Непарыўны дроб

Непары́ўны дроб (або ланцуго́вы дроб) — гэта матэматычны выраз віду

[a_{0}; a_{1}, a_{2}, a_{3}, \dots] = a_{0} + \frac{1}{a_{1} + \frac{1}{a_{2} + \frac{1}{a_{3} + \dots}}}

дзе Шаблон:Math ёсць цэлы лік, і ўсе астатнія Шаблон:Math — натуральныя лікі (дадатныя цэлыя).

Любы рэчаісны лік можна прадставіць у выглядзе непарыўнага дробу (канечнага ці бесканечнага). Лік можна прадставіць канечным ланцуговым дробам Шаблон:Нп3, калі ён рацыянальны. Лік можна прадставіць перыядычным ланцуговым дробам тады і толькі тады, калі ён ёсць квадратычная ірацыянальнасць.

Раскладанне ў непарыўны дроб

Любы рэчаісны лік $x$ можна прадставіць (канечным ці бесканечным, перыядычным ці неперыядычным) ланцуговым дробам $[a_{0}; a_{1}, a_{2}, a_{3}, \dots]$ , дзе

a_{0} = ⌊ x ⌋, x_{0} = x - a_{0},

a_{1} = ⌊ \frac{1}{x_{0}} ⌋, x_{1} = \frac{1}{x_{0}} - a_{1},

\dots

a_{n} = ⌊ \frac{1}{x_{n - 1}} ⌋, x_{n} = \frac{1}{x_{n - 1}} - a_{n},

\dots

дзе $⌊ x ⌋$ абазначае Шаблон:Нп3 ліку $x$ .

Для рацыянальнага ліку $x$ гэта раскладанне абарвецца па дасягненні нулявога $x_{n}$ для некаторага Шаблон:Math. У гэтым выпадку $x$ прадстаўляецца канечным непарыўным дробам $x = [a_{0}; a_{1}, \dots, a_{n}]$ .

Для ірацыянальнага $x$ усе велічыні $x_{n}$ будуць ненулявыя і працэс раскладання можна працягваць без канца. У гэтым выпадку $x$ прадстаўляецца бесканечным ланцуговым дробам $x = [a_{0}; a_{1}, a_{2}, a_{3}, \dots]$ .

Каб хутка раскласці рацыянальны лік у ланцуговы дроб, можна скарыстаць алгарытм Еўкліда.

Падыходныя дробы

n-ым падыходным дробам (або падыходзячым дробам) для ланцуговага дробу $x = [a_{0}; a_{1}, a_{2}, a_{3}, \dots]$ называецца канечны ланцуговы дроб $[a_{0}; a_{1}, \dots, a_{n}]$ . Значэнне падыходнага дробу раўняецца некатораму рацыянальнаму ліку $\frac{p_{n}}{q_{n}}$ . Падыходзячыя дробы з цотнымі нумарамі ўтвараюць нарастаючую паслядоўнасць, граніца якой роўная $x$ . Аналагічна, падыходзячыя дробы з няцотнымі нумарамі ўтвараюць спадаючую паслядоўнасць, граніца якой таксама роўная $x$ .

Эйлер вывеў Шаблон:Нп3 для вылічэння лічнікаў і назоўнікаў падыходных дробаў:

p_{- 1} = 1, p_{0} = a_{0}, p_{n} = a_{n} p_{n - 1} + p_{n - 2};

q_{- 1} = 0, q_{0} = 1, q_{n} = a_{n} q_{n - 1} + q_{n - 2} .

Такім чынам, велічыні $p_{n}$ і $q_{n}$ прадстаўляюцца значэннямі Шаблон:Нп3:

p_{n} = K_{n + 1} (a_{0}, a_{1}, \dots, a_{n})

q_{n} = K_{n} (a_{1}, a_{2}, \dots, a_{n})

Паслядоўнасці ${p_{n}}$ і ${q_{n}}$ нарастаюць.

Лічнікі і назоўнікі суседніх падыходных дробаў звязаны суадносінамі:

p_{n} q_{n - 1} - q_{n} p_{n - 1} = (- 1)^{n - 1},

(1)

якія можна перапісаць у выглядзе

\frac{p_{n}}{q_{n}} - \frac{p_{n - 1}}{q_{n - 1}} = \frac{(- 1)^{n - 1}}{q_{n - 1} q_{n}} .

Адкуль вынікае, што

| x - \frac{p_{n - 1}}{q_{n - 1}} | < \frac{1}{q_{n - 1} q_{n}} < \frac{1}{q_{n - 1}^{2}} .

