Спіс дакладных трыганаметрычных пастаянных

Значэнні косінуса і сінуса вуглоў, кратных 30 і 45 градусам, на адзінкавай акружнасці.

Пры рашэнні задач часта бывае карысна ведаць дакладныя алгебраічныя выразы для значэнняў трыганаметрычных функцый, у першую чаргу для таго, каб прадставіць рашэнне праз радыкалы (карані), што адкрывае магчымасці для далейшага спрашчэння.

Усе значэнні сінусаў, косінусаў і тангенсаў вуглоў, кратных 3°, выражаюцца ў радыкалах. Гэтыя значэнні атрыманы шляхам прымянення тоеснасцей для палавіннага вугла, двайнога вугла, а таксама формул для сумы і рознасці вуглоў са значэннямі 0°, 30°, 36°, і 45°.

Заўвага: градусы і радыяны звязаны суадносінамі Шаблон:Math радыян.

Рацыянальныя значэнні трыганаметрычных функцый

Згодна з тэарэмай Нівена, адзінымі рацыянальнымі значэннямі функцыі сінуса пры рацыянальным аргуменце (у градусах) з'яўляюцца лікі 0, 1/2, і 1.

Стандартныя «школьныя» вуглы

Асноўныя вострыя вуглы

Значэнні сінуса, косінуса, тангенса, катангенса, секанса і касеканса для найбольш ужывальных вострых вуглоў прыведзены ў табліцы. («∞» азначае, што функцыя ў таком пункце не вызначана, а ў яго наваколлі імкнецца да бесканечнасці).

$\alpha$	0°(0 рад)	30° (Шаблон:Math/6)	45° (Шаблон:Math/4)	60° (Шаблон:Math/3)	90° (Шаблон:Math/2)	180° (Шаблон:Math)	270° (3Шаблон:Math/2)	360° (2Шаблон:Math)
$\sin \alpha$	$0$	$\frac{1}{2}$	$\frac{\sqrt{2}}{2}$	$\frac{\sqrt{3}}{2}$	$1$	$0$	$-1$	$0$
$\cos \alpha$	$1$	$\frac{\sqrt{3}}{2}$	$\frac{\sqrt{2}}{2}$	$\frac{1}{2}$	$0$	$-1$	$0$	$1$
$\mathrm{tg}\alpha$	$0$	$\frac{\sqrt{3}}{3}$	$1$	$\sqrt{3}$	$\mathrm{\infty }$	$0$	$\mathrm{\infty }$	$0$
$\mathrm{ctg}\alpha$	$\mathrm{\infty }$	$\sqrt{3}$	$1$	$\frac{\sqrt{3}}{3}$	$0$	$\mathrm{\infty }$	$0$	$\mathrm{\infty }$
$\sec \alpha$	$1$	$\frac{2\sqrt{3}}{3}$	$\sqrt{2}$	$2$	$\mathrm{\infty }$	$-1$	$\mathrm{\infty }$	$1$
$\mathrm{cosec}\alpha$	$\mathrm{\infty }$	$2$	$\sqrt{2}$	$\frac{2\sqrt{3}}{3}$	$1$	$\mathrm{\infty }$	$-1$	$\mathrm{\infty }$

