Матэматычная індукцыя

Матэматычная індукцыя — у матэматыцы — адзін з метадаў доказу. Звычайна выкарыстоўваецца, каб даказаць нейкае сцвярджэнне для ўсіх натуральных лікаў. Для гэтага даказваецца «першае сцвярджэнне» — база індукцыі, і затым даказваецца, што калі любое сцвярджэнне ў бясконцай паслядоўнасці сцвярджэнняў дакладна, то дакладна і наступнае — крок індукцыі.

Дакладнае апісанне

Хай патрабуецца ўсталяваць справядлівасць бясконцай паслядоўнасці сцвярджэнняў, занумараваных натуральнымі лікамі: $P_1,P_2,\dots ,P_n,P_{n+1},\dots$

Прымем, што

1. Усталявана, што $P_1$ дакладна. (Гэтае сцвярджэнне завецца базай індукцыі.)
2. Для любога натуральнага $n$ даказана, што калі дакладна $P_n$, то дакладна $P_{n+1}$. (Гэтае сцвярджэнне завецца індукцыйным пераходам.)

Тады ўсе сцвярджэнні нашай паслядоўнасці дакладныя.

Пэўнасць гэтага метаду доказу выцякае з так званай аксіёмы індукцыі, пятай з аксіём Пеана, якія вызначаюць натуральныя лікі.

Пэўнасць гэтага метаду доказу эквівалентная таму, што ў любым падмностве натуральных лікаў існуе мінімальны элемент.

Існуе таксама варыяцыя, так званы прынцып поўнай матэматычнай індукцыі. Вось яго строгая фармулёўка.

Хай маецца паслядоўнасць сцвярджэнняў $P_1,P_2,P_3,\dots$. Прымем, што

1. Усталявана, што $P_1$ дакладна.
2. Для любога натуральнага $n$ даказана, што калі дакладныя ўсе $P_1,P_2,P_3,\dots P_n$, то дакладна і $P_{n+1}$. (Гэтае сцвярджэнне завецца індукцыйным пераходам.)

Тады ўсе сцвярджэнні ў гэтай паслядоўнасці дакладныя.

Прынцып поўнай матэматычнай індукцыі таксама выцякае з аксіёмы індукцыі і яму эквівалентны, гэта значыць, яго можна ўзяць замест аксіёмы індукцыі ў аксіёмах Пеана.

Прыклады

Задача. Даказаць, што, якое б ні было натуральнае n і сапраўднае q, адрозненае ад адзінкі, выконваецца роўнасць

$1+q+\cdots +q^n=\frac{1-q^{n+1}}{1-q}.$

Доказ. Індукцыя па n.

База, n = 1:

$1+q=\frac{(1-q)(1+q)}{1-q}=\frac{1-q^{1+1}}{1-q}.$

Пераход: выкажам здагадку, што

$1+q+\cdots +q^n=\frac{1-q^{n+1}}{1-q},$

тады

$1+q+\cdots +q^n+q^{n+1}=\frac{1-q^{n+1}}{1-q}+q^{n+1}=$

$=\frac{1-q^{n+1}+(1-q)q^{n+1}}{1-q}=\frac{1-q^{n+1}+q^{n+1}-q^{(n+1)+1}}{1-q}=\frac{1-q^{(n+1)+1}}{1-q}$,

што і патрабавалася даказаць.

Каментар: пэўнасць сцвярджэння $P_n$ у гэтым доказе — тое ж, што пэўнасць роўнасці

$1+q+\cdots +q^n=\frac{1-q^{n+1}}{1-q}.$

• Гл. таксама доказ аднаколернасці ўсіх коней.

Варыяцыі і абагульненні

• Трансфінітная індукцыя
• Структурная індукцыя

Літаратура

• Н. Я. Виленкин. Индукция. Комбинаторика. Пособие для учителей. М., Просвещение, 1976. — 48 с.
• Л. И. Головина, И. М. Яглом. Индукция в геометрии // Популярные лекции по математике, выпуск 21. М.: Физматгиз, 1961. — 100 с.
• Р. Курант, Г. Роббинс. Что такое математика? Глава I, § 2.
• И. С. Соминский. Метод математической индукции // Популярные лекции по математике, выпуск 3. М.: Наука, 1965. — 58 с.