Аксіёмы Пеана

Аксіёмы Пеана — сістэма аксіём, якія вызначаюць рад натуральных лікаў.

Аксіёмы Пеана дазволілі фармалізаваць арыфметыку. Пасля ўвядзення аксіём сталі магчымы доказы асноўных уласцівасцей натуральных і цэлых лікаў, а таксама выкарыстанне цэлых лікаў для пабудовы рацыянальных і рэчаісных лікаў.

Фармулёўкі

Слоўная

1. 1 ёсць натуральным лікам;
2. Лік, наступны за натуральным, таксама ёсць натуральным;
3. 1 не йдзе ні за якім натуральным лікам;
4. Калі натуральны лік Шаблон:Math непасрэдна йдзе як за лікам Шаблон:Math, так і за лікам Шаблон:Math, то Шаблон:Math і Шаблон:Math тоесныя;
5. Аксіёма індукцыі:

Калі якое-небудзь сцверджанне

а) даказана для 1 (база індукцыі),

б) і калі з дапушчэння, што яно справядліва для натуральнага ліку Шаблон:Math, вынікае, што яно праўдзіцца і для наступнага за Шаблон:Math натуральнага ліку (індукцыйнае сцверджанне),

то гэта сцверджанне справядліва для ўсіх натуральных лікаў.

Матэматычная

Увядзем функцыю $S(x)$, якая супастаўляе ліку $x$ наступны за ім лік.

1. $1\in \mathbb{N}$;
2. $x\in \mathbb{N}\to S(x)\in \mathbb{N}$;
3. $\nexists x\in \mathbb{N}(S(x)=1)$;
4. $S(b)=a\to (S(c)=a\to b=c)$;
5. $P(1)\to (\mathrm{\forall }n(P(n)\to P(S(n)))\to \mathrm{\forall }n\in \mathbb{N}(P(n)))$.

Даслоўны тэкст

Тэкст Пеанавых аксіём, як ён прыведзен у арыгінальным выданні Пеана:

1. «0 ёсць натуральны лік»;
2. «наступны за натуральным лікам ёсць натуральны лік»;
3. «0 не йдзе ні за якім натуральным лікам»;
4. «усякі натуральны лік ідзе толькі за адным натуральным лікам»;
5. Аксіёма поўнай індукцыі.

Заўвага: тое, што першы элемент тут 0, а не 1, прынцыповага значэння не мае.

Гісторыя

Фармальнае азначэнне натуральных лікаў у XIX стагоддзі сфармуляваў італьянскі матэматык Джузэпэ Пеана.

Аксіёмы Пеана засноўваліся на пабудовах Грасмана, хоць іменна Пеана надаў ім сучасны выгляд.

Літаратура

• Peano, G. Arithmetices principia, nova methodo exposita. Bocca, Torino, 1889.
• Арнольд И. В. Теоретическая арифметика. — М.:Учпедгиз, 1938 (змест і djvu-файл з поўным тэкстам).