Прагляд зыходнага тэксту старонкі Спіс дакладных трыганаметрычных пастаянных

[[Image:Unit circle angles color.svg|300px|thumb|Значэнні косінуса і сінуса вуглоў, кратных 30 і 45 градусам, на адзінкавай акружнасці.]]
Пры рашэнні задач часта бывае карысна ведаць дакладныя [[алгебраічны выраз|алгебраічныя выразы]] для значэнняў [[трыганаметрычныя функцыі|трыганаметрычных функцый]], у першую чаргу для таго, каб прадставіць рашэнне праз [[Корань (матэматыка)|радыкалы (карані)]], што адкрывае магчымасці для далейшага спрашчэння.

Усе значэнні сінусаў, косінусаў і тангенсаў вуглоў, кратных 3°, выражаюцца ў радыкалах. Гэтыя значэнні атрыманы шляхам прымянення [[трыганаметрычныя тоеснасці|тоеснасцей]] для палавіннага вугла, двайнога вугла, а таксама [[трыганаметрычныя формулы|формул]] для сумы і рознасці вуглоў са значэннямі 0°, 30°, 36°, і 45°.

Заўвага: градусы і радыяны звязаны суадносінамі {{math|1° {{=}} π/180}} [[радыян]].

== Рацыянальныя значэнні трыганаметрычных функцый ==
Згодна з тэарэмай Нівена<ref>Гл. вынік 3.12 у кнізе {{кніга|аўтар=Ivan Niven.|загаловак=Irrational Numbers.|выдавецтва=Wiley|старонкі=41|год=1956|mr=0080123}}</ref>, адзінымі рацыянальнымі значэннямі функцыі [[Трыганаметрычныя функцыі|сінуса]] пры [[рацыянальны лік|рацыянальным]] аргуменце (у градусах) з'яўляюцца лікі 0, 1/2, і 1.

== Стандартныя «школьныя» вуглы ==

=== Асноўныя вострыя вуглы ===
Значэнні сінуса, косінуса, тангенса, катангенса, секанса і касеканса для найбольш ужывальных вострых вуглоў прыведзены ў табліцы.
(«∞» азначае, што функцыя ў таком пункце не вызначана, а ў яго наваколлі імкнецца да бесканечнасці).

{| class="wikitable" cellpadding="5" cellspacing="0" align="left"
! <math> \alpha \,\!</math> || 0°(0 рад)|| 30° ({{math|π}}/6)|| 45° ({{math|π}}/4)|| 60° ({{math|π}}/3)|| 90° ({{math|π}}/2)|| 180° ({{math|π}})|| 270° (3{{math|π}}/2)|| 360° (2{{math|π}})
|-align="center"
||<math> \sin \alpha \,\!</math>||<math>{0} \,\!</math>||<math> \frac{1}{2}\,\!</math>||<math> \frac{\sqrt{2}}{2}\,\!</math>||<math> \frac{ \sqrt{3}}{2}\,\!</math>||<math>{1}\,\!</math>||<math>{0}\,\!</math>||<math>{-1}\,\!</math>||<math>{0}\,\!</math>
|-align="center"
||<math> \cos \alpha \,\!</math>||<math>{1} \,\!</math>||<math>  \frac{ \sqrt{3}}{2}\,\!</math>||<math> \frac{\sqrt{2}}{2}\,\!</math>||<math> \frac{1}{2}\,\!</math>||<math>{0}\,\!</math>||<math>{-1}\,\!</math>||<math>{0}\,\!</math>||<math>{1}\,\!</math>

