Аксіяматыка Калмагорава

Аксіёмы Калмагорава — асноўныя палажэнні тэорыі імавернасцей, прапанаваныя савецкім матэматыкам Андрэем Калмагоравым у 1933 г. Гэтыя аксіёмы сталі класічнымі і дагэтуль застаюцца найбольш распаўсюджанай Шаблон:Нп5 у сучаснай тэорыі імавернасцей.

Аксіёмы

Для задання аксіём уводзіцца паняцце імавернаснай прасторы — тройкі $(\mathrm{\Omega },𝒜,P)$, дзе $\mathrm{\Omega }$ — прастора элементарных падзей, $𝒜$ — σ-алгебра падмностваў мноства $\mathrm{\Omega }$, якія называюцца выпадковымі падзеямі, $P:𝒜\to ℝ$ — Шаблон:Нп5, якая называецца Шаблон:Нп5.

Аксіёмы Калмагорава для тэорыі імавернасцейШаблон:Rp:

1. Неадмоўнасць. $P(A)\ge 0$ для адвольнай падзеі $A\in 𝒜$.
2. Нармаванасць. $P(\mathrm{\Omega })=1$, г.зн. імавернасць верагоднай падзеі роўна 1.
3. Адытыўнасць. $P(A+B)=P(A)+P(B)$ для якіх-кольвек несумесных падзей $A,B\in 𝒜$.
4. Непарыўнасць. Калі паслядоўнасць $(A_n{)}_{n=1}^{\mathrm{\infty }}$ падзей $A_n\in 𝒜$ такая, што $A_1\supset A_2\supset \dots \supset A_n\supset \dots$ і $\bigcap _{n\in \mathbb{N}}{A}_n=\varnothing$, то $\underset{n\to \mathrm{\infty }}{\lim }P(A_n)=0$.

Аксіёма злічонай адытыўнасці

Часам замест чатырох аксіём Калмагорава прыводзяцца тры, дзе аксіёмы адытыўнасці і непарыўнасці замяняюцца эквівалентнай ім аксіёмай злічонай адытыўнасціШаблон:Rp:

Для адвольнай злічонай сям'і дыз'юнктных (то бок несумесных) падзей $\{B_k|k\in \mathbb{N}\}$ справядліва роўнасць $$P\left(\sum _{k=1}^{\mathrm{\infty }}{B}_k\right)=\sum _{k=1}^{\mathrm{\infty }}P(B_k).$$

З пункту гледжання праўдзівасці сцверджанняў, якія грунтуюцца на аксіёмах Калмагорава, няма розніцы паміж класічным наборам з чатырох аксіём і наборам, дзе аксіёмы адытыўнасці і непарыўнасці замененыя на аксіёму злічонай адытыўнасці, бо гэтыя наборы аксіём эквівалентныя паміж сабой.

Доказ эквівалентнасці

Дапусцім спачатку, што выконваюцца аксіёмы адытыўнасці і непарыўнасці. Зададзім злічоную сям'ю дыз'юнктных мностваў $A_n:=\sum _{k=n+1}^{\mathrm{\infty }}{B}_k$ і атрымаем, што $A_1\supset A_2\supset \dots \supset A_n\supset \dots$. Пазначым $B:=\sum _{k=1}^{\mathrm{\infty }}{B}_k$ і запішам

$$\bigcap _{n=1}^{\mathrm{\infty }}{A}_n=\bigcap _{n=1}^{\mathrm{\infty }}\bigcup _{k=n+1}^{\mathrm{\infty }}{B}_k=\bigcap _{n=1}^{\mathrm{\infty }}(B\setminus \bigcup _{k=1}^n{B}_k)=$$$$=B\setminus \bigcup _{n=1}^{\mathrm{\infty }}\bigcup _{k=1}^n{B}_k=B\setminus B=\varnothing .$$

Такім чынам, $\bigcap _{n\in \mathbb{N}}{A}_n=\varnothing$ і паводле аксіёмы непарыўнасці $\underset{n\to \mathrm{\infty }}{\lim }P(A_n)=0$. З вызначэння $A_n$ і аксіёмы адытыўнасці вынікае $$P\left(\sum _{k=1}^{\mathrm{\infty }}{B}_k\right)=P(\sum _{k=1}^n{B}_k+A_n)=\sum _{k=1}^{n}P(B_k)+P(A_n).$$

Пераходзячы ў апошняй роўнасці да ліміту $n\to \mathrm{\infty }$ атрымліваем роўнасць з аксіёмы злічонай адытыўнасці.

