Паўпрамы здабытак

Паўпрамы здабытак — канструкцыя ў тэорыі груп, якая дазваляе будаваць новую групу па дзвюх групах $H$ і $N$, і дзеянні $\varphi$ групы $H$ на групе $N$ аўтамарфізмамі.

Паўпрамы здабытак груп $N$ і $H$ над $\varphi$ звычайна абазначаецца $N{⋊}_{\varphi }H$.

Канструкцыя

Няхай зададзена дзеянне групы $H$ на прасторы групы $N$ з захаваннем яе групавой структуры. Гэта азначае, што зададзены гомамарфізм $\varphi :H\to \text{Aut}(N)$ групы $H$ у групу аўтамарфізмаў групы $N$. Аўтаморфізм групы $N$., які адпавядае элементу $h$ з $H$ пры гомамарфізме $\varphi$. пазначым ${\varphi }_h$. У якасці групы $G$ — паўпрамога здабытку груп $H$ і $N$ над гомамарфізмам $\varphi$ — бярэцца мноства $N\times H$ з бінарнай аперацыяй $*$, што дзейнічае па правілу:

$(n_1,h_1)*(n_2,h_2)=(n_1{\varphi }_{h_1}(n_2),h_1{h}_2)$ для любых $n_1,n_2\in N$, $h_1,h_2\in H$.

Уласцівасці

1. Групы $H$ і $N$ натуральна ўкладзеныя ў $G$, прычым $N$ — нармальная падгрупа ў $G$.
2. Кожны элемент $g\in G$ адназначна раскладаем у здабытак $g=nh$, дзе $h$ і $n$ — элементы груп $H$ і $N$ адпаведна. (Гэта ўласцівасць апраўдвае назву групы $G$ як паўпрамога здабытку груп $H$ м $N$.)
3. Зададзенае дзеянне $\varphi$ групы $H$ на групе $N$ супадае з дзеяннем $H$ на $N$ спалучэннямі (у групе $G$).

Усякая група са ўласцівасцямі 1-3 ізаморфная групе $G$ (уласцівасць універсальнасці паўпрамога здабытку груп).

Літаратура

• Шаблон:Кніга