|-align="center"
||<math> \operatorname{tg} \alpha \,\!</math>||<math>{0} \,\!</math>||<math> \frac{\sqrt{3}}{3}\,\!</math>||<math> {1}\,\!</math>||<math>  \sqrt{3}\,\!</math>|| <math>{\infty}\,\!</math> ||<math>{0}\,\!</math>|| <math>{\infty}\,\!</math> ||<math>{0}\,\!</math>
|-align="center"
||<math> \operatorname{ctg} \alpha \,\!</math>|| <math>{\infty}\,\!</math> ||<math>  \sqrt{3}\,\!</math>||<math>{1} \,\!</math>||<math> \frac{\sqrt{3}}{3}\,\!</math>||<math> {0}\,\!</math>|| <math>{\infty}\,\!</math> ||<math>{0}\,\!</math>|| <math>{\infty}\,\!</math>

|-align="center"
||<math> \sec \alpha \,\!</math>||<math>{1} \,\!</math>||<math>  \frac{2 \sqrt{3}}{3}\,\!</math>||<math>  \sqrt{2}\,\!</math>||<math> {2}\,\!</math>|| <math>{\infty}\,\!</math> ||<math>{-1}\,\!</math>|| <math>{\infty}\,\!</math> ||<math> {1}\,\!</math>
|-align="center"
||<math> \operatorname{cosec} \alpha \,\!</math>|| <math>{\infty}\,\!</math> ||<math> {2}\,\!</math>||<math>  \sqrt{2}\,\!</math>||<math> \frac{2 \sqrt{3}}{3}\,\!</math>||<math>{1}\,\!</math>|| <math>{\infty}\,\!</math> ||<math>{-1}\,\!</math>|| <math>{\infty}\,\!</math>
|}

<br clear="both" />

=== Значэнні трыганаметрычных функцый вуглоў, кратных 30° ці 45° ===
{| class="standard" cellpadding="5"
|-align="center"
|<math>\alpha\,</math>
|<math>\frac{2\pi}{3} = 120^\circ</math>
|<math>\frac{3\pi}{4} = 135^\circ</math>
|<math>\frac{5\pi}{6} = 150^\circ</math>
|<math>\frac{7\pi}{6} = 210^\circ</math>
|<math>\frac{5\pi}{4} = 225^\circ</math>
|<math>\frac{4\pi}{3} = 240^\circ</math>
|<math>\frac{5\pi}{3} = 300^\circ</math>
|<math>\frac{7\pi}{4} = 315^\circ</math>
|<math>\frac{11\pi}{6} = 330^\circ</math>
|-align="center"
|<math>\sin \alpha\,</math>
|<math>\frac{\sqrt{3}}{2}</math><!-- math>\frac{\sqrt{6}-\sqrt{2}}{4}</math -->
|<math>\frac{\sqrt{2}}{2}</math>
|<math>\frac{1}{2}</math>
|<math>-\frac{1}{2}</math>
|<math>-\frac{\sqrt{2}}{2}</math>
|<math>-\frac{\sqrt{3}}{2}</math>
|<math>-\frac{\sqrt{3}}{2}</math>
|<math>-\frac{\sqrt{2}}{2}</math>
|<math>-\frac{1}{2}</math>
|-align="center"
|<math>\cos \alpha\,</math>
|<math>-\frac{1}{2}</math><!--math>\frac{\sqrt{6}+\sqrt{2}}{4}</math-->
|<math>-\frac{\sqrt{2}}{2}</math>
|<math>-\frac{\sqrt{3}}{2}</math>
|<math>-\frac{\sqrt{3}}{2}</math>
|<math>-\frac{\sqrt{2}}{2}</math>
|<math>-\frac{1}{2}</math>
|<math>\frac{1}{2}</math>
|<math>\frac{\sqrt{2}}{2}</math>
|<math>\frac{\sqrt{3}}{2}</math>
|-align="center"
|<math>\operatorname{tg}\,\alpha</math>
|<math>-\sqrt{3}</math>
|<math>{-1}\,\!</math>
|<math>-\frac{\sqrt{3}}{3}</math>
|<math>\frac{\sqrt{3}}{3}</math>
|<math>{1}\,\!</math>
|<math>\sqrt{3}</math>
|<math>-\sqrt{3}</math>
|<math>{-1}\,\!</math>
|<math>-\frac{\sqrt{3}}{3}</math>
|-align="center"
|<math>\operatorname{ctg}\,\alpha</math>
|<math>-\frac{\sqrt{3}}{3}</math>
|<math>{-1}\,\!</math>
|<math>-\sqrt{3}</math>
|<math>\sqrt{3}</math>
|<math>{1}\,\!</math>
|<math>\frac{\sqrt{3}}{3}</math>
|<math>-\frac{\sqrt{3}}{3}</math>
|<math>{-1}\,\!</math>
|<math>-\sqrt{3}</math>
|}

