Дысперсія выпадковай велічыні

Прыклад шчыльнасці дзвюх нармальна размеркаванных выпадковых велічынь з рознымі дысперсіямі. Велічыня з зялёным графікам шчыльнасці мае большую дысперсію, чым велічыня з чырвоным графікам.

У тэорыі імавернасцей і статыстыцы дысперсія выпадковай велічыні вызначаецца як мера роскіду выпадковай велічыні, або як яе адхіленне ад матэматычнага спадзявання. Пазначаецца $\mathrm{Var}(X)$ або $D[X]$. У статыстыцы часта ўжываецца абазначэнне ${\sigma }_X^2$.

Квадратны корань з дысперсіі, роўны $\sigma$, называецца сярэднім квадратовым адхіленнем, стандартным адхіленнем або стандартным роскідам. Стандартнае адхіленне вымяраецца ў тых жа адзінках, што і сама выпадковая велічыня, а дысперсія вымяраецца ў квадратах гэтай адзінкі вымярэння.

З няроўнасці Чабышова вынікае, што імавернасць таго, што выпадковая велічыня аддалена ад свайго матэматычнага спадзявання больш чым на $k$ стандартных адхіленняў, складае менш за $1/k^2$. Так, для выпадковай велічыні, якая мае нармальнае размеркаванне, як мінімум у $95\mathrm{\%}$ выпадкаў значэнні будуць не далей за два стандартных адхіленні ($2\sigma$) ад сярэдняга, а ў прыкладна $97,7\mathrm{\%}$ — не далей за $3\sigma$. Гэтая заканамернасць для нармальнага размеркавання носіць назву «правіла трох сігм».

Дысперсія — тое самае, што другі цэнтральны момант выпадковай велічыні.

Азначэнне

Для выпадковай велічыні $X$, зададзенай на імавернаснай прасторы $(\mathrm{\Omega },𝒜,P)$, дысперсіяй называецца значэнне

$\mathrm{Var}(X):=\underset{\mathrm{\Omega }}{\int }(X(\omega )-𝔼[X]{)}^{2}dP(\omega )=𝔼[(X-𝔼[X]{)}^2],$

дзе $𝔼[X]$ — матэматычнае спадзяванне велічыні $X$.

Калі інтэграл у азначэнні роўны $+\mathrm{\infty }$, кажуць, што дысперсіі для гэтай выпадковай велічыні не існуе.

Уласцівасці

Дысперсія выпадковай велічыні мае наступныя ўласцівасці:

• Калі дысперсія і матэматычнае спадзяванне існуюць, то дысперсію можна выразіць формулай

$\mathrm{Var}(X)=𝔼[X^2]-(𝔼[X]{)}^2.$

• Для ўсякага рэчаіснага ліку $c$ праўдзіцца

$\mathrm{Var}(cX)=c^2\mathrm{Var}(X)$

і $\mathrm{Var}(c+X)=\mathrm{Var}(X).$

Дысперсія сумы выпадковых велічынь

Калі выпадковыя велічыні незалежныя, дысперсія іх сумы роўная суме іх дысперсій:

$\mathrm{Var}\left(\sum _{i=1}^n{X}_i\right)=\sum _{i=1}^n\mathrm{Var}(X_i).$

Для дзвюх магчыма залежных велічынь, формула сумы выглядае наступным чынам:

$\mathrm{Var}(X+Y)=\mathrm{Var}(X)+\mathrm{Var}(Y)+2\mathrm{cov}(X,Y),$

дзе $\mathrm{cov}(X,Y)$ — іхняя каварыяцыя.

Формулу сумы можна абагульніць для Шаблон:Нп5 адвольнай колькасці выпадковых велічынь:

$\mathrm{Var}\left(\sum _{i=1}^n{c}_i{X}_i\right)=\sum _{i,j=1}^n{c}_i{c}_j\mathrm{cov}(X_i,X_j).$

Літаратура

• Шаблон:Кніга