Прыбліжэнне рэчаісных лікаў рацыянальнымі

Непарыўныя дробы дазваляюць эфектыўна знаходзіць добрыя рацыянальныя прыбліжэнні рэчаісных лікаў. А іменна, калі рэчаісны лік $x$ раскласці ў ланцуговы дроб, то яго падыходныя дробы будуць задавальняць няроўнасць

| x - \frac{p_{n}}{q_{n}} | < \frac{1}{q_{n}^{2}} .

Адсюль, сярод іншага, вынікае:

падыходны дроб $\frac{p_{n}}{q_{n}}$ з'яўляецца найлепшым прыбліжэннем для $x$ сярод усіх дробаў, назоўнік якіх не пераўзыходзіць $q_{n}$ ;
Шаблон:Нп3 любога ірацыянальнага ліку не меншая чым 2.

Прыклады

Раскладзём лік $π$ =3,14159265… у непарыўны дроб і падлічым яго падыходныя дробы:
3, 22/7, 333/106, 355/113, 103993/33102, …

Другі падыходны дроб 22/7 — гэта вядомае архімедава прыбліжэнне. Чацвёрты падыходны дроб 355/113 быў упершыю атрыман у Шаблон:Нп3.

У тэорыі музыкі трэба адшукаць рацыянальнае прыбліжэнне для $\log_{2} \frac{3}{2} \approx 0, 585$ . Трэці падыходны дроб 7/12 дазваляе абгрунтаваць класічнае дзяленне актавы на 12 Шаблон:Нп3^[1].

Уласцівасці і прыклады

Любы рацыянальны лік можна прадставіць у выглядзе канечнага непарыўнага дробу двума спосабамі, напрыклад:

9 / 4 = [2; 3, 1] = [2; 4]

Тэарэма Лагранжа: Лік прадстаўляецца ў выглядзе бесканечнага перыядычнага ланцуговага дробу тады і толькі тады, калі ён з'яўляецца ірацыянальным рашэннем квадратнага ўраўнення з цэлымі каэфіцыентамі.

Напрыклад:

\sqrt{2} = [1; 2, 2, 2, 2, \dots]

залатое сячэнне

ϕ = [1; 1, 1, 1, \dots]

Для алгебраічных лікаў ступені, большай за 2, характар раскладанняў у непарыўны дроб невядомы. Напрыклад, нават для $\sqrt[3]{2}$ невядома, ці канечная колькасць розных лікаў у яго раскладанні (Шаблон:OEIS).
Для некаторых трансцэндэнтных лікаў можна знайсці простую заканамернасць. Напрыклад, для асновы натуральнага лагарыфма:

e - 1 = [1; 1, 2, 1, 1, 4, 1, 1, 6, 1, 1, 8, \dots, 1, 1, 2 n - 2, 1, 1, 2 n, \dots]

для ліку

tg 1 = [1; 1, 1, 3, 1, 5, 1, 7, \dots, 1, 2 n + 1, 1, 2 n + 3, \dots]

У ліку пі простай заканамернасці не відаць^[2]:

π = [3; 7, 15, 1, 292, 1, 1, 1, 2, 1, 3, 1, 14, 2, 1, 1, 2, 2, 2, 2, 1, 84, 2, 1, 1, 15, \dots]

Шаблон:Нп3: Шаблон:Нп3 (акрамя мноства нулявой меры) рэчаісных лікаў існуе сярэдняе геаметрычнае каэфіцыентаў адпаведных ім ланцуговых дробаў, і яно роўнае Шаблон:Нп3.
Тэарэма Маршала Хола. Калі ў раскладанні ліку $x$ у непарыўны дроб, пачынаючы з другога элемента не сустракаюцца лікі, большыя за $n$ , то кажуць, што лік $x$ адносіцца да класа $F (n)$ . Любы рэчаісны лік можна прадставіць у выглядзе сумы двух лікаў з класа $F (4)$ і ў выглядзе здабытку двух лікаў з класа $F (4)$ ^[3]. У далейшым было паказана, што любы рэчаісны лік можна прадставіць сумаю трох лікаў з класа $F (3)$ і сумаю чатырох лікаў з класа $F (2)$ . Колькасць неабходных складнікаў у гэтай тэарэме нельга паменшыць — для прадстаўлення некаторых лікаў названым спосабам меншай колькасці складнікаў недастаткова^[4]^[5].