=== Значэнні для іншых распаўсюджаных вуглоў ===
{| class="standard" cellpadding="5"
|-align="center"
|<math>\alpha\,</math>
|<math>\frac{\pi}{12} = 15^\circ</math>
|<math>\frac{\pi}{10} = 18^\circ</math>
|<math>\frac{\pi}{8} = 22{{,}}5^\circ</math>
|<math>\frac{\pi}{5} = 36^\circ</math>
|<math>\frac{3\,\pi}{10} = 54^\circ</math>
|<math>\frac{3\,\pi}{8} = 67{{,}}5^\circ</math>
|<math>\frac{2\,\pi}{5} = 72^\circ</math>
|<math>\frac{5\,\pi}{12} = 75^\circ</math>
|-align="center"
|<math>\sin \alpha\,</math>
|<math>\frac{\sqrt{3}-1}{2\,\sqrt{2}}</math><!-- math>\frac{\sqrt{6}-\sqrt{2}}{4}</math -->
|<math>\frac{\sqrt{5}-1}{4}</math>
|<math>\frac{\sqrt{2-\sqrt{2}}}{2}</math>
|<math>\frac{\sqrt{5-\sqrt{5}}}{2\,\sqrt{2}}</math>
|<math>\frac{\sqrt{5}+1}{4}</math>
|<math>\frac{\sqrt{2+\sqrt{2}}}{2}</math>
|<math>\frac{\sqrt{5+\sqrt{5}}}{2\,\sqrt{2}}</math>
|<math>\frac{\sqrt{3}+1}{2\,\sqrt{2}}</math>
|-align="center"
|<math>\cos \alpha\,</math>
|<math>\frac{\sqrt{3}+1}{2\,\sqrt{2}}</math><!--math>\frac{\sqrt{6}+\sqrt{2}}{4}</math-->
|<math>\frac{\sqrt{5+\sqrt{5}}}{2\,\sqrt{2}}</math>
|<math>\frac{\sqrt{2+\sqrt{2}}}{2}</math>
|<math>\frac{\sqrt{5}+1}{4}</math>
|<math>\frac{\sqrt{5-\sqrt{5}}}{2\,\sqrt{2}}</math>
|<math>\frac{\sqrt{2-\sqrt{2}}}{2}</math>
|<math>\frac{\sqrt{5}-1}{4}</math>
|<math>\frac{\sqrt{3}-1}{2\,\sqrt{2}}</math>
|-align="center"
|<math>\operatorname{tg}\,\alpha</math>
|<math>2-\sqrt{3}</math>
|<math>\sqrt{1-\frac{2}{\sqrt{5}}}</math>
|<math>\sqrt{2}-1</math>
|<math>\sqrt{5-2\,\sqrt{5}}</math>
|<math>\sqrt{1+\frac{2}{\sqrt{5}}}</math>
|<math>\sqrt{2}+1</math>
|<math>\sqrt{5+2\,\sqrt{5}}</math>
|<math>2 + \sqrt{3}</math>
|-align="center"
|<math>\operatorname{ctg}\,\alpha</math>
|<math>2 + \sqrt{3}</math>
|<math>\sqrt{5+2\,\sqrt{5}}</math>
|<math>\sqrt{2}+1</math>
|<math>\sqrt{1+\frac{2}{\sqrt{5}}}</math>
|<math>\sqrt{5-2\,\sqrt{5}}</math>
|<math>\sqrt{2}-1</math>
|<math>\sqrt{1-\frac{2}{\sqrt{5}}}</math>
|<math>2-\sqrt{3}</math>
|}

