Прагляд зыходнага тэксту старонкі Паўпрамы здабытак

{{Тэорыя груп}}

'''Паўпрамы здабытак''' — канструкцыя ў [[Тэорыя груп|тэорыі груп]], якая дазваляе будаваць новую групу па дзвюх групах <math>H</math> і <math>N</math>, і дзеянні <math>\phi</math> групы <math>H</math> на групе <math>N</math> аўтамарфізмамі.

Паўпрамы здабытак груп <math>N</math> і <math>H</math> над <math>\phi</math> звычайна абазначаецца <math>N\rtimes_\phi H</math>.

== Канструкцыя ==

Няхай зададзена дзеянне групы <math>H</math> на прасторы групы <math>N</math> з захаваннем яе групавой структуры. Гэта азначае, што зададзены [[гомамарфізм груп|гомамарфізм]] <math>\phi: H \rightarrow \mbox{Aut}(N)</math> групы <math>H</math> у групу [[аўтамарфізм]]аў групы <math>N</math>. Аўтаморфізм групы <math>N</math>., які адпавядае элементу <math>h</math> з <math>H</math> пры гомамарфізме <math>\phi</math>. пазначым <math>\phi_{h}</math>. У якасці групы <math>G</math> — паўпрамога здабытку груп <math>H</math> і <math>N</math> над гомамарфізмам <math>\phi</math> — бярэцца мноства <math>N\times H</math> з [[Бінарная аперацыя|бінарнай аперацыяй]] <math>*</math>, што дзейнічае па правілу:

: <math>(n_1, h_1) * (n_2, h_2) = (n_1\phi_{h_1}(n_2), h_1h_2)</math> для любых <math>n_1,n_2 \in N</math>, <math>h_1,h_2 \in H</math>.

== Уласцівасці ==

# Групы <math>H</math> і <math>N</math> натуральна ўкладзеныя ў <math>G</math>, прычым <math>N</math> — нармальная падгрупа ў <math>G</math>.
# Кожны элемент <math>g\in G</math> адназначна раскладаем у здабытак <math>g=nh</math>, дзе <math>h</math> і <math>n</math> — элементы груп <math>H</math> і <math>N</math> адпаведна. (Гэта ўласцівасць апраўдвае назву групы <math>G</math> як паўпрамога здабытку груп <math>H</math> м <math>N</math>.)
# Зададзенае дзеянне <math>\phi</math> групы <math>H</math> на групе <math>N</math> супадае з дзеяннем <math>H</math> на <math>N</math> спалучэннямі (у групе <math>G</math>).

Усякая група са ўласцівасцямі 1-3 ізаморфная групе <math>G</math> (уласцівасць універсальнасці паўпрамога здабытку груп).

== Літаратура ==
* {{кніга
|аўтар        = Винберг Э. Б.
|загаловак     = Курс алгебры
|выданне      = 3-е изд
|месца        = М.
|выдавецтва = Факториал Пресс
|год = 2002
|старонак = 544
|isbn = 5-88688-060-7
|тыраж = 3000
}}

[[Катэгорыя:Тэорыя груп]]