Няроўнасць Чабышова

Няроўнасць Чaбышова, таксама вядомая як няроўнасць Б’енэме-Чaбышова, — няроўнасць з тэорыі меры і тэорыі імавернасцей. Яна была ўпершыню сфармулявана Б’енэме ў 1853 годзе (праўда, без доказу), а пасля даказана Чабышовым. Няроўнасць, якая выкарыстоўваецца ў тэорыі меры, з’яўляецца больш агульнай чым тая, што выкарыстоўваецца ў тэорыі імавернасцей — у тэорыі імавернасцей выкарыстоўваецца яе вынік.

Няроўнасць Чaбышова ў тэорыі імавернасцей

У тэорыі імавернасцей, няроўнасць Чaбышова гарантуе, што ў любым размеркаванні імавернасцей, «амаль усе» значэнні будуць блізкія да сярэдняга, больш дакладна, доля значэнняў, аддаленых ад сярэдняга больш чым на $k$ стандартных адхіленняў, не большая за $1/k^2$. Інакш кажучы, няроўнасць дае ацэнку імавернасці таго, што выпадковая велічыня прыме значэнне, далёкае ад свайго сярэдняга. Няроўнасць Чaбышова з’яўляецца вынікам няроўнасці Маркава.

Фармулёўкі

Няхай выпадковая велічыня $X:\mathrm{\Omega }\to ℝ$ вызначана на імавернаснай прасторы $(\mathrm{\Omega },ℱ,\mathbb{P})$, а яе матэматычнае чаканне $\mu$ і дысперсія ${\sigma }^2$ канечныя. Тады

$\mathbb{P}(|X-\mu |⩾a)⩽\frac{{\sigma }^2}{a^2},$

дзе $a>0.$

Калі $a=k\sigma$, дзе $\sigma$ — стандартнае адхіленне і $k>0,$ тады атрымаем

$\mathbb{P}(|X-\mu |⩾k\sigma )⩽\frac{1}{k^2}.$

У прыватнасці, выпадковая велічыня з канечнай дысперсіяй адхіляецца ад сярэдняга больш, чым на $2$ стандартныя адхіленні, з імавернасцю менш $25\mathrm{\%}.$ Яна ж адхіляецца ад сярэдняга на $3$ стандартныя адхіленні з імавернасцю менш $11,2\mathrm{\%}.$ Іншымі словамі, у граніцах $2\sigma$ (2-х стандартных адхіленняў) знаходзяцца па меншай меры $100-25=75\mathrm{\%}$ значэнняў, а ў граніцах $3\sigma$ знаходзяцца па меншай меры $100-11,2=88,8\mathrm{\%}$ значэнняў.

Для найважнейшага выпадку аднамадальных размеркаванняў Шаблон:Нп3 істотна ўзмацняе няроўнасць Чaбышова, уключаючы ў сябе дзель $4/9$ і набліжае няроўнасць Чaбышова да правіла трох сігм (ужываецца для нармальнага размеркавання). Як вынік, размеркаванне змяняецца, і ў граніцах $3\sigma$ знаходзяцца «амаль усе» (а дакладней, $95,06\mathrm{\%}$) значэнні выпадковай велічыні.

Гл. таксама

• Няроўнасць Маркава

Літаратура

• Шаблон:Кніга

Спасылкі

• Видеолекция о случайных величинах, неравенствах Маркова и ЧебышёваШаблон:Недаступная спасылка