== Пашыраны спіс значэнняў трыганаметрычных функцый ==

<math>\sin \frac{\pi}{60} = \cos \frac{29\,\pi}{60} = \sin 3^\circ = \cos 87^\circ = \frac{\sqrt{2}(\sqrt{3}+1)(\sqrt{5}-1)-2(\sqrt{3}-1)\sqrt{5+\sqrt{5}}}{16},</math>

<math>\cos \frac{\pi}{60} = \sin \frac{29\,\pi}{60} = \cos 3^\circ = \sin 87^\circ = \frac{\sqrt{2}(\sqrt{3}-1)(\sqrt{5}-1)+2(\sqrt{3}+1)\sqrt{5+\sqrt{5}}}{16},</math>

<math>\operatorname{tg} \frac{\pi}{60} = \operatorname{ctg} \frac{29\,\pi}{60} = \operatorname{tg} 3^\circ = \operatorname{ctg} 87^\circ = \frac{2(\sqrt{5}+2)-\sqrt{3}(\sqrt{5}+3)+(2-\sqrt{3})(\sqrt{3}(\sqrt{5}+1)-2)\sqrt{5-2\sqrt{5}}}{2},</math>

<math>\operatorname{ctg} \frac{\pi}{60} = \operatorname{tg} \frac{29\,\pi}{60} = \operatorname{ctg} 3^\circ = \operatorname{tg} 87^\circ = \frac{2(2(\sqrt{5}+2)+\sqrt{3}(\sqrt{5}+3))+(\sqrt{3}(\sqrt{5}-1)+2)\sqrt{2(25+11\sqrt{5})}}{4},</math>

<math>\sin \frac{\pi}{30} = \cos \frac{7\,\pi}{15} = \sin 6^\circ = \cos 84^\circ = \frac{\sqrt{6(5-\sqrt{5})}-\sqrt{5}-1}{8},</math>

<math>\cos \frac{\pi}{30} = \sin \frac{7\,\pi}{15} = \cos 6^\circ = \sin 84^\circ = \frac{\sqrt{2(5-\sqrt{5})}+\sqrt{3}(\sqrt{5}+1)}{8},</math>

<math>\operatorname{tg} \frac{\pi}{30} = \operatorname{ctg} \frac{7\,\pi}{15} = \operatorname{tg} 6^\circ = \operatorname{ctg} 84^\circ = \frac{\sqrt{2(5-\sqrt{5})}-\sqrt{3}(\sqrt{5}-1)}{2},</math>

<math>\operatorname{ctg} \frac{\pi}{30} = \operatorname{tg} \frac{7\,\pi}{15} = \operatorname{ctg} 6^\circ = \operatorname{tg} 84^\circ = \frac{\sqrt{2(25+11\sqrt{5})}+\sqrt{3}(\sqrt{5}+3)}{2},</math>

<math>\sin \frac{\pi}{20} = \cos \frac{9\,\pi}{20} = \sin 9^\circ = \cos 81^\circ = \frac{\sqrt{2}(\sqrt{5}+1)-2\sqrt{5-\sqrt{5}}}{8},</math>

<math>\cos \frac{\pi}{20} = \sin \frac{9\,\pi}{20} = \cos 9^\circ = \sin 81^\circ = \frac{\sqrt{2}(\sqrt{5}+1)+2\sqrt{5-\sqrt{5}}}{8},</math>

<math>\operatorname{tg} \frac{\pi}{20} = \operatorname{ctg} \frac{9\,\pi}{20} = \operatorname{tg} 9^\circ = \operatorname{ctg} 81^\circ = {\sqrt{5}+1-\sqrt{5+2\sqrt{5}}},</math>

