Прагляд зыходнага тэксту старонкі Размеркаванне Пуасона

{{Размеркаванне імавернасцей
  | name       = Размеркаванне Пуасона
  | type       = mass
  | pdf_image  = [[File:poisson pmf.svg|325px]]
  | cdf_image  = [[File:poisson cdf.svg|325px]]
  | notation   = <math>\operatorname{Pois}(\lambda)</math>, <math>\Pi(\lambda)</math><ref name=elemienty>''Звяровіч Э. І.'', ''Радына А. Я.'' Элементы тэорыі імавернасцей. — Мінск: Беларусь, 2013. — С. 69. — ISBN 978-985-01-1043-5.</ref>{{rp|82}}
  | parameters = <math>\lambda\in (0, \infty)</math> — частата
  | support    = <math>k \in \mathbb{N}_0</math> ([[Натуральныя лікі]] з нулём)
  | pdf        = <math>\frac{\lambda^k e^{-\lambda}}{k!}</math>
  | cdf        = <math>\frac{\Gamma(\lfloor k+1 \rfloor, \lambda)}{\lfloor k \rfloor !},</math> або <math>e^{-\lambda} \sum_{j=0}^{\lfloor k\rfloor} \frac{\lambda^j}{j!},</math> або <math>Q(\lfloor k+1 \rfloor, \lambda)</math>
(для <math>k \ge 0,</math> дзе <math>\Gamma(x, y)</math> — {{нп5|Верхняя няпоўная гама-функцыя|верхняя няпоўная гама-функцыя|en|Upper incomplete gamma function}}, <math>\lfloor k \rfloor</math> — {{нп5|Цэлая частка|цэлая частка|en|Floor function}}, а <math>Q</math> —  {{нп5|Рэгулярызаваная гама-функцыя|рэгулярызаваная гама-функцыя|en|Regularized gamma function}})
  | mean       = <math>\lambda</math>
  | median     = <math>\approx\left\lfloor\lambda + \frac{1}{3} - \frac{1}{50 \lambda} \right\rfloor</math>
  | mode       = <math>\left\lceil \lambda \right\rceil - 1, \left\lfloor \lambda \right\rfloor</math>
  | variance   = <math>\lambda</math>
  | skewness   = <math>\frac{1}{\sqrt{\lambda}}</math>
  | kurtosis   = <math>\frac{1}{\lambda}</math>
  | entropy    = <math>\lambda\Bigl[1 - \log(\lambda)\Bigr] + e^{-\lambda}\sum_{k=0}^\infty \frac{\lambda^k\log(k!)}{k!}</math>
&emsp; або для вялікіх <math>\lambda</math> &emsp;
<math>\begin{align}\approx\frac{1}{2}\log\left( 2 \pi e \lambda \right) - \frac{1}{12 \lambda} - \frac{1}{24 \lambda^2} \\- \frac{19}{360 \lambda^3} + \mathcal{O} \left(\frac{1}{\lambda^4}\right)\end{align}</math>
  | pgf        = <math>\exp \left[\lambda \left( z - 1 \right)\right]</math>
  | mgf        = <math>\exp \left[\lambda \left( e^{t} - 1 \right)\right]</math>
  | char       = <math>\exp \left[\lambda \left( e^{it} - 1 \right)\right]</math>
  | fisher     = <math>\frac{1}{\lambda}</math>
}}
'''Размеркава́нне Пуасо́на''' — [[дыскрэтнае размеркаванне імавернасцей]] [[выпадковая велічыня|выпадковай велічыні]] з [[цэлы лік|цэлалікавымі]] неадмоўнымі значэннямі, якое апісвае [[імавернасць]] здарэння пэўнай колькасці [[выпадковая падзея|падзей]] за акрэслены прамежак часу пры ўмове, што падзеі здараюцца з нязменнай сярэдняй [[Частата (статыстыка)|частатой]] і [[Незалежнасць (тэорыя імавернасцей)|незалежна]] ад таго, калі здарылася папярэдняя падзея<ref name=Haight1967>
{{cite book
 |last1=Haight |first1=Frank A.
 |title=Handbook of the Poisson Distribution
 |publisher=John Wiley & Sons
 |location=New York, NY, US
 |year=1967
 |isbn=978-0-471-33932-8
}}
</ref>.

