Паліномнае размеркаванне

Паліномнае размеркаванне — многавымернае абагульненне біномнага размеркавання. Напрыклад, такое размеркаванне маюць колькасці выпадзенняў кожнага значэння на k-гранным кубіку, які падкідаецца n разоў. Для n незалежных выпрабаванняў, якія маюць k магчымых зыходаў з фіксаванымі імавернасцямі, паліномнае размеркаванне апісвае імавернасць кожнай камбінацыі колькасцей кожнага з гэтых зыходаў.

Калі $k=2$ і $n=1$, паліномнае размеркаванне супадае з размеркаваннем Бэрнулі. Для $k=2$ і $n>1$ — з біномным размеркаваннем. Для $k>2$ і $n=1$ — з Шаблон:Нп5.

Азначэнне

Няхай k — натуральны лік і кожнае выпрабаванне мае адзін з k магчымых зыходаў з імавернасцямі p₁, …, p_k. Праводзіцца n незалежных выпрабаванняў. З таго, што зыходы Шаблон:Нп5 і адзін з іх мусіць адбыцца маем p_i ≥ 0 для i = 1, …, k і $\sum _{i=1}^k{p}_i=1$. Калі выпадковыя велічыні X_i прымаюць значэнні колькасці выпрабаванняў, у якіх назіраўся зыход i, кажуць, што выпадковы вектар X = (X₁, …, X_k) мае паліномнае размеркаванне з параметрамі n і p, дзе p = (p₁, …, p_k). Хаця выпрабаванні незалежныя, велічыні X_i залежныя, бо іх сума мае быць роўнай n.

Функцыя імавернасці

Функцыя імавернасці паліномнага размеркавання мае выглядШаблон:Rp

$\begin{array}{cc}f(x_1,\dots ,x_k;n,p_1,\dots ,p_k)& =P(X_1=x_1,X_2=x_2,\dots ,X_k=x_k)\\ & =\{\begin{array}{cc}\frac{n!}{x_1!\cdots x_k!}{p}_1^{x_1}\times \cdots \times p_k^{x_k},& \sum _{i=1}^k{x}_i=n\\ \\ 0& \sum _{i=1}^k{x}_i\ne n\end{array}\end{array}$

для неадмоўных цэлых x₁, …, x_k.

Функцыю імавернасці можна перапісаць з выкарыстаннем гама-функцыі:

$f(x_1,\dots ,x_k;p_1,\dots ,p_k)=\frac{\mathrm{\Gamma }(\sum _i{x}_i+1)}{\prod _i\mathrm{\Gamma }(x_i+1)}\prod _{i=1}^k{p}_i^{x_i}.$

Гэтая форма паказвае падабенства да размеркавання Дзірыхле, якое выкарыстоўваецца як Шаблон:Нп5 для паказнікавага размеркавання.

Прыклад

Няхай на выбарах у некаторай вялікай краіне кандыдат A набраў 20 % галасоў, кандыдат B — 30 %, а кандыдат C — 50 %. Калі ўзяць 6 выпадковых выбаршчыкаў, якая імавернасць таго, што сярод іх адзін галасаваў за кандыдата A, два за кандыдата B і тры за кандыдата C?

Строга кажучы, паводле ўмовы задачы адбываецца Шаблон:Нп5, таму для дакладнага адказу на пытанне трэба ведаць колькасць усіх выбаршчыкаў у краіне і скарыстацца многавымерным гіпергеаметрычным размеркаваннем. Але калі краіна дастаткова вялікая, паліномнае размеркаванне дазваляе атрымаць адказ з вельмі невялікай хібнасцю. Падстаўляючы значэнні ў формулу функцыі імавернасці, атрымліваем

$P(A=1,B=2,C=3)=\frac{6!}{1!2!3!}(0.2^1)(0.3^2)(0.5^3)=0.135$