<math>\operatorname{ctg} \frac{\pi}{20} = \operatorname{tg} \frac{9\,\pi}{20} = \operatorname{ctg} 9^\circ = \operatorname{tg} 81^\circ = {\sqrt{5}+1+\sqrt{5+2\sqrt{5}}},</math>

<math>\sin \frac{\pi}{15} = \cos \frac{13\,\pi}{30} = \sin 12^\circ = \cos 78^\circ = \frac{\sqrt{2(5+\sqrt{5})}-\sqrt{3}(\sqrt{5}-1)}{8},</math>

<math>\cos \frac{\pi}{15} = \sin \frac{13\,\pi}{30} = \cos 12^\circ = \sin 78^\circ = \frac{\sqrt{6(5+\sqrt{5})}+\sqrt{5}-1}{8},</math>

<math>\operatorname{tg} \frac{\pi}{15} = \operatorname{ctg} \frac{13\,\pi}{30} = \operatorname{tg} 12^\circ = \operatorname{ctg} 78^\circ = \frac{\sqrt{3}(3-\sqrt{5})-\sqrt{2(25-11\sqrt{5})}}{2},</math>

<math>\operatorname{ctg} \frac{\pi}{15} = \operatorname{tg} \frac{13\,\pi}{30} = \operatorname{ctg} 12^\circ = \operatorname{tg} 78^\circ = \frac{\sqrt{3}(\sqrt{5}+1)+\sqrt{2(5+\sqrt{5})}}{2},</math>

<math>\sin \frac{7\,\pi}{60} = \cos \frac{23\,\pi}{60} = \sin 21^\circ = \cos 69^\circ = \frac{-\sqrt{2}(\sqrt{3}-1)(\sqrt{5}+1)+2(\sqrt{3}+1)\sqrt{5-\sqrt{5}}}{16},</math>

<math>\cos \frac{7\,\pi}{60} = \sin \frac{23\,\pi}{60} = \cos 21^\circ = \sin 69^\circ = \frac{\sqrt{2}(\sqrt{3}+1)(\sqrt{5}+1)+2(\sqrt{3}-1)\sqrt{5-\sqrt{5}}}{16},</math>

<math>\operatorname{tg} \frac{7\,\pi}{60} = \operatorname{ctg} \frac{23\,\pi}{60} = \operatorname{tg} 21^\circ = \operatorname{ctg} 69^\circ = \frac{2(2(\sqrt{5}-2)-\sqrt{3}(3-\sqrt{5}))+(\sqrt{3}(\sqrt{5}+1)-2)\sqrt{2(25-11\sqrt{5})}}{4},</math>

<math>\operatorname{ctg} \frac{7\,\pi}{60} = \operatorname{tg} \frac{23\,\pi}{60} = \operatorname{ctg} 21^\circ = \operatorname{tg} 69^\circ = \frac{2(2(\sqrt{5}-2)+\sqrt{3}(3-\sqrt{5}))+(\sqrt{3}(\sqrt{5}+1)+2)\sqrt{2(25-11\sqrt{5})}}{4},</math>

<math>\sin \frac{2\,\pi}{15} = \cos \frac{11\,\pi}{30} = \sin 24^\circ = \cos 66^\circ = \frac{\sqrt{3}(\sqrt{5}+1)-\sqrt{2(5-\sqrt{5})}}{8},</math>

<math>\cos \frac{2\,\pi}{15} = \sin \frac{11\,\pi}{30} = \cos 24^\circ = \sin 66^\circ = \frac{\sqrt{5}+1+\sqrt{6(5-\sqrt{5})}}{8},</math>

