыстоўваюцца ўвогуле. Напрыклад, Шаблон:Pi — гэта падвоенае значэнне найменшага дадатнага ліку Шаблон:Math, для якога Шаблон:Math раўняецца 0.

Уласцівасці

Шаблон:Pi — ірацыянальны лік, г. зн. яго нельга запісаць у выглядзе адносіны двух цэлых лікаў (такія дробы, як 22/7, звычайна выкарыстоўваюцца ў якасці прыбліжэнняў Шаблон:Pi; ніякі звычайны дроб (дзель цэлых лікаў) не можа быць дакладным значэннем Шаблон:Pi). Раз Шаблон:Pi ірацыянальны, то ў яго дзесятковым прадстаўленні бесканечна многа ненулявых лічб, пры гэтым паслядоўнасць лічб не становіцца перыядычнай. Ёсць некалькі [[доказ ірацыянальнасці ліку π|доказаў таго, што Шаблон:Pi ірацыянальны]]; як правіла, у іх выкарыстоўваецца матэматычны аналіз, і яны пабудаваны на метадзе ад процілеглага. Ступень, з якою можна прыблізіць лік Шаблон:Pi рацыянальнымі лікамі, (т. зв. мера ірацыянальнасці) дакладна невядомая; ацэнкі паказваюць, што мера ірацыянальнасці ліку Шаблон:Pi большая чым у лікаў Шаблон:Math і ln(2), але меншая чым у лікаў Ліувіля.

З прычыны трансцэндэнтнасці ліку Шаблон:Pi, квадратуру круга немагчыма пабудаваць з дапамогаю цыркуля і лінейкі за канечны лік крокаў.

Шаблон:Pi — трансцэндэнтны лік, г. зн. што ён не з'яўляецца нулём ніякага непастаяннага мнагачлена з рацыянальнымі каэфіцыентамі, напрыклад, такога як $\frac{x^5}{120}-\frac{x^3}{6}+x=0$. Трансцэндэнтнасць ліку Шаблон:Pi мае два важныя вынікі: першы, лік Шаблон:Pi нельга выразіць ніякаю канечнаю камбінацыяй рацыянальных лікаў і арыфметычных каранёў з цэлымі паказчыкамі, напрыклад, такіх як $\sqrt[3]{31}$ ці $\sqrt[2]{10}.$ Другі, паколькі ніякі трансцэндэнтны лік нельга пабудаваць з дапамогай цыркуля і лінейкі, развязаць задачу «квадратуры круга» немагчыма. Іншымі словамі, немагчыма пабудаваць, карыстаючыся толькі цыркулем і лінейкаю, квадрат з плошчаю, роўнаю плошчы зададзенага круга. Квадратура круга была адною з самых значных геаметрычных праблем класічнай антычнасці. У наш час матэматыкі-любіцелі часам спрабавалі пабудаваць квадратуру круга і іншы раз заяўлялі аб поспеху, нягледзячы на тое, што гэта немагчыма.

Лічбы ліку Шаблон:Pi не маюць яўнай заканамернасці і праходзяць тэсты на выпадковасць, у тым ліку і тэсты на нармальнасць (лік, які запісваецца бесканечнай колькасцю лічб, называецца нармальным, калі ўсе магчымыя паслядоўнасці лічб (любой зададзенай даўжыні) трапляюцца аднолькава часта). Гіпотэза, што лік Шаблон:Pi нармальны, не даказана, але і не абвергнута. З прыходам камп'ютараў для статыстычнага аналізу стала даступна вялікая колькасць лічб Шаблон:Pi. Ясумаса Канада правёў падрабязны статыстычны аналіз дзесятковых лічб ліку Шаблон:Pi і зрабіў вывад, што іх паводзіны не супярэчаць нармальнасці; напрыклад, частоты лічбаў ад 0 да 9 былі пратэсціраваны на статыстычную значнасць, і ніякіх прыкмет заканамернасці знойдзена не было. Нягледзячы на тое, што лічбы Шаблон:Pi праходзяць тэсты на выпадковасць, Шаблон:Pi утрымлівае некаторыя паслядоўнасці лічбаў, якія для нематэматыкаў здаюцца невыпадковымі, напрыклад, пункт Фейнмана — група з шасці паслядоўных дзявятак, якая пачынаецца на 762-ым разрадзе ў дзесятковым запісе ліку Шаблон:Pi.