Прыкладанні непарыўных дробаў

Тэорыя календара

Пры распрацоўцы Шаблон:Нп3 неабходна знайсці рацыянальнае прыбліжэнне для ліку дзён у годзе, які роўны 365,2421988… Падлічым падыходныя дробы для дробнай часткі гэтага ліку:

\frac{1}{4}; \frac{7}{29}; \frac{8}{33}; \frac{31}{128}; \frac{132}{545} \dots

Першы дроб азначае, што раз у 4 гады трэба дабаўляць дадатковы дзень; гэты прынцып лёг у аснову юліянскага календара. Пры гэтым памылка ў 1 дзень набіраецца за 128 гадоў. Другое значэнне (7/29) ніколі не выкарыстоўвалася. Трэці дроб (8/33), г.зн. 8 высакосных гадоў за перыяд у 33 гады, быў прапанован Амарам Хаямам у XI ст. і даў пачатак Шаблон:Нп3, у якім памылка ў дзень набіраецца за 4500 гадоў (у грыгарыянскім — за 3280 гадоў). Вельмі дакладны варыянт з чацвёртым дробам (31/128, памылка ў суткі набіраецца толькі за 100000 гадоў) прапагандаваў нямецкі астраном Іаган фон Медлер (1864), аднак вялікай цікавасці ён не выклікаў.

Рашэнне параўнанняў першай ступені

Разгледзім Шаблон:Нп3:

a x \equiv b (\mod m),

дзе $a, b$ зададзеныя, прычым можна лічыць, што $a$ узаемна простае з $m$ . Трэба знайсці $x$ .

Раскладзём $\frac{m}{a}$ у непарыўны дроб. Ён будзе канечны, і апошні падыходны дроб $\frac{p_{n}}{q_{n}} = \frac{m}{a}$ . Падставім у формулу (1):

m q_{n - 1} - a p_{n - 1} = (- 1)^{n - 1} .

Адсюль вынікае:

a p_{n - 1} \equiv (- 1)^{n} (\mod m)

, ці:

a (- 1)^{n} p_{n - 1} \equiv 1 (\mod m) .

Вывад: клас вылікаў $x \equiv (- 1)^{n} p_{n - 1} b (\mod m)$ ёсць рашэнне зыходнага параўнання.

Іншыя прыкладанні

Доказ ірацыянальнасці лікаў. Напрыклад, з дапамогаю ланцуговых дробаў была даказана ірацыянальнасць значэння дзэта-функцыі Рымана $ζ (3)$
Рашэнне ў цэлых ліках Шаблон:Нп3^[6]: $x^{2} - n y^{2} = 1$ і іншых Шаблон:Нп3.
Вызначэнне заведама трансцэндэнтнага ліку (гл. Шаблон:Нп3)
Алгарытмы фактарызацыі SQUFOF і CFRAC.
Характарыстыка Шаблон:Нп3
Характарыстыка Шаблон:Нп3

Уласцівасці залатога сячэння

Шаблон:Гл. таксама

У непарыўным дробе залатога сячэння φ няма цэлых лікаў, большых за 1. Адсюль выцякае цікавы вынік: сярод рэчаісных лікаў лік φ — адзін з самых «цяжкіх» для прыбліжэння рацыянальнымі лікамі. Тэарэма Гурвіца^[7] сцвярджае, што любы рэчаісны лік Шаблон:Math можна прыблізіць дробам Шаблон:Math так, што

| x - \frac{m}{n} | < \frac{1}{n^{2} \sqrt{5}} .

Хоць практычна ўсе рэчаісныя лікі Шаблон:Math маюць бесканечна многа прыбліжэнняў Шаблон:Math, значна бліжэйшых да Шаблон:Math, чым гэта верхняя мяжа, прыбліжэнні для φ (г.зн. лікі 5/3, 8/5, 13/8, 21/13 і г. д.) на граніцы дасягаюць гэтай мяжы, утрымліваючы адлегласць амаль дакладна на $\frac{1}{n^{2} \sqrt{5}}$ ад φ, тым самым ніколі не даючы такога добрага прыбліжэння як, напрыклад, 355/113 для Шаблон:Math. Можна паказаць, што любы рэчаісны лік віду (a + bφ)/(c + dφ), дзе a, b, c і d — цэлыя лікі, такія што ad − bc = ±1, мае такую ж уласцівасць, як і залатое сячэнне φ; а таксама, што ўсе астатнія рэчаісныя лікі можна прыблізіць намнога лепш.

