Размеркаванне Пуасона

Шаблон:Размеркаванне імавернасцей Размеркава́нне Пуасо́на — дыскрэтнае размеркаванне імавернасцей выпадковай велічыні з цэлалікавымі неадмоўнымі значэннямі, якое апісвае імавернасць здарэння пэўнай колькасці падзей за акрэслены прамежак часу пры ўмове, што падзеі здараюцца з нязменнай сярэдняй частатой і незалежна ад таго, калі здарылася папярэдняя падзея.

Напрыклад, кругласутачны кол-цэнтр прымае ў сярэднім 180 званкоў на гадзіну. Званкі незалежныя, то бок тое, калі здарыцца наступны званок не залежыць ад таго, калі быў папярэдні, і імавернасць атрымаць званок не залежыць ад часу дня. Тады колькасць званкоў, атрыманых за хвіліну, будзе мець размеркаванне Пуасона з частатой 3. Хутчэй за ўсё за хвіліну будзе 2 ці 3 званкі, але 1 ці 4 таксама верагодныя значэнні. Ёсць невялікая імавернасць атрымаць 0 званкоў і зусім маленькая таго, што іх будзе 10 ці больш.

Гісторыя

Размеркаванне атрымана Сімеонам Дэні Пуасонам у 1873 годзе пры вывядзенні прыбліжанай формулы біномнага размеркавання для вялікага ліку выпрабаванняў. У сваёй працы Recherches sur la probabilité des jugements en matière criminelle et en matière civile (1837) ён разважаў над колькасцю несправядлівых абвінавачванняў, выкарыстоўваючы пэўныя выпадковыя велічыні $N$, якія сярод іншага апісвалі колькасць здарэнняў цягам зададзенага прамежку часуШаблон:Rp. Аналагічны вынік ужо быў атрыманы ў 1711 годзе Абрахамам дэ Муаўрам у De Mensura Sortis seu; de Probabilitate Eventuum in Ludis a Casu Fortuito Pendentibus. Такім чынам, назва размеркавання — прыклад выканання Шаблон:Нп5, і некаторыя аўтары сцвярджаюць, што размеркаванне мусіць мець імя дэ Муаўра.

У 1860 годзе Шаблон:Нп5 выкарыстаў размеркаванне Пуасона для ацэнкі колькасці зорак на адзінку прасторы. У 1898 годзе Шаблон:Нп5 прымяняў размеркаванне каб даведацца колькі салдат прускай арміі гіне выпадкова ад конскіх удараў.

Азначэнне

Кажуць, што дыскрэтная выпадковая велічыня $X$ мае размеркаванне Пуасона з параметрам $\lambda >0,$ калі яе функцыя імавернасці мае выгляд:

$p_{X\sim \mathrm{\Pi }(\lambda )}(k)=\frac{{\lambda }^k}{k!}{e}^{-\lambda },$

дзе

• $k$ — колькасць здарэнняў падзеі ($k=0,1,2,\dots$)
• $e$ — лік Эйлера ($e=2.71828\dots$)
• $!$ — фактарыял.

Вывядзенне

Каб вывесці функцыю імавернасці размеркавання Пуасона, увядзём функцыю $P(n;t)$ — імавернасць таго, што за прамежак часу даўжынёй $t$ (у некаторых адзінках вымярэння, што неістотна для вывядзення) адбудзецца $n$ падзей, пры гэтым падзеі незалежныя.

Разаб’ём прамежак на часткі $\delta t$ настолькі маленькія, што імавернасцю здарэння дзвюх ці больш падзей за $\delta t$ можна пагрэбаваць $(P(2;\delta t)\approx 0).$ Пры гэтым дапусцім, што $P(1;\delta t)=\lambda \delta t,$ а $P(0;\delta t)=1-\lambda \delta t.$ Гэта значыць, што за час $t$ здараецца ў сярэднім $\lambda \delta t\cdot (t/\delta t)=\lambda t$ падзей, то бок $\lambda$ выконвае ролю частаты.

