Матэматычнае спадзяванне

Матэматы́чнае спадзява́нне, таксама матэматычнае чаканне, сярэдняе значэнне, матспадзяванне выпадковай велічыні — лікавая характарыстыка выпадковай велічыні X. Абазначаецца $M[X]$ або $𝔼[X]$. Характарызуе размяшчэнне значэнняў велічыні $X$ і роўнае сярэдняму значэнню яе размеркавання. З закона вялікіх лікаў вынікае, што сярэдняе арыфметычнае значэнне велічыні $X$ пры павелічэнні колькасці выпрабаванняў набліжаецца да $𝔼[X]$.

Паняцце матэматычнага спадзявання ўзнікла ў XVIII стагоддзі ў сувязі з тэорыяй азартных гульняў: калі выйгрышы гульца прымаюць значэнні $X_1,X_2,\dots X_n$, з імавернасцямі $p_1,p_2,\dots ,p_n$, дзе $p_1+p_2+\dots +p_n=1$, то ў сярэднім ён можа спадзявацца на выйгрыш $𝔼[X]=X_1{p}_1+X_2{p}_2+\dots +X_n{p}_n$ (адсюль назва).

Матэматычнае спадзяванне — тое самае, што і першы пачатковы момант выпадковай велічыні.

Азначэнне

Агульнае азначэнне праз інтэграл Лебега

Няхай зададзена прастора імавернасцей $(\mathrm{\Omega },𝒜,P)$ і азначаная на ёй выпадковая велічыня $X$. То бок, паводле азначэння, $X:\mathrm{\Omega }\to ℝ$ — вымерная функцыя. Калі існуе інтэграл Лебега ад $X$ па прасторы $\mathrm{\Omega }$, то ён завецца матэматычным спадзяваннем, або сярэднім значэннем і абазначаецца $M[X]$ або $𝔼[X]$:

$𝔼[X]=\underset{\mathrm{\Omega }}{\int }X(\omega )dP(\omega ).$

Калі гэты інтэграл не існуе ці роўны $\pm \mathrm{\infty }$, кажуць, што ў выпадковай велічыні не існуе матэматычнага спадзяванняШаблон:Rp.

Азначэнне праз функцыю размеркавання выпадковай велічыні

Калі $F_X(x)$ — функцыя размеркавання выпадковай велічыні, то яе матэматычнае спадзяванне вызначаецца інтэгралам Лебега — Стыльт’есаШаблон:Rp:

$𝔼[X]=\underset{-\mathrm{\infty }}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}xd{F}_X(x)$, $x\in ℝ$.

Азначэнне для абсалютна непарыўнай выпадковай велічыні (праз шчыльнасць размеркавання)

Матэматычнае спадзяванне абсалютна непарыўнай выпадковай велічыні, размеркаванне якой вызначаецца шчыльнасцю $f_X(x)$, роўнаеШаблон:Rp

$𝔼[X]=\underset{-\mathrm{\infty }}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}x{f}_X(x)dx$.

Азначэнне для дыскрэтнай выпадковай велічыні

Калі $X$ — дыскрэтная выпадковая велічыня, з размеркаваннем

$\mathbb{P}(X=x_i)=p_i$ , $\sum _i{p}_i=1$,

тады непасрэдна з азначэння інтэграла Лебега вынікае, штоШаблон:Rp

$𝔼[X]=\sum _i{x}_i{p}_i$.

Матэматычнае спадзяванне цэлалікавай выпадковай велічыні

• Калі $X$ — дадатная цэлалікавая выпадковая велічыня, якая мае размеркаванне імавернасцей

$\mathbb{P}(X=j)=p_j$ , $j=0,1,\dots$, $\sum _{j=0}^{\mathrm{\infty }}{p}_j=1$,

то яе матэматычнае спадзяванне можа быць выражана праз утваральную функцыю паслядоўнасці $\{p_i\}$

$P(s)=\sum _{k=0}^{\mathrm{\infty }}{p}_k{s}^k$

Уласцівасці матэматычнага спадзявання

• Матэматычнае спадзяванне канстанты ёсць сама канстанта.

$𝔼[a]=a$

$a\in ℝ$ — канстанта;

• Матэматычнае спадзяванне лінейнае, то бок

$𝔼[aX+bY]=a𝔼[X]+b𝔼[Y]$,

дзе $X,Y$ — выпадковыя велічыні з канечным матспадзяваннем, а $a,b\in ℝ$ — любыя канстанты;

У прыватнасці, матспадзяванне сумы (рознасці) выпадковых велічынь роўнае суме (рознасці) матспадзяванняў гэтых выпадковых велічынь.

• Матэматычнае спадзяванне захоўвае няроўнасці, гэта значыць калі $0⩽X⩽Y$ амаль напэўна, і $Y$ — выпадковая велічыня з канечным матспадзяваннем, то матспадзяванне выпадковай велічыні $X$ таксама канечнае, і больш за тое:

$0⩽𝔼[X]⩽𝔼[Y]$.

• Матспадзяванне не залежыць ад паводзін выпадковай велічыні на падзеі імавернасці нуль, то бок калі $X=Y$ амаль напэўна, то

$𝔼[X]=𝔼[Y]$.

• Матспадзяванне здабытку двух незалежных або некарэляваных выпадковых велічынь $X,Y$ роўнае здабытку іх матспадзяванняў

$𝔼[XY]=𝔼[X]\cdot 𝔼[Y]$.

• Для ўсякай Шаблон:Нп5 і інтэгравальнай па меры $d{F}_X$ функцыіШаблон:Efn $\phi :X(\mathrm{\Omega })\to ℝ$ матэматычнае спадзяванне $\phi (X)$ існуе і роўнаеШаблон:Rp

$𝔼[\phi (X)]=\underset{ℝ}{\int }\phi (x)d{F}_X(x).$

Няроўнасці, звязаныя з матспадзяваннем

Няроўнасць Маркава — для неадмоўнай выпадковай велічыні $X:\mathrm{\Omega }\to {ℝ}^{+}$, азначанай на прасторы імавернасцей $(\mathrm{\Omega },ℱ,\mathbb{P})$ з канечным матспадзяваннем $𝔼(X)$, справядліва няроўнасць:

$\mathbb{P}(X⩾a)⩽\frac{𝔼(X)}{a}$, дзе $a>0$.

Няроўнасць Енсена для матспадзявання выпуклай функцыі ад выпадковай велічыні. Няхай $(\mathrm{\Omega },ℱ,\mathbb{P})$ — прастора імавернасцей, $X:\mathrm{\Omega }\to ℝ$ — азначаная на ёй выпадковая велічыня, $\phi :ℝ\to ℝ$ — выпуклая барэлеўская функцыя, такія што $X,\phi (X)\in L^1(\mathrm{\Omega },ℱ,\mathbb{P})$, тады

$\phi (𝔼(X))⩽𝔼(\phi (X))$.

Тэарэмы, звязаныя з матспадзяваннем

• Тэарэма Леві пра манатонную збежнасць
• Тэарэма Лебега пра мажажыруемую збегнасць

Літаратура

• Матэматычнае спадзяванне і дысперсія // Звяровіч Э. І., Радына А. Я. Элементы тэорыі імавернасцей. — Мінск: Беларусь, 2013. — С. 111. — 206 с. — ISBN 978-985-01-1043-5.
• Шаблон:Крыніцы/Матэматычная энцыклапедыя
• Шаблон:Крыніцы/БелЭн