Гістарычная даведка

Шаблон:Нп3 ўмелі прадстаўляць адносіны несувымерных велічынь у выглядзе ланцужка падыходных адносін, атрымліваючы гэты ланцужок з дапамогаю алгарытма Еўкліда. Відаць, іменна такім спосабам Архімед атрымаў прыбліжэнне $\sqrt{3} \approx \frac{1351}{780}$ — гэта 12-ы падыходны дроб для $\sqrt{3}$ ці $\frac{1}{3}$ ад 4-га падыходнага дробу для $\sqrt{27}$ .

У V стагоддзі індыйскі матэматык Арыябхата прымяняў падобны «метад здрабнення» для рашэння неазначальных ураўненняў першай і другой ступені. З дапамогаю гэтай жа тэхнікі было, мабыць, атрымана вядомае прыбліжэнне ліку $π$ (355/113). У XVI стагоддзі Шаблон:Нп3 здабываў з дапамогаю ланцуговых дробаў квадратныя карані (гл. яго алгарытм).

Пачатак сучаснай тэорыі непарыўных дробаў даў у 1613 годзе П’етра Антоніа Катальдзі. Ён адзначыў іх асноўную ўласцівасць (гранічнае значэнне ляжыць паміж падыходнымі дробамі) і ўвёў абазначэнне, падобнае на сучаснае. Пазней яго тэорыю пашырыў Джон Валіс, які і прапанаваў тэрмін «непарыўны дроб». Раўназначны тэрмін «ланцуговы дроб» паявіўся ў канцы XVIII стагоддзя.

Прымяняліся гэтыя дробы найперш для рацыянальнага прыбліжэння рэчаісных лікаў; напрыклад, Хрысціян Гюйгенс выкарыстоўваў іх пры праектаванні зубчастых колаў свайго планетарыя. Гюйгенс ужо знаў, што падыходныя дробы заўсёды нескарачальныя і што яны даюць найлепшае рацыянальнае прыбліжэнне.

У XVIII стагоддзі тэорыю ланцуговых дробаў у агульных рысах завяршылі Леанард Эйлер і Жазеф Луі Лагранж.

Гл. таксама

Зноскі

Шаблон:Reflist

Літаратура

Шаблон:Бібліяінфармацыя

↑ Шаблон:Кніга
↑ Шаблон:OEIS
↑ M. Hall, On the sum and product of continued fractions, Annals of Math. 48 (1947) 966—993.
↑ B. Diviš, On sums of continued fractions, Acta Arith. 22 (1973) 157—173.
↑ T. W. Cusick and R. A. Lee, Sums of sets of continued fractions, Proc. Amer. Math. Soc. 30 (1971) 241-46.
↑ Бугаенко В. О. Уравнения Пелля, М.:МЦНМО, 2001. ISBN 5-900916-96-0.
↑ Шаблон:Cite book

[1] Шаблон:Кніга

[2] Шаблон:OEIS

[3] M. Hall, On the sum and product of continued fractions, Annals of Math. 48 (1947) 966—993.

[4] B. Diviš, On sums of continued fractions, Acta Arith. 22 (1973) 157—173.

[5] T. W. Cusick and R. A. Lee, Sums of sets of continued fractions, Proc. Amer. Math. Soc. 30 (1971) 241-46.

[6] Бугаенко В. О. Уравнения Пелля, М.:МЦНМО, 2001. ISBN 5-900916-96-0.

[7] Шаблон:Cite book

[1]

[2]

[3]

[4]

[5]

[6]

[7]

Непарыўны дроб

Змест

Раскладанне ў непарыўны дроб

Падыходныя дробы

Прыбліжэнне рэчаісных лікаў рацыянальнымі

Прыклады

Уласцівасці і прыклады

Прыкладанні непарыўных дробаў

Тэорыя календара

Рашэнне параўнанняў першай ступені

Іншыя прыкладанні

Уласцівасці залатога сячэння

Гістарычная даведка

Гл. таксама

Зноскі

Літаратура

Навігацыя

Непарыўны дроб

Раскладанне ў непарыўны дроб

Падыходныя дробы

Прыбліжэнне рэчаісных лікаў рацыянальнымі

Прыклады

Уласцівасці і прыклады

Прыкладанні непарыўных дробаў

Тэорыя календара

Рашэнне параўнанняў першай ступені

Іншыя прыкладанні

Уласцівасці залатога сячэння

Гістарычная даведка

Гл. таксама

Зноскі

Літаратура

Навігацыя

Пошук