Значэнні трыганаметрычных функцый вуглоў, кратных 30° ці 45°

$\alpha$	$\frac{2\pi }{3}=120^{\circ }$	$\frac{3\pi }{4}=135^{\circ }$	$\frac{5\pi }{6}=150^{\circ }$	$\frac{7\pi }{6}=210^{\circ }$	$\frac{5\pi }{4}=225^{\circ }$	$\frac{4\pi }{3}=240^{\circ }$	$\frac{5\pi }{3}=300^{\circ }$	$\frac{7\pi }{4}=315^{\circ }$	$\frac{11\pi }{6}=330^{\circ }$
$\sin \alpha$	$\frac{\sqrt{3}}{2}$	$\frac{\sqrt{2}}{2}$	$\frac{1}{2}$	$-\frac{1}{2}$	$-\frac{\sqrt{2}}{2}$	$-\frac{\sqrt{3}}{2}$	$-\frac{\sqrt{3}}{2}$	$-\frac{\sqrt{2}}{2}$	$-\frac{1}{2}$
$\cos \alpha$	$-\frac{1}{2}$	$-\frac{\sqrt{2}}{2}$	$-\frac{\sqrt{3}}{2}$	$-\frac{\sqrt{3}}{2}$	$-\frac{\sqrt{2}}{2}$	$-\frac{1}{2}$	$\frac{1}{2}$	$\frac{\sqrt{2}}{2}$	$\frac{\sqrt{3}}{2}$
$\mathrm{tg}\alpha$	$-\sqrt{3}$	$-1$	$-\frac{\sqrt{3}}{3}$	$\frac{\sqrt{3}}{3}$	$1$	$\sqrt{3}$	$-\sqrt{3}$	$-1$	$-\frac{\sqrt{3}}{3}$
$\mathrm{ctg}\alpha$	$-\frac{\sqrt{3}}{3}$	$-1$	$-\sqrt{3}$	$\sqrt{3}$	$1$	$\frac{\sqrt{3}}{3}$	$-\frac{\sqrt{3}}{3}$	$-1$	$-\sqrt{3}$

Значэнні для іншых распаўсюджаных вуглоў

$\alpha$	$\frac{\pi }{12}=15^{\circ }$	$\frac{\pi }{10}=18^{\circ }$	$\frac{\pi }{8}=22,5^{\circ }$	$\frac{\pi }{5}=36^{\circ }$	$\frac{3\pi }{10}=54^{\circ }$	$\frac{3\pi }{8}=67,5^{\circ }$	$\frac{2\pi }{5}=72^{\circ }$	$\frac{5\pi }{12}=75^{\circ }$
$\sin \alpha$	$\frac{\sqrt{3}-1}{2\sqrt{2}}$	$\frac{\sqrt{5}-1}{4}$	$\frac{\sqrt{2-\sqrt{2}}}{2}$	$\frac{\sqrt{5-\sqrt{5}}}{2\sqrt{2}}$	$\frac{\sqrt{5}+1}{4}$	$\frac{\sqrt{2+\sqrt{2}}}{2}$	$\frac{\sqrt{5+\sqrt{5}}}{2\sqrt{2}}$	$\frac{\sqrt{3}+1}{2\sqrt{2}}$
$\cos \alpha$	$\frac{\sqrt{3}+1}{2\sqrt{2}}$	$\frac{\sqrt{5+\sqrt{5}}}{2\sqrt{2}}$	$\frac{\sqrt{2+\sqrt{2}}}{2}$	$\frac{\sqrt{5}+1}{4}$	$\frac{\sqrt{5-\sqrt{5}}}{2\sqrt{2}}$	$\frac{\sqrt{2-\sqrt{2}}}{2}$	$\frac{\sqrt{5}-1}{4}$	$\frac{\sqrt{3}-1}{2\sqrt{2}}$
$\mathrm{tg}\alpha$	$2-\sqrt{3}$	$\sqrt{1-\frac{2}{\sqrt{5}}}$	$\sqrt{2}-1$	$\sqrt{5-2\sqrt{5}}$	$\sqrt{1+\frac{2}{\sqrt{5}}}$	$\sqrt{2}+1$	$\sqrt{5+2\sqrt{5}}$	$2+\sqrt{3}$
$\mathrm{ctg}\alpha$	$2+\sqrt{3}$	$\sqrt{5+2\sqrt{5}}$	$\sqrt{2}+1$	$\sqrt{1+\frac{2}{\sqrt{5}}}$	$\sqrt{5-2\sqrt{5}}$	$\sqrt{2}-1$	$\sqrt{1-\frac{2}{\sqrt{5}}}$	$2-\sqrt{3}$

Пашыраны спіс значэнняў трыганаметрычных функцый

$\sin \frac{\pi }{60}=\cos \frac{29\pi }{60}=\sin 3^{\circ }=\cos 87^{\circ }=\frac{\sqrt{2}(\sqrt{3}+1)(\sqrt{5}-1)-2(\sqrt{3}-1)\sqrt{5+\sqrt{5}}}{16},$