<math>\operatorname{tg} \frac{2\,\pi}{15} = \operatorname{ctg} \frac{11\,\pi}{30} = \operatorname{tg} 24^\circ = \operatorname{ctg} 66^\circ = \frac{-\sqrt{3}(3+\sqrt{5})+\sqrt{2(25+11\sqrt{5})}}{2},</math>

<math>\operatorname{ctg} \frac{2\,\pi}{15} = \operatorname{tg} \frac{11\,\pi}{30} = \operatorname{ctg} 24^\circ = \operatorname{tg} 66^\circ = \frac{\sqrt{3}(\sqrt{5}-1)+\sqrt{2(5-\sqrt{5})}}{2},</math>

<math>\sin \frac{3\,\pi}{20} = \cos \frac{7\,\pi}{20} = \sin 27^\circ = \cos 63^\circ = \frac{-\sqrt{2}(\sqrt{5}-1)+2\sqrt{5+\sqrt{5}}}{8},</math>

<math>\cos \frac{3\,\pi}{20} = \sin \frac{7\,\pi}{20} = \cos 27^\circ = \sin 63^\circ = \frac{\sqrt{2}(\sqrt{5}-1)+2\sqrt{5+\sqrt{5}}}{8},</math>

<math>\operatorname{tg} \frac{3\,\pi}{20} = \operatorname{ctg} \frac{7\,\pi}{20} = \operatorname{tg} 27^\circ = \operatorname{ctg} 63^\circ = {\sqrt{5}-1-\sqrt{5-2\sqrt{5}}},</math>

<math>\operatorname{ctg} \frac{3\,\pi}{20} = \operatorname{tg} \frac{7\,\pi}{20} = \operatorname{ctg} 27^\circ = \operatorname{tg} 63^\circ = {\sqrt{5}-1+\sqrt{5-2\sqrt{5}}},</math>

<math>\sin \frac{11\,\pi}{60} = \cos \frac{19\,\pi}{60} = \sin 33^\circ = \cos 57^\circ = \frac{\sqrt{2}(\sqrt{3}+1)(\sqrt{5}-1)+2(\sqrt{3}-1)\sqrt{5+\sqrt{5}}}{16},</math>

<math>\cos \frac{11\,\pi}{60} = \sin \frac{19\,\pi}{60} = \cos 33^\circ = \sin 57^\circ = \frac{-\sqrt{2}(\sqrt{3}-1)(\sqrt{5}-1)+2(\sqrt{3}+1)\sqrt{5+\sqrt{5}}}{16},</math>

<math>\operatorname{tg} \frac{11\,\pi}{60} = \operatorname{ctg} \frac{19\,\pi}{60} = \operatorname{tg} 33^\circ = \operatorname{ctg} 57^\circ = \frac{-2(\sqrt{5}+2)+\sqrt{3}(3+\sqrt{5})+(2-\sqrt{3})(\sqrt{3}(\sqrt{5}+1)-2)\sqrt{5-2\sqrt{5}}}{2},</math>

<math>\operatorname{ctg} \frac{11\,\pi}{60} = \operatorname{tg} \frac{19\,\pi}{60} = \operatorname{ctg} 33^\circ = \operatorname{tg} 57^\circ = \frac{-2(2(\sqrt{5}+2)+\sqrt{3}(3+\sqrt{5}))+(\sqrt{3}(\sqrt{5}-1)+2)\sqrt{2(25+11\sqrt{5})}}{4},</math>

<math>\sin \frac{13\,\pi}{60} = \cos \frac{17\,\pi}{60} = \sin 39^\circ = \cos 51^\circ = \frac{\sqrt{2}(\sqrt{3}+1)(\sqrt{5}+1)-2(\sqrt{3}-1)\sqrt{5-\sqrt{5}}}{16},</math>

<math>\cos \frac{13\,\pi}{60} = \sin \frac{17\,\pi}{60} = \cos 39^\circ = \sin 51^\circ = \frac{\sqrt{2}(\sqrt{3}-1)(\sqrt{5}+1)+2(\sqrt{3}+1)\sqrt{5-\sqrt{5}}}{16},</math>

