Біномнае размеркаванне

Шаблон:Размеркаванне імавернасцей Біномнае размеркаванне з параметрамі $n$ і $p$ — дыскрэтнае размеркаванне імавернасцей, якое апісвае колькасць паспяховых зыходаў пры правядзенні $n$ незалежных выпрабаванняў, кожнае з якіх мае два магчымыя зыходы: поспех (з імавернасцю $p$) і няўдача (з імавернасцю $q=1-p$). Кожнае такое выпрабаванне завецца Шаблон:Нп5, а шэраг зыходаў — Шаблон:Нп5. Для аднаго выпрабавання ($n=1$) біномнае размеркаванне адпавядае размеркаванню БэрнуліШаблон:Rp. Біномнае размеркаванне ляжыць у падмурку Шаблон:Нп5 Шаблон:Нп5.

Біномнае размеркаванне часта выкарыстоўваецца для Шаблон:Нп5 колькасці «паспяховых» элементаў у Шаблон:Нп5 Шаблон:Нп5 памерам $n$ з генеральнай сукупнасці памерам $N$. Калі робіцца адбор без вяртання, выпрабаванні не незалежныя, і мадэляваць такую сітуацыю трэба з дапамогай гіпергеаметрычнага размеркавання. Аднак калі $N$ значна большае за $n$, біномнае размеркаванне добра яго набліжае і таму часта выкарыстоўваецца.

Азначэнне

Функцыя імавернасці

Выпадковая велічыня $X$, якая мая біномнае размеркаванне з параметрамі $n\in \mathbb{N}$ і $p\in [0,1]$ запісваецца як $X\sim B(n,p).$ Імавернасць назірання $k$ поспехаў у $n$ выпрабаваннях Бэрнулі задаецца функцыяй імавернасці:

$p_{X\sim B(n,p)}(k)=P(X=k)=(\genfrac{}{}{0ex}{}{n}{k})p^k(1-p{)}^{n-k}$

для $k=0,1,2,\dots ,n$, дзе

$(\genfrac{}{}{0ex}{}{n}{k})=\frac{n!}{k!(n-k)!}$

— Шаблон:Нп5, ад якога і паходзіць імя размеркавання. Формула тлумачыцца наступным чынам: імавернасць назірання $k$ поспехаў роўная $p^k$, а $n-k$ няўдач адбываюцца з імавернасцю $(1-p{)}^{n-k}$. Пры гэтым паспяховымі могуць быць якія-кольвек $k$ з шэрагу $n$ выпрабаванняў, і існуе $(\genfrac{}{}{0ex}{}{n}{k})$ спалучэнняў з $n$ выпрабаванняў па $k$.

Функцыя размеркавання

Функцыя размеркавання для $k\in [0,n]$ мае выгляд:

$F_{X\sim B(n,p)}(k)=P(X\le k)=\sum _{i=0}^{\lfloor k\rfloor }(\genfrac{}{}{0ex}{}{n}{i})p^i(1-p{)}^{n-i},$

дзе $\lfloor k\rfloor$ — Шаблон:Нп5 ад $k$.

Прыклад

Няхай манетка мае імавернасць 0.3 выпасці рэшкай. Імавернасць пабачыць 4 рэшкі пры яе шасціразовым падкіданні роўная

$p_{B(6,0.3)}(4)=(\genfrac{}{}{0ex}{}{6}{4})0.3^4(1-0.3{)}^{6-4}=0.059535.$

Характарыстыкі

Няхай $X\sim B(n,p).$ Тады можна запісаць $X=\sum _{i=1}^n{X}_i,$ дзе кожная велічыня $X_i$ мае размеркаванне Бэрнулі з параметрам $p$ і ўсе $X_i$ незалежныя адна ад адной. Ведаючы характарыстыкі размеркавання Бэрнулі $(𝔼[X_i]=p$ і $Var(X_i)=p(1-p))$, можна знайсці матэматычнае спадзяванне і дысперсію біномнага размеркаванняШаблон:Rp:

$𝔼[X]=𝔼\left[\sum _{i=1}^n{X}_i\right]=\sum _{i=1}^n𝔼[X_i]=np,$

$Var(X)=Var\left(\sum _{i=1}^n{X}_i\right)=\sum _{i=1}^{n}Var(X_i)=np(1-p)=npq.$

Сувязь з іншымі размеркаваннямі

Размеркаванне Бэрнулі

Размеркаванне Бэрнулі — асобны выпадак біномнага размеркавання для $n=1$Шаблон:Rp. Іншымі словамі, велічыня $X\sim B(1,p)$ мае такое ж размеркаванне, як і велічыня $X\sim Bernoulli(p).$

Паліномнае размеркаванне

Паліномнае размеркаванне — многавымернае абагульненне біномнага. Яно дазваляе мадэляваць сітуацыі, калі магчымых зыходаў выпрабавання больш за два.