$\cos \frac{\pi }{60}=\sin \frac{29\pi }{60}=\cos 3^{\circ }=\sin 87^{\circ }=\frac{\sqrt{2}(\sqrt{3}-1)(\sqrt{5}-1)+2(\sqrt{3}+1)\sqrt{5+\sqrt{5}}}{16},$

$\mathrm{tg}\frac{\pi }{60}=\mathrm{ctg}\frac{29\pi }{60}=\mathrm{tg}{3}^{\circ }=\mathrm{ctg}87^{\circ }=\frac{2(\sqrt{5}+2)-\sqrt{3}(\sqrt{5}+3)+(2-\sqrt{3})(\sqrt{3}(\sqrt{5}+1)-2)\sqrt{5-2\sqrt{5}}}{2},$

$\mathrm{ctg}\frac{\pi }{60}=\mathrm{tg}\frac{29\pi }{60}=\mathrm{ctg}{3}^{\circ }=\mathrm{tg}87^{\circ }=\frac{2(2(\sqrt{5}+2)+\sqrt{3}(\sqrt{5}+3))+(\sqrt{3}(\sqrt{5}-1)+2)\sqrt{2(25+11\sqrt{5})}}{4},$

$\sin \frac{\pi }{30}=\cos \frac{7\pi }{15}=\sin 6^{\circ }=\cos 84^{\circ }=\frac{\sqrt{6(5-\sqrt{5})}-\sqrt{5}-1}{8},$

$\cos \frac{\pi }{30}=\sin \frac{7\pi }{15}=\cos 6^{\circ }=\sin 84^{\circ }=\frac{\sqrt{2(5-\sqrt{5})}+\sqrt{3}(\sqrt{5}+1)}{8},$

$\mathrm{tg}\frac{\pi }{30}=\mathrm{ctg}\frac{7\pi }{15}=\mathrm{tg}{6}^{\circ }=\mathrm{ctg}84^{\circ }=\frac{\sqrt{2(5-\sqrt{5})}-\sqrt{3}(\sqrt{5}-1)}{2},$

$\mathrm{ctg}\frac{\pi }{30}=\mathrm{tg}\frac{7\pi }{15}=\mathrm{ctg}{6}^{\circ }=\mathrm{tg}84^{\circ }=\frac{\sqrt{2(25+11\sqrt{5})}+\sqrt{3}(\sqrt{5}+3)}{2},$

$\sin \frac{\pi }{20}=\cos \frac{9\pi }{20}=\sin 9^{\circ }=\cos 81^{\circ }=\frac{\sqrt{2}(\sqrt{5}+1)-2\sqrt{5-\sqrt{5}}}{8},$

$\cos \frac{\pi }{20}=\sin \frac{9\pi }{20}=\cos 9^{\circ }=\sin 81^{\circ }=\frac{\sqrt{2}(\sqrt{5}+1)+2\sqrt{5-\sqrt{5}}}{8},$

$\mathrm{tg}\frac{\pi }{20}=\mathrm{ctg}\frac{9\pi }{20}=\mathrm{tg}{9}^{\circ }=\mathrm{ctg}81^{\circ }=\sqrt{5}+1-\sqrt{5+2\sqrt{5}},$

$\mathrm{ctg}\frac{\pi }{20}=\mathrm{tg}\frac{9\pi }{20}=\mathrm{ctg}{9}^{\circ }=\mathrm{tg}81^{\circ }=\sqrt{5}+1+\sqrt{5+2\sqrt{5}},$

$\sin \frac{\pi }{15}=\cos \frac{13\pi }{30}=\sin 12^{\circ }=\cos 78^{\circ }=\frac{\sqrt{2(5+\sqrt{5})}-\sqrt{3}(\sqrt{5}-1)}{8},$

$\cos \frac{\pi }{15}=\sin \frac{13\pi }{30}=\cos 12^{\circ }=\sin 78^{\circ }=\frac{\sqrt{6(5+\sqrt{5})}+\sqrt{5}-1}{8},$