Напрыклад, кругласутачны [[кол-цэнтр]] прымае ў сярэднім 180 званкоў на гадзіну. Званкі незалежныя, то бок тое, калі здарыцца наступны званок не залежыць ад таго, калі быў папярэдні, і імавернасць атрымаць званок не залежыць ад часу дня. Тады колькасць званкоў, атрыманых за хвіліну, будзе мець размеркаванне Пуасона з частатой 3. Хутчэй за ўсё за хвіліну будзе 2 ці 3 званкі, але 1 ці 4 таксама верагодныя значэнні. Ёсць невялікая імавернасць атрымаць 0 званкоў і зусім маленькая таго, што іх будзе 10 ці больш.

== Гісторыя ==
Размеркаванне атрымана [[Сімеон Дэні Пуасон|Сімеонам Дэні Пуасонам]] у 1873 годзе пры вывядзенні прыбліжанай формулы [[біномнае размеркаванне|біномнага размеркавання]] для вялікага ліку выпрабаванняў. У сваёй працы ''Recherches sur la probabilité des jugements en matière criminelle et en matière civile'' (1837) ён разважаў над колькасцю несправядлівых абвінавачванняў, выкарыстоўваючы пэўныя выпадковыя велічыні <math>N</math>, якія сярод іншага апісвалі колькасць здарэнняў цягам зададзенага прамежку часу<ref name=Poisson1837>
{{cite book
 |last1=Poisson |first1=Siméon D.
 |title=Probabilité des jugements en matière criminelle et en matière civile, précédées des règles générales du calcul des probabilités
 |trans-title=Research on the Probability of Judgments in Criminal and Civil Matters
 |language=fr
 |publisher=Bachelier
 |location=Paris, France
 |year=1837
 |url=https://gallica.bnf.fr/ark:/12148/bpt6k110193z/f218.image
}}
</ref>{{rp|205-207}}. Аналагічны вынік ужо быў атрыманы ў 1711 годзе [[Абрахам дэ Муаўр|Абрахамам дэ Муаўрам]] у ''De Mensura Sortis seu; de Probabilitate Eventuum in Ludis a Casu Fortuito Pendentibus''<ref name=deMoivre1711>
{{cite journal
 |last1=de Moivre |first1=Abraham
 |title=De mensura sortis, seu, de probabilitate eventuum in ludis a casu fortuito pendentibus
 |trans-title=On the Measurement of Chance, or, on the Probability of Events in Games Depending Upon Fortuitous Chance
 |language=la
 |journal=[[Philosophical Transactions of the Royal Society]]
 |year=1711 |volume=27 |issue=329 |pages=213–264
 |doi=10.1098/rstl.1710.0018
 |doi-access=free
}}</ref><ref name=deMoivre1718>
{{cite book
 |last1=de Moivre |first1=Abraham
 |year=1718
 |title=The Doctrine of Chances: Or, A Method of Calculating the Probability of Events in Play
 |publisher=W. Pearson
 |location=London, Great Britain
 |isbn=9780598843753
 |url=https://books.google.com/books?id=3EPac6QpbuMC&pg=PA14
}}</ref><ref name=deMoivre1721>
{{cite book
 |last1=de Moivre |first1=Abraham
 |year=1721
 |chapter=Of the Laws of Chance
 |title=The Philosophical Transactions from the Year MDCC (where Mr. Lowthorp Ends) to the Year MDCCXX. Abridg'd, and Dispos'd Under General Heads
 |volume=I
 |language=la
 |editor-last1=Motte |editor-first1=Benjamin
 |publisher=R. Wilkin, R. Robinson, S. Ballard, W. and J. Innys, and J. Osborn
 |location=London, Great Britain
 |pages=190–219
}}
</ref><ref name="Johnson2005">
{{cite book
 |last1=Johnson |first1=Norman L.
 |last2=Kemp    |first2=Adrienne W.
 |last3=Kotz    |first3=Samuel
 |chapter=Poisson Distribution
 |year=2005 |pages=156–207
 |title=Univariate Discrete Distributions
 |edition=3rd
 |publisher=John Wiley & Sons, Inc. 
 |location=New York, NY, US
 |isbn=978-0-471-27246-5
 |doi=10.1002/0471715816
}}
</ref>. Такім чынам, назва размеркавання — прыклад выканання {{нп5|Закон Стыглера|закона Стыглера|en|Stigler's law of eponymy}}, і некаторыя аўтары сцвярджаюць, што размеркаванне мусіць мець імя дэ Муаўра<ref name=Stigler1982>
{{cite journal
 |last1=Stigler |first1=Stephen M. 
 |title=Poisson on the Poisson Distribution
 |journal=Statistics & Probability Letters
 |year=1982 |volume=1 |issue=1 |pages=33–35
 |doi=10.1016/0167-7152(82)90010-4
}}
</ref>.