Каб атрымаць функцыю імавернасці размеркавання Пуасона, трэба знайсці $P(n;1)$ — імавернасць здарэння $n$ падзей за адзінку часу. Для пачатку можна знайсці $P(0;t)$ і метадам матэматычнай індукцыі абагульніць гэты вынік на іншыя $n$.

Карыстаючыся незалежнасцю падзей, заўважым, што

$P(0;t+\delta t)=P(0;t)\cdot P(0;\delta t)=P(0;t)\cdot (1-\lambda \delta t).$

Перапішам гэтую роўнасць наступным чынам:

$\frac{P(0;t+\delta t)-P(0;t)}{\delta t}=-\lambda P(0;t).$

Пераходзячы цяпер да ліміту $\delta t\to 0,$ атрымліваем дыферэнцыяльнае раўнанне

$\frac{d}{dt}P(0;t)=-\lambda P(0;t).$

Развязаць раўнанне можна праінтэграваўшы абедзве часткі:

$P(0;t)=C{e}^{-\lambda t}.$

Імавернасць таго, што ніводнай падзеі не здарыцца за нулявы прамежак часу роўная 1, то бок павінна выконвацца Шаблон:Нп5 $P(0;0)=1.$ Падстаўляючы $t=0$ у развязанне дыферэнцыяльнага раўнання і карыстаючыся ўмовай, знаходзім $C=1.$ Такім чынам, $P(0;t)=e^{-\lambda t}.$

Цяпер разгледзім выпадак $n>0.$ Існуе два варыянты, пры якіх за інтэрвал $t+\delta t$ можа здарыцца $n$ падзей:

1. за інтэрвал $t$ здарылася $n$ падзей, і ніводнай за $\delta t;$
2. за інтэрвал $t$ здарылася $n-1$ падзея, і адна за $\delta t.$

Запішам гэта ў выглядзе роўнасці і пераўтворым у дыферэнцыяльнае раўнанне аналагічна папярэдняму выпадку:

$P(n;t+\delta t)=P(n;t)\cdot (1-\lambda \delta t)+P(n-1;t)\cdot \lambda \delta t;$

$\frac{P(n;t+\delta t)-P(n;t)}{\delta t}+\lambda P(n;t)=\lambda P(n-1;t);$

$\frac{d}{dt}P(n;t)+\lambda P(n;t)=\lambda P(n-1;t).$

Дамножым абедзве часткі на $e^{\lambda t}$ і скарыстаемся Шаблон:Нп5 для вытворных:

$e^{\lambda t}\frac{d}{dt}P(n;t)+\lambda e^{\lambda t}P(n;t)=\lambda e^{\lambda t}P(n-1;t).$

$e^{\lambda t}\frac{d}{dt}P(n;t)+P(n;t)\frac{d}{dt}{e}^{\lambda t}=\lambda e^{\lambda t}P(n-1;t).$

$\frac{d}{dt}(e^{\lambda t}P(n;t))=\lambda e^{\lambda t}P(n-1;t).$

Выкарыстоўваючы гэтае раўнанне, прыменім метад матэматычнай індукцыі. Дапусцім, $P(n;t)=\frac{(\lambda t{)}^n}{n!}{e}^{-\lambda t}$. Справядлівасць гэтага сцверджання ўжо прадэманстравана для $n=0,$ што дае нам базу індукцыі.