Цяпер дакажам што выканання аксіёмы злічонай адытыўнасці дастаткова для выканання адытыўнасці і непарыўнасці.

Для доказу спатрэбіцца факт таго, што $P(\varnothing )=0$. Сапраўды, прымаючы $B_k=\varnothing$ (што можна зрабіць, бо пустое мноства не перасякаецца з самім сабой) атрымліваем $$P(\varnothing )=P\left(\sum _{k=1}^{\mathrm{\infty }}\varnothing \right)=\sum _{k=1}^{\mathrm{\infty }}P(\varnothing ).$$

Успомнім, што паводле азначэння $P$ можа прымаць толькі рэчаісныя значэнні, а з усіх рэчаісных лікаў выкананне прыведзенай вышэй роўнасці магчыма толькі для $P(\varnothing )=0$.

Для адвольных несумесных падзей $A,B$ прымем $B_1=A,B_2=B,B_3=B_4=\dots =\varnothing$. Улічваючы аксіёму злічонай адытыўнасці і тое, што $P(\varnothing )=0$, маем

$$P(A+B)=P(B_1+B_2+\varnothing +\varnothing +\dots )=$$ $$=P(B_1)+P(B_2)+P(\varnothing )+\dots =P(A)+P(B).$$

Гэта значыць, што праўдзіцца аксіёма адытыўнасці.

Возьмем цяпер адвольны набор падзей $A_1\supset A_2\supset \dots \supset A_n\supset \dots$, для якіх $\bigcap _{n\in \mathbb{N}}{A}_n=\varnothing$. Пазначым $B_n:=A_n\setminus A_{n+1}$ для ўсіх $n\in \mathbb{N}$ і атрымаем дыз'юнктнае мноства падзей $\{B_1,B_2,\dots ,B_n,\dots \}$. Паводле аксіёмы злічонай адытыўнасці, шэраг $\sum _{k=1}^{\mathrm{\infty }}P(B_k)$ збягаецца і таму паслядоўнасць ягоных астачаў імкнецца да нуля, г.зн.:

$$0=\underset{n\to \mathrm{\infty }}{\lim }\sum _{k=n}^{\mathrm{\infty }}P(B_k)=\underset{n\to \mathrm{\infty }}{\lim }\sum _{k=n}^{\mathrm{\infty }}P(A_k\setminus A_{k+1})=\underset{n\to \mathrm{\infty }}{\lim }P(A_n).$$

Такім чынам мы паказалі, што аксіём адытыўнасці і непарыўнасці дастаткова для выканання аксіёмы злічонай адытыўнасці, а таксама што аксіёмы злічонай адытыўнасці дастаткова для выканання аксіём адытыўнасці і непарыўнасці. Гэта значыць, што аксіёма злічонай адытыўнасці эквівалентная аксіёмам адытыўнасці і непарыўнасці, узятым разам.

Высновы з першых трох аксіём

Грунтуючыся на аксіёмах Калмагорава, можна даказаць шэраг сцверджанняў, карысных для вывучэння тэорыі імавернасцей.

Адытыўнасць для канечнага мноства падзей

Калі падзеі $A_1,A_2,\dots ,A_n\in 𝒜$ парамі несумесныя, то $$P\left(\sum _{k=1}^n{A}_k\right)=\sum _{k=1}^{n}P(A_k).$$