У 1860 годзе {{нп5|Сайман Ньюкам|Сайман Ньюкам|en|Simon Newcomb}} выкарыстаў размеркаванне Пуасона для ацэнкі колькасці [[зорка|зорак]] на адзінку прасторы<ref name=Newcomb1860>
{{cite journal
 |last1=Newcomb |first1=Simon
 |year=1860
 |title=Notes on the theory of probabilities
 |journal=The Mathematical Monthly
 |volume=2 |issue=4 |pages=134–140
 |url=https://babel.hathitrust.org/cgi/pt?id=nyp.33433069075590&seq=150
}}
</ref>. У 1898 годзе {{нп5|Ладзіслаус Барткевіч|Ладзіслаус Барткевіч|en|Ladislaus Bortkiewicz}} прымяняў размеркаванне каб даведацца колькі салдат [[Прусія|прускай]] арміі гіне выпадкова ад конскіх удараў<ref name=vonBortkiewitsch1898>
{{cite book
 |last1=von Bortkiewitsch |first1=Ladislaus
 |title=Das Gesetz der kleinen Zahlen
 |trans-title=The law of small numbers
 |language=de
 |publisher=B.G.&nbsp;Teubner |location=Leipzig, Germany
 |year=1898 
 |pages=1, 23–25}}
: На [https://digibus.ub.uni-stuttgart.de/viewer/object/1543508614348/13 старонцы 1] Барткевіч апісвае размеркаванне Пуасона.
: На [https://digibus.ub.uni-stuttgart.de/viewer/object/1543508614348/35 старонках 23-25], Барткевіч прыводзіць прыклад «4. Beispiel: Die durch Schlag eines Pferdes im preußischen Heere Getöteten.» [4. Прыклад: Забітыя конскім ударам салдаты Прускай арміі.]
</ref>.

== Азначэнне ==

Кажуць, што дыскрэтная выпадковая велічыня <math>X</math> мае размеркаванне Пуасона з параметрам <math>\lambda>0,</math> калі яе [[функцыя імавернасці]] мае выгляд:
: <math>p_{X \sim \Pi(\lambda)}(k) = \frac{\lambda^k}{k!} e^{-\lambda},</math>
дзе
* <math>k</math> — колькасць здарэнняў падзеі (<math>k = 0, 1, 2, \ldots</math>)
* <math>e</math> — [[лік Эйлера]] (<math>e = 2.71828\ldots</math>)
* <math>!</math> — [[фактарыял]].

=== Вывядзенне ===
Каб вывесці функцыю імавернасці размеркавання Пуасона, увядзём функцыю <math>P(n;t)</math> — імавернасць таго, што за прамежак часу даўжынёй <math>t</math> (у некаторых адзінках вымярэння, што неістотна для вывядзення) адбудзецца <math>n</math> падзей, пры гэтым падзеі [[Незалежнасць (тэорыя імавернасцей)|незалежныя]].

Разаб’ём прамежак на часткі <math>\delta t</math> настолькі маленькія, што імавернасцю здарэння дзвюх ці больш падзей за <math>\delta t</math> можна пагрэбаваць <math>(P(2;\delta t) \approx 0).</math> Пры гэтым дапусцім, што <math>P(1; \delta t) = \lambda \delta t,</math> а <math>P(0; \delta t) = 1 - \lambda \delta t.</math> Гэта значыць, што за час <math>t</math> здараецца ў сярэднім <math>\lambda \delta t \cdot (t / \delta t) = \lambda t</math> падзей, то бок <math>\lambda</math> выконвае ролю частаты.

Каб атрымаць функцыю імавернасці размеркавання Пуасона, трэба знайсці <math>P(n;1)</math> — імавернасць здарэння <math>n</math> падзей за адзінку часу. Для пачатку можна знайсці <math>P(0; t)</math> і метадам [[Матэматычная індукцыя|матэматычнай індукцыі]] абагульніць гэты вынік на іншыя <math>n</math>.

