Незалежнасць (тэорыя імавернасцей)

Шаблон:Тэорыя імавернасцей Незалежнасць  — фундаментальнае паняцце тэорыі імавернасцей і статыстыкі. Дзве падзеі завуцца незалежнымі, калі здзяйсненне адной падзеі ніяк не ўплывае на імавернасць здзяйснення іншай.

Азначэнне

Для дзвюх падзей

Дзве падзеі $A$ і $B$ завуцца незалежнымі, калі справядліва роўнасцьШаблон:Rp $$P(AB)=P(A)P(B).$$

Калі гэтая роўнасць не выконваецца, то адпаведныя падзеі будзем называць залежнымі.

З такога азначэння вынікае роўнасць умоўнай імавернасці $P(A|B)$ і імавернасці $P(A)$, калі ўмоўная імавернасць існуе ($P(B)>0$)Шаблон:Rp. Інтуітыўна гэта тлумачыць, чаму выкананне вышэйпрыведзенай роўнасці азначае незалежнасць: $$P(A|B)=\frac{P(AB)}{P(B)}=\frac{P(A)P(B)}{P(B)}=P(A).$$

Для канечнай колькасці падзей

Падзеі $A_1,A_2,\dots ,A_n$ называюцца незалежнымі, калі для любога падмноства падзей $\{A_{i_1},A_{i_2},\dots ,A_{i_k}\}$, дзе $1\le i_1<i_2<\dots <i_k\le n$, $2\le k\le n$, праўдзіцца роўнасць

$$P(A_{i_1}{A}_{i_2}\dots A_{i_k})=P(A_{i_1})P(A_{i_2})\dots P(A_{i_k}).$$

У процілеглым выпадку падзеі $A_1,A_2,\dots ,A_n$ называюцца залежныміШаблон:Rp.

У выпадку незалежнасці падзей $A_1,A_2,\dots ,A_n$, для кожных двух Шаблон:Нп5 $\{A_{i_1},A_{i_2},\dots ,A_{i_k}\}$ і $\{A_{j_1},A_{i_2},\dots ,A_{i_s}\}$ выконваецца роўнасць умоўнай імавернасці і звычайнай, як і ў выпадку дзвюх падзей:

$$P(A_{i_1},A_{i_2},\dots ,A_{i_k}|A_{j_1},A_{j_2},\dots ,A_{j_s})=P(A_{i_1},A_{i_2},\dots ,A_{i_k}).$$

Незалежнасць у сукупнасці і парамі

Незалежнасць канечнай колькасці падзей завецца яшчэ незалежнасцю ў сукупнасці. Як вынікае з азначэння, кожнае падмноства мноства незалежных падзей — у сваю чаргу мноства незалежных падзей. У прыватнасці ўсе пары такіх падзей незалежныя. Такім чынам, з незалежнасці ў сукупнасці вынікае незалежнасць парамі. Аднак адваротнае сцверджанне не мае месца, бо існуюць выпадкі, калі незалежныя парамі падзеі залежныя ў сукупнасціШаблон:Rp.

Прыклад

Падзеі незалежныя парамі, але залежныя ў сукупнасці

Падзеі незалежныя ў сукупнасці

Разгледзім дзве імавернасныя прасторы. У абодвух выпадках, $\mathrm{P}(A)=\mathrm{P}(B)=1/2$ and $\mathrm{P}(C)=1/4$. Падзеі з першай прасторы незалежныя парамі, бо $\mathrm{P}(A|B)=\mathrm{P}(A|C)=1/2=\mathrm{P}(A)$, $\mathrm{P}(B|A)=\mathrm{P}(B|C)=1/2=\mathrm{P}(B)$ і $\mathrm{P}(C|A)=\mathrm{P}(C|B)=1/4=\mathrm{P}(C)$; але гэтыя ж тры падзеі залежныя ў сукупнасці. Падзеі ў другой прасторы незалежныя як парамі, так і ў сукупнасці. Каб праілюстраваць розніцу, знойдзем умоўныя імавернасці калі выконваюцца дзве падзеі. У першым выпадку, хоць кожная падзея і незалежная ад кожнай іншай асобна, яна не незалежная ад іх здабытку:

$\mathrm{P}(A|BC)=\frac{\frac{4}{40}}{\frac{4}{40}+\frac{1}{40}}=\frac{4}{5}\ne \mathrm{P}(A)$

$\mathrm{P}(B|AC)=\frac{\frac{4}{40}}{\frac{4}{40}+\frac{1}{40}}=\frac{4}{5}\ne \mathrm{P}(B)$

$\mathrm{P}(C|AB)=\frac{\frac{4}{40}}{\frac{4}{40}+\frac{6}{40}}=\frac{2}{5}\ne \mathrm{P}(C)$

У другім выпадку захоўваецца незалежнасць у сукупнасці:

$\mathrm{P}(A|BC)=\frac{\frac{1}{16}}{\frac{1}{16}+\frac{1}{16}}=\frac{1}{2}=\mathrm{P}(A)$

$\mathrm{P}(B|AC)=\frac{\frac{1}{16}}{\frac{1}{16}+\frac{1}{16}}=\frac{1}{2}=\mathrm{P}(B)$

$\mathrm{P}(C|AB)=\frac{\frac{1}{16}}{\frac{1}{16}+\frac{3}{16}}=\frac{1}{4}=\mathrm{P}(C)$