ДоказШаблон:Rp

Доказ будуецца метадам матэматычнай індукцыі з аксіёмы адытыўнасці. Паводле аксіёмы, роўнасць слушная для $n=2$. Для $n>2$ дапусцім, што праўдзіцца роўнасць $$P\left(\sum _{k=1}^{n-1}{A}_k\right)=\sum _{k=1}^{n-1}P(A_k).$$ Выкарыстоўваючы яе і аксіёму адытыўнасці, маем $$P\left(\sum _{k=1}^n{A}_k\right)=P(\sum _{k=1}^{n-1}{A}_k+A_n)=P\left(\sum _{k=1}^{n-1}{A}_k\right)+P(A_n)=\sum _{k=1}^{n-1}P(A_k)+P(A_n)=\sum _{k=1}^{n}P(A_k).$$

Правіла сумы

Для адвольных дзвюх падзей $A,B\in 𝒜$ справядліва роўнасць

$$P(A\cup B)=P(A)+P(B)-P(A\cap B).$$

ДоказШаблон:Rp

Заўважым, што $P(A\cup B)=A\setminus B+B\setminus A+A\cap B$, дзе ўсе тры падзеі парамі несумесныя. З адытыўнасці для канечнага мноства падзей вынікае $$P(A\cup B)=P(A\setminus B)+P(B\setminus A)+P(A\cap B)=$$ $$=(P(A\setminus B)+P(A\cap B))+(P(B\setminus A)+P(A\cap B))-P(A\cap B)=$$ $$=P(A)+P(B)-P(A\cap B).$$

Імавернасць надмноства

Калі $A\subset B$, то $P(B)=P(A)+P(B\setminus A)$.

ДоказШаблон:Rp

З $A\subset B$ вынікае $B=A+B\setminus A$. Тады паводле аксіёмы адытыўнасці маем $P(B)=P(A)+P(B\setminus A)$.

Імавернасць немагчымай падзеі

$P(\varnothing )=0$.

ДоказШаблон:Rp

У формуле імавернасці надмноства прымем $B=A$. Атрымаем $$P(A)=P(A)+P(A\setminus A)=P(A)+P(\varnothing ).$$ Адсюль вынікае, што $P(\varnothing )=0$.

Імавернасць процілеглай падзеі

$P(\overline{A})=1-P(A)$, дзе $\overline{A}$ — падзея, процілеглая да $A$.

ДоказШаблон:Rp

Сыходзячы з таго, што $\mathrm{\Omega }=A+\overline{A}$, а таксама з аксіём адытыўнасці і нармаванасці, атрымліваем $1=P(\mathrm{\Omega })=P(A+\overline{A})=P(A)+P(\overline{A})$.

Манатоннасць

Калі $A\subset B$, то $P(A)\le P(B)$.

ДоказШаблон:Rp

З формулы імавернасці надмноства і аксіёмы неадмоўнасці маем $$P(A)=P(B)-P(B\setminus A)\le P(B).$$

Лікавыя межы імавернасці

Для кожнай падзеі $A\in 𝒜$ праўдзіцца $0\le P(A)\le 1$.

ДоказШаблон:Rp

З таго, што $\varnothing \subset A\subset \mathrm{\Omega }$ вынікае $$0=P(\varnothing )\le P(A)\le P(\mathrm{\Omega })=1.$$

Няроўнасць для імавернасці аб'яднання

Для якіх-кольвек падзей $A_1,A_2,\dots ,A_n$ справядліва няроўнасць

$$P(A_1\cup A_2\cup \dots \cup A_n)\le P(A_1)+P(A_2)+\dots +P(A_n).$$

ДоказШаблон:Rp

Для $n=2$, з правіла сумы і аксіёмы неадмоўнасці вынікае

$$P(A_1\cup A_2)=P(A_1)+P(A_2)-P(A_1\cap A_2)\le P(A_1)+P(A_2).$$

Дапусцім, што для $n-1$ выконваецца

$$P(A_1\cup A_2\cup \dots \cup A_{n-1})\le P(A_1)+P(A_2)+\dots +P(A_{n-1}).$$

Сумяшчаючы гэтыя няроўнасці, атрымоўваем

$$P(A_1\cup A_2\cup \dots \cup A_n)=P((A_1\cup A_2\cup \dots \cup A_{n-1})\cup A_n)\le$$ $$\le P(A_1\cup A_2\cup \dots \cup A_{n-1})+P(A_n)\le P(A_1)+P(A_2)+\dots +P(A_n).$$