Для $n>0:$

$\frac{d}{dt}(e^{\lambda t}P(n+1;t))=\lambda e^{\lambda t}P(n;t)=\lambda e^{\lambda t}\frac{(\lambda t{)}^n}{n!}{e}^{-\lambda t}=\frac{{\lambda }^{n+1}{t}^n}{n!};$

$e^{\lambda t}P(n+1;t)=\frac{(\lambda t{)}^{n+1}}{(n+1)!}+C;$

$P(n+1;t)=\frac{(\lambda t{)}^{n+1}}{(n+1)!}{e}^{-\lambda t}+C{e}^{-\lambda t}.$

Заўважым, што павінна выконвацца роўнасць $P(n+1;0)=0,$ таму $C=0.$ Такім чынам, крок індукцыі даказаны, а значыць $P(n;t)=\frac{(\lambda t{)}^n}{n!}{e}^{-\lambda t}$ мае месца для ўсіх цэлых $n\ge 0.$

Для адзінкі часу $t=1$ атрымліваем $P(n;1)=\frac{(\lambda {)}^n}{n!}{e}^{-\lambda }$ — функцыю імавернасці размеркавання Пуасона.

Характарыстыкі

Матэматычнае спадзяванне

Матэматычнае спадзяванне размеркавання Пуасона можна знайсці, скарыстаўшыся адным з азначэнняў паказнікавай функцыіШаблон:Rp:

$𝔼[X]=\sum _{k=0}^{\mathrm{\infty }}k\frac{{\lambda }^k}{k!}{e}^{-\lambda }=e^{-\lambda }(0+\sum _{k=1}^{\mathrm{\infty }}\frac{{\lambda }^k}{(k-1)!})=\lambda e^{-\lambda }\sum _{k=1}^{\mathrm{\infty }}\frac{{\lambda }^{k-1}}{(k-1)!}=$

$=\lambda e^{-\lambda }\sum _{k=0}^{\mathrm{\infty }}\frac{{\lambda }^k}{k!}=\lambda e^{-\lambda }{e}^{\lambda }=\lambda .$

Дысперсія

Каб знайсці дысперсію, спачатку падлічым матэматычнае спадзяванне квадрата выпадковай велічыні з размеркаваннем ПуасонаШаблон:Rp:

$𝔼[X^2]=\sum _{k=0}^{\mathrm{\infty }}{k}^2\frac{{\lambda }^k}{k!}{e}^{-\lambda }=\lambda e^{-\lambda }\sum _{k=0}^{\mathrm{\infty }}\frac{k{\lambda }^{k-1}}{(k-1)!}=\lambda e^{-\lambda }\frac{d}{d\lambda }\sum _{k=0}^{\mathrm{\infty }}\frac{{\lambda }^k}{(k-1)!}=$

$=\lambda e^{-\lambda }\frac{d}{d\lambda }\lambda e^{\lambda }=\lambda e^{-\lambda }(e^{\lambda }+\lambda e^{\lambda })=\lambda +{\lambda }^2.$

Цяпер скарыстаемся формулай для дысперсіі:

$Var(X)=𝔼[X^2]-𝔼[X{]}^2=\lambda +{\lambda }^2-{\lambda }^2=\lambda .$

Выкарыстанне

У тэарэтыка-імавернасных мадэлях размеркаванне Пуасона выкарыстоўваецца як прыбліжанае і як дакладнае размеркаванне.

Напрыклад, калі пры Шаблон:Math незалежных выпрабаваннях падзеі Шаблон:Math назіраюцца з аднолькавай малой імавернасцю Шаблон:Math, то імавернасць адначасовага ажыццяўлення якіх-небудзь Шаблон:Math падзей прыбліжана выражаецца функцыяй Шаблон:Math (гл. тэарэма Пуасона). У прыватнасці, такая мадэль добра апісвае працэс радыеактыўнага распаду і іншыя фізічныя з’явы.

Як дакладнае, размеркаванне Пуасона выкарыстоўваецца ў тэорыі выпадковых працэсаў, напрыклад, пры разліку нагрузкі ліній сувязі, дзе мяркуюць, што колькасці выклікаў на працягу неперасякальных інтэрвалаў часу ёсць незалежныя выпадковыя велічыні, якія падпарадкоўваюцца размеркаванню Пуасона.

Літаратура

• Пуасона размеркаванне // Шаблон:Крыніцы/БелЭн С. 114—115.