$\mathrm{tg}\frac{\pi }{15}=\mathrm{ctg}\frac{13\pi }{30}=\mathrm{tg}12^{\circ }=\mathrm{ctg}78^{\circ }=\frac{\sqrt{3}(3-\sqrt{5})-\sqrt{2(25-11\sqrt{5})}}{2},$

$\mathrm{ctg}\frac{\pi }{15}=\mathrm{tg}\frac{13\pi }{30}=\mathrm{ctg}12^{\circ }=\mathrm{tg}78^{\circ }=\frac{\sqrt{3}(\sqrt{5}+1)+\sqrt{2(5+\sqrt{5})}}{2},$

$\sin \frac{7\pi }{60}=\cos \frac{23\pi }{60}=\sin 21^{\circ }=\cos 69^{\circ }=\frac{-\sqrt{2}(\sqrt{3}-1)(\sqrt{5}+1)+2(\sqrt{3}+1)\sqrt{5-\sqrt{5}}}{16},$

$\cos \frac{7\pi }{60}=\sin \frac{23\pi }{60}=\cos 21^{\circ }=\sin 69^{\circ }=\frac{\sqrt{2}(\sqrt{3}+1)(\sqrt{5}+1)+2(\sqrt{3}-1)\sqrt{5-\sqrt{5}}}{16},$

$\mathrm{tg}\frac{7\pi }{60}=\mathrm{ctg}\frac{23\pi }{60}=\mathrm{tg}21^{\circ }=\mathrm{ctg}69^{\circ }=\frac{2(2(\sqrt{5}-2)-\sqrt{3}(3-\sqrt{5}))+(\sqrt{3}(\sqrt{5}+1)-2)\sqrt{2(25-11\sqrt{5})}}{4},$

$\mathrm{ctg}\frac{7\pi }{60}=\mathrm{tg}\frac{23\pi }{60}=\mathrm{ctg}21^{\circ }=\mathrm{tg}69^{\circ }=\frac{2(2(\sqrt{5}-2)+\sqrt{3}(3-\sqrt{5}))+(\sqrt{3}(\sqrt{5}+1)+2)\sqrt{2(25-11\sqrt{5})}}{4},$

$\sin \frac{2\pi }{15}=\cos \frac{11\pi }{30}=\sin 24^{\circ }=\cos 66^{\circ }=\frac{\sqrt{3}(\sqrt{5}+1)-\sqrt{2(5-\sqrt{5})}}{8},$

$\cos \frac{2\pi }{15}=\sin \frac{11\pi }{30}=\cos 24^{\circ }=\sin 66^{\circ }=\frac{\sqrt{5}+1+\sqrt{6(5-\sqrt{5})}}{8},$

$\mathrm{tg}\frac{2\pi }{15}=\mathrm{ctg}\frac{11\pi }{30}=\mathrm{tg}24^{\circ }=\mathrm{ctg}66^{\circ }=\frac{-\sqrt{3}(3+\sqrt{5})+\sqrt{2(25+11\sqrt{5})}}{2},$

$\mathrm{ctg}\frac{2\pi }{15}=\mathrm{tg}\frac{11\pi }{30}=\mathrm{ctg}24^{\circ }=\mathrm{tg}66^{\circ }=\frac{\sqrt{3}(\sqrt{5}-1)+\sqrt{2(5-\sqrt{5})}}{2},$

$\sin \frac{3\pi }{20}=\cos \frac{7\pi }{20}=\sin 27^{\circ }=\cos 63^{\circ }=\frac{-\sqrt{2}(\sqrt{5}-1)+2\sqrt{5+\sqrt{5}}}{8},$

$\cos \frac{3\pi }{20}=\sin \frac{7\pi }{20}=\cos 27^{\circ }=\sin 63^{\circ }=\frac{\sqrt{2}(\sqrt{5}-1)+2\sqrt{5+\sqrt{5}}}{8},$

$\mathrm{tg}\frac{3\pi }{20}=\mathrm{ctg}\frac{7\pi }{20}=\mathrm{tg}27^{\circ }=\mathrm{ctg}63^{\circ }=\sqrt{5}-1-\sqrt{5-2\sqrt{5}},$