Непарыўныя дробы

Пастаянная Шаблон:Pi. Мазаіка ў двары будынка матэматычнага факультэта ў Берлінскім тэхнічным універсітэце.

Як і ўсе ірацыянальныя лікі, Шаблон:Pi нельга прадставіць у выглядзе звычайнага дробу. Але любы ірацыянальны лік, уключаючы Шаблон:Pi, можна прадставіць бесканечным ланцугом укладзеных дробаў, т. зв. непарыўным дробам:

$\pi =3+\frac{1}{7+\frac{1}{15+\frac{1}{1+\frac{1}{292+\frac{1}{1+\frac{1}{1+\frac{1}{1+\ddots }}}}}}}$

Абрыў непарыўнага дробу ў любой кропцы спараджае звычайны дроб — прыбліжэнне ліку Шаблон:Pi; два такія (звычайныя) дробы (22/7 і 355/113) гістарычна выкарыстоўваліся ў якасці прыбліжэння пастаяннай. Кожнае прыбліжэнне, атрыманае такім шляхам, з'яўляецца найлепшым рацыянальным прыбліжэннем; г.зн. кожнае з іх бліжэйшае да Шаблон:Pi чым любы іншы дроб з такім жа ці меншым назоўнікам. Хаця просты непарыўны дроб для Шаблон:Pi (паказаны вышэй) не праяўляе заканамернасці, матэматыкі знайшлі некалькі абагульненых непарыўных дробаў, якія маюць празрыстую заканамернасць, напрыклад:

$\pi =\frac{4}{1+\frac{1^2}{2+\frac{3^2}{2+\frac{5^2}{2+\frac{7^2}{2+\frac{9^2}{2+\ddots }}}}}}=3+\frac{1^2}{6+\frac{3^2}{6+\frac{5^2}{6+\frac{7^2}{6+\frac{9^2}{6+\ddots }}}}}=\frac{4}{1+\frac{1^2}{3+\frac{2^2}{5+\frac{3^2}{7+\frac{4^2}{9+\ddots }}}}}$

Прыблізнае значэнне

π ≈ 3,141 592 653 589 793 238 462 643 383 279 502 884 197 169 399 375 105 820 974 944 592 307 816 406 286 208 998 628 034 825 342 117 067 982 148 086 513 282 306 647 093 844 609 550 582 231 725 359 408 128 481 117 450 284 102 701 938 521 105 559 644 622 948 954 930 381 964 428 810 975 665 933 446 128 475 648 233 786 783 165 271 201 909 145 648 566 923 460 348 610 454 326 648 213 393 607 260 249 141 273 724 587 006 606 315 588 174 881 520 920 962 829 254 091 715 364 367 892 590 360 011 330 530 548 820 466 521 384 146 951 941 511 609 433 057 270 365 759 591 953 092 186 117 381 932 611 793 105 118 548 074 462 379 962 749 567 351 885 752 724 891 227 938 183 011 949 129 833 673 362…

Некаторыя [[прыбліжэнні ліку π|прыбліжэнні ліку Шаблон:Pi]]:

• Звычайныя дробы (у парадку нарастання дакладнасці): Шаблон:Sfrac, Шаблон:Sfrac, Шаблон:Sfrac, Шаблон:Sfrac, Шаблон:Sfrac, і Шаблон:Sfrac . (Спіс складзены з выбраных членаў паслядоўнасцей Шаблон:OEIS2C і Шаблон:OEIS2C.)
• Дзесятковы дроб: Першыя 100 дзесятковых лічбаў Шаблон:Gaps Шаблон:OEIS2C
• Двайковы дроб: запіс па аснове 2 да 48 лічбаў Шаблон:Gaps
• Шаснаццатковы дроб: запіс па аснове 16 да 20 лічбаў Шаблон:Gaps
• Шасцідзесятковы дроб: па аснове 60 прыбліжэнне да чатырох шасцідзесятковых лічбаў 3;8,29,44,1

Прыбліжэнні, якімі карысталіся старажытныя навукоўцы:

• $\frac{22}{7}$ (Архімед),
• $\frac{377}{120}$ (прыведзена ў кнізе індыйскага мысліцеля і астранома Арыябхаты у 5 стагоддзі н.э.),
• $\frac{355}{113}$ (прыбліжэнне прыпісваецца старажытнакітайскаму астраному Цзу Чунджы, сучасніку Арыябхаты).