Карыстаючыся незалежнасцю падзей, заўважым, што
: <math>P(0; t + \delta t) = P(0;t) \cdot P (0;\delta t) = P(0;t) \cdot (1 - \lambda \delta t).</math>

Перапішам гэтую роўнасць наступным чынам:

: <math>\frac{P(0; t + \delta t) - P(0;t)}{\delta t} = - \lambda P(0;t).</math>

Пераходзячы цяпер да [[Ліміт (матэматыка)|ліміту]] <math>\delta t \to 0,</math> атрымліваем [[дыферэнцыяльнае раўнанне]]
: <math>\frac{d}{d t} P(0;t) = - \lambda P(0;t).</math>

Развязаць раўнанне можна праінтэграваўшы абедзве часткі:
: <math>P(0; t) = Ce^{-\lambda t}.</math>

Імавернасць таго, што ніводнай падзеі не здарыцца за нулявы прамежак часу роўная 1, то бок павінна выконвацца {{нп5|Краявая ўмова|ўмова|en|Boundary condition}} <math>P(0;0) = 1.</math> Падстаўляючы <math>t=0</math> у развязанне дыферэнцыяльнага раўнання і карыстаючыся ўмовай, знаходзім <math>C = 1.</math> Такім чынам, <math>P(0;t) = e^{-\lambda t}.</math>

Цяпер разгледзім выпадак <math>n>0.</math> Існуе два варыянты, пры якіх за інтэрвал <math>t + \delta t</math> можа здарыцца <math>n</math> падзей:
# за інтэрвал <math>t</math> здарылася <math>n</math> падзей, і ніводнай за <math> \delta t;</math>
# за інтэрвал <math>t</math> здарылася <math>n-1</math> падзея, і адна за <math> \delta t.</math>

Запішам гэта ў выглядзе роўнасці і пераўтворым у дыферэнцыяльнае раўнанне аналагічна папярэдняму выпадку:
: <math>P(n; t + \delta t) = P(n;t) \cdot (1 - \lambda \delta t) + P(n - 1; t) \cdot \lambda \delta t;</math>
: <math>\frac{P(n; t + \delta t) - P(n;t)}{\delta t} + \lambda P(n;t) = \lambda P(n - 1;t);</math>
: <math>\frac{d}{dt} P(n;t) + \lambda P(n;t) = \lambda P(n - 1;t).</math>

Дамножым абедзве часткі на <math>e^{\lambda t}</math> і скарыстаемся {{нп5|Правіла здабытку|правілам здабытку|en|Product rule}} для вытворных:
: <math>e^{\lambda t} \frac{d}{dt} P(n;t) + \lambda e^{\lambda t} P(n;t) = \lambda e^{\lambda t} P(n - 1;t).</math>
: <math>e^{\lambda t} \frac{d}{dt} P(n;t) + P(n;t) \frac{d}{dt} e^{\lambda t} = \lambda e^{\lambda t} P(n - 1;t).</math>
: <math>\frac{d}{dt} (e^{\lambda t} P(n;t)) = \lambda e^{\lambda t} P(n - 1;t). </math>

Выкарыстоўваючы гэтае раўнанне, прыменім метад матэматычнай індукцыі. Дапусцім, <math>P(n;t) = \frac{(\lambda t)^n}{n!} e^{-\lambda t}</math>. Справядлівасць гэтага сцверджання ўжо прадэманстравана для <math>n = 0,</math> што дае нам базу індукцыі.

Для <math>n > 0:</math>
: <math>\frac{d}{dt} (e^{\lambda t} P(n + 1;t)) = \lambda e^{\lambda t} P(n;t) = \lambda e^{\lambda t} \frac{(\lambda t)^n}{n!} e^{-\lambda t} = \frac{\lambda^{n+1} t^n}{n!};</math>
: <math>e^{\lambda t} P(n + 1;t) = \frac{(\lambda t)^{n+1}}{(n+1)!} + C;</math>
: <math>P(n+1;t) = \frac{(\lambda t)^{n+1}}{(n+1)!}e^{-\lambda t} + C e^{-\lambda t}.</math>

Заўважым, што павінна выконвацца роўнасць <math>P(n+1;0) = 0,</math> таму <math>C=0.</math> Такім чынам, крок індукцыі даказаны, а значыць <math>P(n;t) = \frac{(\lambda t)^n}{n!} e^{-\lambda t}</math> мае месца для ўсіх цэлых <math>n \geq 0.</math>

Для адзінкі часу <math>t=1</math> атрымліваем <math>P(n;1) = \frac{(\lambda)^n}{n!} e^{-\lambda}</math> — функцыю імавернасці размеркавання Пуасона<ref>{{Cite web|url=https://www.pp.rhul.ac.uk/~cowan/stat/notes/PoissonNote.pdf|title=Derivation of the Poisson distribution|author={{нп5|Глен Кован|Glen Cowan|en|Glen Cowan}}|date=2009-12-01|lang=en}}</ref>.

