Сярэдняе арыфметычнае

У матэматыцы і статыстыцы сярэдняе арыфметычнае — адна з найбольш распаўсюджаных Шаблон:Нп3, якая ўяўляе сабой суму ўсіх значэнняў, якія назіраліся, падзеленую на іх колькасць.

Прапанавана (разам з сярэднім геаметрычным і Шаблон:Нп3) яшчэ піфагарэйцамі.

Прыватнымі выпадкамі сярэдняга арыфметычнага з'яўляюцца генеральнае сярэдняе (генеральная сукупнасці) і выбарачнае сярэдняе (выбаркі).

Увядзенне

Пазначым мноства дадзеных X = (x₁, x₂, …, x_n), тады выбарачнае сярэдняе звычайна пазначаецца гарызантальнай рысай над зменнай ($\overline{x}$, вымаўляецца «x з рысай»).

Для абазначэння сярэдняга арыфметычнага ўсёй сукупнасці выкарыстоўваецца грэчаская літара μ. Для выпадковай велічыні, для якой вызначана сярэдняе значэнне, μ ёсць імавернаснае сярэдняе ці матэматычнае чаканне выпадковай велічыні. Калі мноства X з'яўляецца сукупнасцю выпадковых лікаў з імавернасным сярэднім μ, тады для любой выбаркі x_i з гэтай сукупнасці μ = E{x_i} ёсць матэматычнае чаканне гэтай выбаркі.

На практыцы розніца паміж μ і $\overline{x}$ у тым, што μ з'яўляецца тыповай неназіранай зменнай, таму што бачыць мага хутчэй выбарку, а не ўсю генеральную сукупнасць. Таму, калі выбарку прадстаўляць выпадковым чынам (у тэрмінах тэорыі імавернасцей), тады $\overline{x}$ (але не μ) можна трактаваць як выпадковую зменную, якая мае размеркаванне імавернасцей на выбарцы (імавернаснае размеркаванне сярэдняга).

Абедзве гэтыя велічыні вылічаюцца адным і тым жа спосабам:

$\overline{x}=\frac{1}{n}\sum _{i=1}^n{x}_i=\frac{1}{n}(x_1+\cdots +x_n).$

Калі X — выпадковая пераменная, тады матэматычнае чаканне X можна разглядаць як сярэдняе арыфметычнае значэнняў у паўтаральных вымярэннях велічыні X. Гэта з'яўляецца праявай закона вялікіх лікаў. Таму выбарачнае сярэдняе выкарыстоўваецца для ацэнкі невядомага матэматычнага чакання.

У элементарнай алгебры даказана, што сярэдняе n+1 лікаў больш сярэдняга n лікаў тады і толькі тады, калі новы лік больш, чым старое сярэдняе, менш тады і толькі тады, калі новы лік менш за сярэдняе, і не змяняецца тады і толькі тады, калі новы лік роўны сярэдняму. Чым больш n, тым менш адрозненне паміж новым і старым сярэднімі значэннямі.

Заўважым, што маецца некалькі іншых «сярэдніх» значэнняў, у тым ліку сярэдняй ступені, сярэдняе Калмагорава, гарманічнае сярэдняе, арыфметыка-геаметрычнае сярэдняе і розныя сярэдне-ўзважаныя велічыні.

Прыклады

• Для трох лікаў складзём іх і падзелім на 3 :

$\frac{x_1+x_2+x_3}{3}.$

• Для чатырох лікаў складзём іх і падзелім на 4 :

$\frac{x_1+x_2+x_3+x_4}{4}.$

Бесперапынная выпадковая велічыня

Для непарыўна размеркаванай велічыні $f(x)$ сярэдняе арыфметычнае на адрэзку $[a;b]$ вызначаецца праз вызначаны інтэграл:

${\overline{f(x)}}_{[a;b]}=\frac{1}{b-a}\underset{a}{\overset{b}{\int }}f(x)dx$

Гл. таксама

• Сярэдняе гарманічнае
• Сярэдняе геаметрычнае
• Медыяна
• Мода

Спасылкі

• Шаблон:ВТ-ЭСБЕ
• Финансовая математика Шаблон:Архівавана
• Прикладная математика