<math>\operatorname{tg} \frac{13\,\pi}{60} = \operatorname{ctg} \frac{17\,\pi}{60} = \operatorname{tg} 39^\circ = \operatorname{ctg} 51^\circ = \frac{-2(2(\sqrt{5}-2)+\sqrt{3}(3-\sqrt{5}))+(\sqrt{3}(\sqrt{5}+1)+2)\sqrt{2(25-11\sqrt{5})}}{4},</math>

<math>\operatorname{ctg} \frac{13\,\pi}{60} = \operatorname{tg} \frac{17\,\pi}{60} = \operatorname{ctg} 39^\circ = \operatorname{tg} 51^\circ = \frac{-2(2(\sqrt{5}-2)-\sqrt{3}(3-\sqrt{5}))+(\sqrt{3}(\sqrt{5}+1)-2)\sqrt{2(25-11\sqrt{5})}}{4},</math>

<math>\sin \frac{7\,\pi}{30} = \cos \frac{8\,\pi}{30} = \sin 42^\circ = \cos 48^\circ = \frac{-(\sqrt{5}-1)+\sqrt{6(5+\sqrt{5})}}{8},</math>

<math>\cos \frac{7\,\pi}{30} = \sin \frac{8\,\pi}{30} = \cos 42^\circ = \sin 48^\circ = \frac{\sqrt{3}(\sqrt{5}-1)+\sqrt{2(5+\sqrt{5})}}{8},</math>

<math>\operatorname{tg} \frac{7\,\pi}{30} = \operatorname{ctg} \frac{8\,\pi}{30} = \operatorname{tg} 42^\circ = \operatorname{ctg} 48^\circ = \frac{\sqrt{3}(\sqrt{5}+1)-\sqrt{2(5+\sqrt{5})}}{2},</math>

<math>\operatorname{ctg} \frac{7\,\pi}{30} = \operatorname{tg} \frac{8\,\pi}{30} = \operatorname{ctg} 42^\circ = \operatorname{tg} 48^\circ = \frac{\sqrt{3}(3-\sqrt{5})+\sqrt{2(25-11\sqrt{5})}}{2},</math>

<math>\operatorname{tg} \frac{\pi}{120} = \operatorname{ctg} \frac{59\,\pi}{120} = \operatorname{tg} 1.5^\circ = \operatorname{ctg} 88.5^\circ = \sqrt{\frac{8-\sqrt{2(2-\sqrt{3})(3-\sqrt{5})} - \sqrt{
2(2+\sqrt{3})(5+\sqrt{5})}}{8+\sqrt{2(2-\sqrt{3})(3-\sqrt{5})}+\sqrt{2(2+\sqrt{3})(5+\sqrt{5})}
}},</math>

<math>\cos \frac{\pi}{240} = \sin \frac{119\,\pi}{240} = \cos 0.75^\circ = \sin 89.25^\circ = \frac{1}{16} 
\left(
\sqrt{2-\sqrt{2+\sqrt{2}}} \left(\sqrt{2(5+\sqrt{5})}+\sqrt{3}(1-\sqrt{5}) \right) + \right.
</math> <math>
\left.
+ \sqrt{2+\sqrt{2+\sqrt{2}}} \left (\sqrt{6(5+\sqrt{5})}+\sqrt{5} - 1 \right) 
\right),</math>

=== Асобыя вуглы ===

<math>\cos \frac{\pi}{17} = \sin \frac{15\,\pi}{34} = \frac{1}{8}\sqrt{2 \left(2\sqrt{3\sqrt{17}-\sqrt{2(85+19\sqrt{17})} +17}+\sqrt{2(17-\sqrt{17})}+\sqrt{17}+15 \right)}.</math>

{{зноскі}}

[[Катэгорыя:Трыганаметрыя]]