Імавернасная прастора

У тэорыі імавернасцей імавернасная прастора або імавернасная тройка $(\mathrm{\Omega },𝒜,P)$ — матэматычнае паняцце, якое забяспечвае фармальную мадэль Шаблон:Нп5 працэсу або «выпрабавання».

Імавернасная прастора складаецца з трох элементаўШаблон:Rp:

1. Прасторы элементарных падзей $\mathrm{\Omega }$ — мноства ўсіх магчымых зыходаў выпрабавання.
2. Алгебры падзей $𝒜$, дзе падзеямі называюцца падмноствы $\mathrm{\Omega }$.
3. Шаблон:Нп5 $P$, якая супастаўляе кожнай падзеі з $𝒜$ пэўную імавернасць (рэчаісны лік паміж 0 і 1).

Імавернасная прастора павінна адпавядаць аксіёмам тэорыі імавернасцей.

Пара $(\mathrm{\Omega },𝒜)$ называецца Шаблон:Нп5Шаблон:Rp.

Прыклад дыскрэтнай імавернаснай прасторы

Для прыкладу разгледзім выпрабаванне, якое палягае ў аднакратным падкіданні двух сіметрычных гульнявых кубікаў. У якасці элементарных падзей возьмем усе магчымыя сумы ачкоў, што выпалі на кубікахШаблон:Rp. Тады прастора элементарных падзей мае выгляд

$$\mathrm{\Omega }=\{2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12\}.$$

Значэнне імавернаснай меры для кожнай элементарнай падзеі $\omega$:

$\omega$	2	3	4	5	6	7	8	9	10	11	12
$P(\{\omega \})$	$\frac{1}{36}$	$\frac{2}{36}$	$\frac{3}{36}$	$\frac{4}{36}$	$\frac{5}{36}$	$\frac{6}{36}$	$\frac{5}{36}$	$\frac{4}{36}$	$\frac{3}{36}$	$\frac{2}{36}$	$\frac{1}{36}$

Алгебрай падзей $𝒜$ будзе мноства ўсіх падмностваў $\mathrm{\Omega }$. Імавернасць некаторай падзеі $A\in 𝒜$ зададзім згодна з прынцыпам адытыўнасці як суму імавернасцей усіх элементарных падзей, што ўваходзяць у $A$:

$$P(A)=P(\bigcup _{\omega \in A}\{\omega \})=\sum _{\omega \in A}P(w).$$

Напрыклад падзею "сума ачкоў кратная 3" можна запісаць як $A=\{3,6,9,12\}$. Імавернасць такой падзеі роўная

$$P(A)=P(\{3,6,9,12\})=$$ $$=P(\{3\})+P(\{6\})+P(\{9\})+P(\{12\})=$$ $$=\frac{2}{36}+\frac{5}{36}+\frac{4}{36}+\frac{1}{36}=\frac{1}{3}.$$

Геаметрычная імавернасць

Няхай $\mathrm{\Omega }\subset {ℝ}^n$ і $\mathrm{\Omega }$ мае канечны дадатны $n$-мерны аб'ём, які пазначым праз $|\mathrm{\Omega }|$. Праз $𝒜$ пазначым некаторую σ-алгебру Шаблон:Нп5 падмностваў $\mathrm{\Omega }$. За імавернасць падзеі $A\in 𝒜$ прымаецца лік

$$P(A)=\frac{|A|}{|\mathrm{\Omega }|},$$

дзе праз $|A|$ пазначаны $n$-мерны аб'ём (мера Лебега) мноства $A$.

Такая мадэль імавернаснай прасторы называецца геаметрычнай імавернасцюШаблон:Rp. Адпаведнасць геаметрычнай імавернасці аксіёмам неадмоўнасці, нармаванасці і злічонай адытыўнасці вынікае з прыведзенага вышэй азначэння імавернасці падзеі і ўласцівасцей меры Лебега. Геаметрычная імавернасць служыць мадэллю для задач, дзе часціца выпадкова кідаецца на мноства $\mathrm{\Omega }$ і каардынаты падзення раўнамерна размеркаваныя па гэтым мностве.

Мадэль геаметрычнай імавернасці паказвае існаванне тэарэтычна магчымых падзей, імавернасць якіх роўна нулю. Такой падзеяй з'яўляецца напрыклад пападанне часціцы ў загадзя зададзены пункт, бо аб'ём аднапунктавага мноства роўны нулю.