Ліміт (матэматыка)

Лімі́т, у старых і агульных слоўніках названы таксама грані́ца  — адно з асноўных паняццяў матэматыкі. Сутнасць паняцця ліміту заключаецца ў тым, што некаторая велічыня, залежная ад зменнай, пры пэўным змяненні апошняй адвольна блізка набліжаецца да пэўнай сталай велічыні. Паняцце блізкасці асноўнае пры азначэнні ліміту. Залежна ад таго, у якіх прасторах яго ўводзяць, паняцце ліміту набывае пэўны сэнс.

На паняцці ліміту грунтуюцца асноўныя паняцці матэматычнага аналізу: непарыўнасць, вытворная, дыферэнцыял, інтэграл.

Ліміт у матэматычным аналізе

Ліміт паслядоўнасці

Ліміт паслядоўнасці азначаецца для паслядоўнасці $(x_n{)}_{n=1}^{\mathrm{\infty }}$ элементаў Шаблон:Math тапалагічнай прасторы Шаблон:Math пры імкненні Шаблон:Math да бесканечнасці. Кажуць, што паслядоўнасць $(x_n{)}_{n=1}^{\mathrm{\infty }}$ збягаецца да свайго ліміту $a\in X$, калі для любога наваколля Шаблон:Math элемента Шаблон:Math існуе нумар Шаблон:Math , такі што для ўсіх Шаблон:Math выконваецца $x_n\in U(a)$. Таксама існуе сінанімічнае азначэнне: кажуць, што паслядоўнасць $(x_n{)}_{n=1}^{\mathrm{\infty }}$ збягаецца да свайго ліміту $a\in X$, калі для любога Шаблон:Math, якое больш за нуль, існуе Шаблон:Math, якое залежыць ад Шаблон:Math, пры якім для любога n большага за N выконваецца няроўнасць: $|x_n-a|<ϵ$. Збежнасць паслядоўнасці $(x_n{)}_{n=1}^{\mathrm{\infty }}$ да ліміту Шаблон:Math запісваюць як

$\lim {\mathrm{\backslash limits}}_{n\to \mathrm{\infty }}{x}_n=a.$

Ліміт функцыі

Няхай Шаблон:Math і Шаблон:Math — тапалагічныя прасторы. Няхай функцыя Шаблон:Math вызначана на мностве Шаблон:Math, якое з’яўляецца падмноствам прасторы Шаблон:Math. Будзем лічыць, што ў любым наваколлі пункта $x_0\in X$ ёсць хаця б адзін пункт мноства Шаблон:Math.

Пункт $a\in Y$ называюць лімітам функцыі Шаблон:Math пры імкненні Шаблон:Math да Шаблон:Math , калі для ўсякага наваколля Шаблон:Math пункта Шаблон:Math ў прасторы Шаблон:Math існуе такое наваколле Шаблон:Math пункта Шаблон:Math у прасторы Шаблон:Math, што для адвольнага пункта $x\in E\cap U_0$ яго вобраз Шаблон:Math належыць Шаблон:Math, г.зн. $f(E\cap U_0)\subset V.$

Пры гэтым пішуць

$\lim {\mathrm{\backslash limits}}_{x\to x_0}f(x)=a,$

або Шаблон:Math пры Шаблон:Math.

Ліміт інтэгральных сум

Няхай на адрэзку Шаблон:Math вызначана функцыя Шаблон:Math. Падзелім гэты адрэзак пунктамі Шаблон:Math на Шаблон:Math частак і на кожным з атрыманых меншых адрэзкаў возьмем адвольны лік ${\xi }_k\in [x_{k-1},x_k]$. Інтэгральная сума вызначаецца як

$S_n=f({\xi }_1)(x_1-x_0)+f({\xi }_2)(x_2-x_1)+\dots +f({\xi }_n)(x_n-x_{n-1}).$

Калі існуе канечны ліміт інтэгральных сум пры імкненні да нуля найбольшай з рознасцей Шаблон:Math, то яна называецца вызначаным інтэгралам Рымана ад функцыі Шаблон:Math на адрэзку Шаблон:Math.

Інтэграл Лебега таксама вызначаецца як ліміт інтэгральных сум, толькі гэтыя сумы будуюцца інакш.