Сярэдняе геаметрычнае

Сярэдняе геаметрычнае некалькіх дадатных рэчаісных лікаў — такі лік, якім можна замяніць кожны з гэтых лікаў так, каб іх здабытак не змяніўся:

$G(x_1,x_2,\dots ,x_n)=\sqrt[n]{x_1{x}_2\cdots x_n}={\left(\prod _{i=1}^n{x}_i\right)}^{1/n}.$

Сярэдняе геаметрычнае двух лікаў таксама называецца іх сярэднім прапарцыянальным.

Уласцівасці

• Гэтак жа, як і любое іншае сярэдняе значэнне, сярэдняе геаметрычнае ляжыць паміж найменшым і найбольшым з усіх лікаў:

$\min (x_1,x_2,\dots ,x_n)\le G(x_1,x_2,\dots ,x_n)\le \max (x_1,x_2,\dots ,x_n).$

• Сярэдняе геаметрычнае двух лікаў роўнае сярэдняму геаметрычнаму іх сярэдняга арыфметычнага і сярэдняга гарманічнага.
• Сярэдняе геаметрычнае двух лікаў Шаблон:Math, Шаблон:Math з'яўляецца сярэднім арыфметыка-гарманічным гэтых лікаў, г. зн. раўняецца граніцы дзвюх паслядоўнасцей $(a_n)$ і $(b_n),$ вызначаных наступным чынам:

$a_{n+1}=\frac{a_n+b_n}{2},a_0=x$

і

$b_{n+1}=\frac{2}{\frac{1}{a_n}+\frac{1}{b_n}},b_0=y,$

дзе $b_{n+1}$ раўняецца сярэдняму гарманічнаму папярэдніх значэнняў дзвюх паслядоўнасцей. Абедзве паслядоўнасці $(a_n)$ і $(b_n)$ збягаюцца да сярэдняга геаметрычнага лікаў Шаблон:Math і Шаблон:Math.

Сярэдняе геаметрычнае ўзважанае

Сярэдняе геаметрычнае ўзважанае набору рэчаісных лікаў $x_1,\dots ,x_n$ з рэчаіснымі вагамі $w_1,\dots ,w_n$ вызначаецца як

$\overline{x}={\left(\prod _{i=1}^n{x}_i^{w_i}\right)}^{1/\sum _{i=1}^n{w}_i}=\exp (\frac{1}{\sum _{i=1}^n{w}_i}\sum _{i=1}^n{w}_i\ln x_i)$

У тым выпадку, калі ўсе вагі роўныя паміж сабою, сярэдняе геаметрычнае ўзважанае супадае з сярэднім геаметрычным.

У геаметрыі

$BH=\sqrt{AH\cdot HC}=\sqrt{ab}$

Вышыня прамавугольнага трохвугольніка, апушчаная на гіпатэнузу, ёсць сярэдняе прапарцыянальнае паміж праекцыямі катэтаў на гіпатэнузу, а кожны катэт ёсць сярэдняе прапарцыянальнае паміж гіпатэнузай і яго праекцыяй на гіпатэнузу.

Гэта дае геаметрычны спосаб пабудовы сярэдняга геаметрычнага двух (даўжынь) адрэзкаў: трэба пабудаваць акружнасць на суме гэтых двух адрэзкаў як на дыяметры, тады вышыня, пабудаваная з пункта іх злучэння да перасячэння з акружнасцю, дасць шукаемую велічыню.

Сувязь з абагульненымі сярэднімі

• Сярэдняе геаметрычнае можна разглядаць як граніцу сярэдніх ступенных $A_g(x_1,\dots ,x_n)=\sqrt[g]{\frac{x_1^g+\dots +x_n^g}{n}}$ пры $g\to 0$.
• Сярэдняе геаметрычнае з'яўляецца сярэднім Калмагорава пры $\varphi (x)=\log x$

Гл. таксама

• Сярэдняе арыфметычнае
• Сярэдняе квадратычнае
• Сярэдняе значэнне
• Няроўнасць паміж сярэднім арыфметычным і сярэднім геаметрычным
• Няроўнасць Швейцэра