== Характарыстыкі ==

=== Матэматычнае спадзяванне ===
[[Матэматычнае спадзяванне]] размеркавання Пуасона можна знайсці, скарыстаўшыся адным з азначэнняў [[Паказнікавая функцыя|паказнікавай функцыі]]<ref name=elemienty/>{{rp|118-119}}:
: <math>\mathbb{E}[X] = \sum_{k=0}^{\infty}k \frac{\lambda^k}{k!} e^{-\lambda} = e^{-\lambda} \left(0 + \sum_{k=1}^{\infty} \frac{\lambda^k}{(k - 1)!}\right) = \lambda e^{-\lambda} \sum_{k=1}^{\infty} \frac{\lambda^{k-1}}{(k - 1)!} = </math>
: <math> = \lambda e^{-\lambda} \sum_{k=0}^{\infty} \frac{\lambda^{k}}{k!} = \lambda e^{-\lambda} e^{\lambda} = \lambda.</math>

=== Дысперсія ===
Каб знайсці [[Дысперсія выпадковай велічыні|дысперсію]], спачатку падлічым матэматычнае спадзяванне квадрата выпадковай велічыні з размеркаваннем Пуасона<ref name=elemienty/>{{rp|119}}:
: <math>\mathbb{E}[X^2] = \sum_{k=0}^{\infty}k^2 \frac{\lambda^k}{k!} e^{-\lambda} = \lambda e^{-\lambda} \sum_{k=0}^{\infty} \frac{k \lambda^{k - 1}}{(k - 1)!} = \lambda e^{-\lambda} \frac{d}{d \lambda} \sum_{k=0}^{\infty} \frac{\lambda^k}{(k - 1)!} = </math>
: <math>= \lambda e^{-\lambda} \frac{d}{d \lambda} \lambda e^{\lambda} = \lambda e^{-\lambda} (e^{\lambda} + \lambda e^{\lambda}) = \lambda + \lambda^2.</math>

Цяпер скарыстаемся формулай для дысперсіі:
: <math>Var(X) = \mathbb{E}[X^2] - \mathbb{E}[X]^2 = \lambda + \lambda^2 - \lambda^2 = \lambda.</math>

== Выкарыстанне ==
У [[тэорыя імавернасцей|тэарэтыка-імавернасных]] мадэлях размеркаванне Пуасона выкарыстоўваецца як прыбліжанае і як дакладнае размеркаванне.

Напрыклад, калі пры {{math|''n''}} незалежных выпрабаваннях падзеі {{math|''A''<sub>1</sub>, ..., ''A''<sub>''n''</sub>}} назіраюцца з аднолькавай малой імавернасцю {{math|''p''}}, то імавернасць адначасовага ажыццяўлення якіх-небудзь {{math|''k''}} падзей прыбліжана выражаецца функцыяй {{math|''p''<sub>''k''</sub>(''np'')}} (гл. [[тэарэма Пуасона]]).
У прыватнасці, такая мадэль добра апісвае працэс [[радыеактыўны распад|радыеактыўнага распаду]] і іншыя фізічныя з’явы.

Як дакладнае, размеркаванне Пуасона выкарыстоўваецца ў тэорыі [[выпадковы працэс|выпадковых працэсаў]], напрыклад, пры разліку нагрузкі ліній сувязі, дзе мяркуюць, што колькасці выклікаў на працягу неперасякальных інтэрвалаў часу ёсць [[незалежныя выпадковыя велічыні]], якія падпарадкоўваюцца размеркаванню Пуасона.

{{зноскі}}

== Літаратура ==
* Пуасона размеркаванне // {{Крыніцы/БелЭн|13к}} С. 114—115.

{{Размеркаванні імавернасцей}}

[[Катэгорыя:Размеркаванні імавернасцей|Пуасона]]