Суадносіны

Вядома шмат формул для ліку $\pi$:

• Франсуа Віет, 1593:

$\frac{2}{\pi }=\frac{\sqrt{2}}{2}\frac{\sqrt{2+\sqrt{2}}}{2}\frac{\sqrt{2+\sqrt{2+\sqrt{2}}}}{2}\dots$

• Рад Лейбніца:

$\frac{1}{1}-\frac{1}{3}+\frac{1}{5}-\frac{1}{7}+\frac{1}{9}-\cdots =\frac{\pi }{4}$

• Тоеснасць Эйлера:

$e^{\pi i}+1=0$

Спосабы вылічэння

Прынцып Архімеда

Архімед, магчыма, першым прапанаваў спосаб вылічэння ліку $\pi$ як граніцы. Для гэтага ён упісваў у акружнасць і апісваў каля яе правільныя многавугольнікі. Прымаючы дыяметр акружнасці за адзінку, Архімед разглядаў перыметр упісанага многавугольніка як ніжнюю ацэнку даўжыні акружнасці, а перыметр апісанага многавугольніка як верхнюю ацэнку. Так, для шасцівугольніка (гл. малюнак) атрымліваецца $3<\pi <2\sqrt{3}.$

Разглядаючы правільны 96-вугольнік, Архімед атрымаў ацэнку $3\frac{10}{71}<\pi <3\frac{1}{7}.$

У Новы час для вылічэння $\pi$ выкарыстоўваюцца аналітычныя метады, заснаваныя на тоеснасцях. Прыведзеныя вышэй формулы малапрыдатныя для вылічальных мэт, бо ў іх або выкарыстоўваюцца павольна збежныя рады, або трэба выконваць складаную аперацыю здабывання квадратнага кораня.

Першую эфектыўную формулу знайшоў у 1706 Джон Мэчын (John Machin):

$\frac{\pi }{4}=4\mathrm{a}\mathrm{r}\mathrm{c}\mathrm{t}\mathrm{g}\frac{1}{5}-\mathrm{a}\mathrm{r}\mathrm{c}\mathrm{t}\mathrm{g}\frac{1}{239}$

Расклаўшы арктангенс у рад Тэйлара, можна атрымаць хутка збежны рад, прыдатны для вылічэння ліку $\pi$ з вялікай дакладнасцю.

Яшчэ хутчэй працуюць алгарытмы, заснаваныя на формулах Рамануджана

$\frac{1}{\pi }=\frac{2\sqrt{2}}{9801}\sum _{k=0}^{\mathrm{\infty }}\frac{(4k)!(1103+26390k)}{(k!{)}^{4}396^{4k}}$

і Чудноўскага

$\frac{1}{\pi }=12\sum _{k=0}^{\mathrm{\infty }}\frac{(-1{)}^k(6k)!(13591409+545140134k)}{(3k)!(k!{)}^{3}640320^{3k+3/2}}$

У 1997 Дэйвід Х. Бэйлі, Пітэр Боруэйн і Сайман Плуф адкрылі спосаб хуткага вылічэння адвольнай двайковай лічбы ліку $\pi$ без вылічэння папярэдніх лічб, заснаваны на формуле

$\pi =\sum _{i=0}^{\mathrm{\infty }}\frac{1}{16^i}(\frac{4}{8i+1}-\frac{2}{8i+4}-\frac{1}{8i+5}-\frac{1}{8i+6})$

