Многавымерная выпадковая велічыня

Многавымерная выпадковая велічыня або выпадковы вектар — набор аднамерных выпадковых велічынь. Асобныя велічыні прадстаўляюць у выглядзе вектара, калі паміж імі ёсць пэўная сувязь, часта яны адлюстроўваюць розныя характарыстыкі аднаго аб’екта. Напрыклад выпадковым вектарам можа быць сукупнасць узросту, вагі і росту чалавека, якога выпадкова выбіраюць з пэўнай групы людзей.

Азначэнне

Выпадковым $n$-мерным вектарам завецца адлюстраванне $\mathit{\xi }:\mathrm{\Omega }\to {ℝ}^n,$ каардынатнымі функцыямі якога ёсць выпадковыя велічыні ${\xi }_1,{\xi }_2,\dots ,{\xi }_n,$ зададзеныя на імавернаснай прасторы $(\mathrm{\Omega },𝒜,P).$Шаблон:Rp

Адлюстраванне $\mathit{\xi }:\mathrm{\Omega }\to {ℝ}^n$ ёсць $𝒜$-Шаблон:Нп5 адлюстраваннем Шаблон:Нп5 $(\mathrm{\Omega },𝒜)$ у вымерную прастору $({ℝ}^n,{ℬ}^n),$ дзе ${ℬ}^n$ — алгебра ўсіх Шаблон:Нп5 мноства ${ℝ}^n.$

Размеркаванне і функцыя размеркавання

Для многавымерных выпадковых велічынь існуюць свае аналагі размеркавання і функцыі размеркаванняШаблон:Rp.

Адлюстраванне $P_{\mathit{\xi }}:{ℬ}^n\to ℝ,$ якое для кожнага барэлеўскага мноства задаецца роўнасцю $P_{\mathit{\xi }}(B):=P(\mathit{\xi }\in B),$ завецца размеркаваннем выпадковага вектара $\mathit{\xi }.$

Функцыя

$F_{\mathit{\xi }}(𝒙)=F_{1,2,\dots ,n}(x_1,x_2,\dots ,x_n):=P({\xi }_1<x_1,{\xi }_2<x_2,\dots ,{\xi }_n<x_n)$

завецца функцыяй размеркавання выпадковага вектара $\mathit{\xi }=({\xi }_1,{\xi }_2,\dots ,{\xi }_n).$

Уласцівасці функцыі размеркавання

Для функцый размеркавання многавымерных выпадковых велічынь справядлівыя наступныя ўласцівасціШаблон:Rp:

1. $F(x_1,x_2,\dots ,x_n)$ Шаблон:Нп5 і непарыўная злева па кожным аргуменце;
2. калі значэнне прынамсі аднаго з аргументаў $x_k$ імкнецца да $-\mathrm{\infty },$ то значэнне функцыі размеркавання імкнецца да нуля;
3. $F(+\mathrm{\infty },x_2,\dots ,x_n)=F_{2,3,\dots ,n}(x_2,x_3,\dots ,x_n),$ і аналагічныя роўнасці маюць месца, калі значэнні некаторых аргументаў роўныя $+\mathrm{\infty }$ і ўрэшце $F(+\mathrm{\infty },+\mathrm{\infty },\dots ,+\mathrm{\infty })=1;$
4. для любых неадмоўных $h_1,h_2,\dots ,h_n$ мае месца няроўнасць $F(x_1+h_1,x_2+h_2,\dots ,x_n+h_n)-F(x_1,x_2,\dots ,x_n)\ge 0.$

Як і ў аднамерным выпадку, кожная функцыя $F$, якая задавальняе ўласцівасцям, мае адпаведны выпадковы вектар, чыя функцыя размеркавання супадае з $F.$

Класіфікацыя

Многавымернае дыскрэтнае размеркаванне

Размеркаванне выпадковага вектара завецца дыскрэтным, калі ён прымае Шаблон:Нп5 або злічальную колькасць значэнняў. Гэта эквівалентна таму, што кожная кардыната выпадковага вектара мае дыскрэтнае размеркаваннеШаблон:Rp.

Прыклад многавымернага дыскрэтнага размеркавання — паліномнае размеркаванне.

Многавымернае абсалютна непарыўнае размеркаванне

Візуалізацыя шчыльнасці двухвымернага размеркавання

Размеркаванне выпадковага вектара завецца абсалютна непарыўным, калі існуе Шаблон:Нп5 неадмоўная функцыя $f_{1,2,\dots ,n}:{ℝ}_n\to ℝ,$ такая, штоШаблон:Rp

$P_{\mathit{\xi }}(B)=P(\mathit{\xi }\in B)=\underset{B}{\int }{f}_{1,2,\dots ,n}(𝒙)d𝒙$

для кожнага барэлеўскага мноства $B\subset {ℝ}^n$, а інтэграл разумеюць у Шаблон:Нп5. Функцыя $f_{1,2,\dots ,n}(𝒙)$ завецца шчыльнасцю размеркавання выпадковага вектара або шчыльнасцю сумеснага размеркавання выпадковых велічынь.

Прыклады многавымерных абсалютна непарыўных размеркаванняў — многавымернае нармальнае і размеркаванне Дзірыхле.

Функцыі ад многавымерных выпадковых велічынь

Калі $\mathit{\xi }:\mathrm{\Omega }\to {ℝ}^n$ — выпадковы вектар, а Шаблон:Нп5 $\mathit{\phi }:\mathit{\xi }(\mathrm{\Omega })\to {ℝ}^m$ Шаблон:Нп5, то кампазіцыя $\mathit{\eta }=\mathit{\phi }\circ \mathit{\xi }$ — выпадковы вектар з размеркаваннемШаблон:Rp

$P(\mathit{\eta }=\mathit{\phi }(\mathit{\xi })\in B)=\underset{{\mathit{\phi }}^{-1}(B)}{\int }d{F}_{\mathit{\xi }},$

дзе $B$ — адвольнае Шаблон:Нп5, а $F_{\mathit{\xi }}$ — функцыя размеркавання $\mathit{\xi }.$