Нявырашаныя праблемы

• Невядома, ці з'яўляюцца лікі $\pi$ і $e$ алгебраічна незалежнымі.
• Невядомая дакладная мера ірацыянальнасці для лікаў $\pi$ і ${\pi }^2$ (але вядома, што для $\pi$ яна не перавышае 7,6063).
• Невядомая мера ірацыянальнасці ні для аднаго з наступных лікаў: $\pi +e,\pi -e,\pi \cdot e,\frac{\pi }{e},{\pi }^e,{\pi }^{\sqrt{2}},\ln \pi ,{\pi }^{\pi },e^{{\pi }^2}.$. Ні для аднаго з іх невядома нават, ці з'яўляецца ён рацыянальным лікам, алгебраічна ірацыянальным або трансцэндэнтным лікам.
• Невядома, ці з'яўляецца ${}^n\pi$ цэлым лікам пры якім-небудзь дадатным цэлым $n$. Невядома нават, ці з'яўляецца ${}^4\pi ={\pi }^{{\pi }^{{\pi }^{\pi }}}$ цэлым.
• Невядома, ці належыць $\frac{1}{\pi }$ да Шаблон:Нп3.
• Дагэтуль нічога невядома аб Шаблон:Нп3 ліку $\pi$; невядома нават, якія з лічбаў 0-9 сустракаюцца ў дзесятковым прадстаўленні ліку $\pi$ бесканечную колькасць разоў.

Метад іголкі Бюфона

На разлінееную роўнааддаленымі прамымі плоскасць адвольна кідаецца іголка, даўжыня якой роўная адлегласці паміж суседнімі прамымі, так што пры кожным кіданні іголка альбо не перасякае прамыя, альбо перасякае роўна адну. Можна даказаць, што адносіна колькасці перасячэнняў іголкі з якой-небудзь лініяй да агульнай колькасці кідкоў імкнецца да $\frac{2}{\pi }$ пры павелічэнні колькасці кідкоў да бесканечнасці. Дадзены метад іголкі грунтуецца на тэорыі імавернасцей і ляжыць у аснове метаду Монтэ-Карла.

Цікава ведаць

Сусветны рэкорд па запамінанні знакаў ліку Пі належыць японцу Акіры Харагучы (Akira Haraguchi). Ён запомніў лік Пі да 100-тысячнага знака пасля коскі. Яму спатрэбілася амаль 16 гадзін, каб назваць увесь лік цалкам.

Неафіцыйнае свята

Неафіцыйнае свята «Дзень ліку Пі» (Pi Day) адзначаецца 14 сакавіка, якое ў амерыканскім фармаце дат запісваецца як 3.14, што адпавядае набліжанаму значэнню Пі.

Яшчэ адной датай, звязанай з лікам Пі, з'яўляецца 22 ліпеня, якое называецца «Днём прыбліжанага ліку Пі» (Pi Approximation Day), бо ў еўрапейскім фармаце дат гэты дзень запісваецца як 22/7, а значэнне гэтага дробу з'яўляецца набліжаным значэннем ліку Пі.

Літаратура

• А. В. Жуков, «О числе π». М.: МЦМНО, 2002 г., 32 з. ISBN 5-94057-030-5
• Шаблон:Cite book English translation by Catriona and David Lischka.
• Шаблон:Cite book
• Шаблон:Cite book
• Шаблон:Cite book
• Шаблон:Cite book
• Шаблон:Cite book
• Шаблон:Cite book
• Шаблон:Cite book, English translation by Stephen Wilson.
• Шаблон:Cite book
• Шаблон:Cite book
• Шаблон:Cite journal
• Шаблон:Cite journal
• Шаблон:Cite journal. issue 3 Jan/Feb, issue 4 Mar/Apr, issue 5 May/Jun

Спасылкі

• Лік $\pi$ з дакладнасцю да 4 мільёнаў знакаў пасля коскі Шаблон:Архівавана
• Лік $\pi$ з дакладнасцю да 5 мільёнаў знакаў пасля коскіШаблон:Недаступная спасылка
• Трыльён знакаў ліку $\pi$ (у zip-архівах) Шаблон:Архівавана
• Зона ПІ на Кавуне
• Pi-memory Шаблон:Архівавана