$\mathrm{ctg}\frac{3\pi }{20}=\mathrm{tg}\frac{7\pi }{20}=\mathrm{ctg}27^{\circ }=\mathrm{tg}63^{\circ }=\sqrt{5}-1+\sqrt{5-2\sqrt{5}},$

$\sin \frac{11\pi }{60}=\cos \frac{19\pi }{60}=\sin 33^{\circ }=\cos 57^{\circ }=\frac{\sqrt{2}(\sqrt{3}+1)(\sqrt{5}-1)+2(\sqrt{3}-1)\sqrt{5+\sqrt{5}}}{16},$

$\cos \frac{11\pi }{60}=\sin \frac{19\pi }{60}=\cos 33^{\circ }=\sin 57^{\circ }=\frac{-\sqrt{2}(\sqrt{3}-1)(\sqrt{5}-1)+2(\sqrt{3}+1)\sqrt{5+\sqrt{5}}}{16},$

$\mathrm{tg}\frac{11\pi }{60}=\mathrm{ctg}\frac{19\pi }{60}=\mathrm{tg}33^{\circ }=\mathrm{ctg}57^{\circ }=\frac{-2(\sqrt{5}+2)+\sqrt{3}(3+\sqrt{5})+(2-\sqrt{3})(\sqrt{3}(\sqrt{5}+1)-2)\sqrt{5-2\sqrt{5}}}{2},$

$\mathrm{ctg}\frac{11\pi }{60}=\mathrm{tg}\frac{19\pi }{60}=\mathrm{ctg}33^{\circ }=\mathrm{tg}57^{\circ }=\frac{-2(2(\sqrt{5}+2)+\sqrt{3}(3+\sqrt{5}))+(\sqrt{3}(\sqrt{5}-1)+2)\sqrt{2(25+11\sqrt{5})}}{4},$

$\sin \frac{13\pi }{60}=\cos \frac{17\pi }{60}=\sin 39^{\circ }=\cos 51^{\circ }=\frac{\sqrt{2}(\sqrt{3}+1)(\sqrt{5}+1)-2(\sqrt{3}-1)\sqrt{5-\sqrt{5}}}{16},$

$\cos \frac{13\pi }{60}=\sin \frac{17\pi }{60}=\cos 39^{\circ }=\sin 51^{\circ }=\frac{\sqrt{2}(\sqrt{3}-1)(\sqrt{5}+1)+2(\sqrt{3}+1)\sqrt{5-\sqrt{5}}}{16},$

$\mathrm{tg}\frac{13\pi }{60}=\mathrm{ctg}\frac{17\pi }{60}=\mathrm{tg}39^{\circ }=\mathrm{ctg}51^{\circ }=\frac{-2(2(\sqrt{5}-2)+\sqrt{3}(3-\sqrt{5}))+(\sqrt{3}(\sqrt{5}+1)+2)\sqrt{2(25-11\sqrt{5})}}{4},$

$\mathrm{ctg}\frac{13\pi }{60}=\mathrm{tg}\frac{17\pi }{60}=\mathrm{ctg}39^{\circ }=\mathrm{tg}51^{\circ }=\frac{-2(2(\sqrt{5}-2)-\sqrt{3}(3-\sqrt{5}))+(\sqrt{3}(\sqrt{5}+1)-2)\sqrt{2(25-11\sqrt{5})}}{4},$

$\sin \frac{7\pi }{30}=\cos \frac{8\pi }{30}=\sin 42^{\circ }=\cos 48^{\circ }=\frac{-(\sqrt{5}-1)+\sqrt{6(5+\sqrt{5})}}{8},$

$\cos \frac{7\pi }{30}=\sin \frac{8\pi }{30}=\cos 42^{\circ }=\sin 48^{\circ }=\frac{\sqrt{3}(\sqrt{5}-1)+\sqrt{2(5+\sqrt{5})}}{8},$

$\mathrm{tg}\frac{7\pi }{30}=\mathrm{ctg}\frac{8\pi }{30}=\mathrm{tg}42^{\circ }=\mathrm{ctg}48^{\circ }=\frac{\sqrt{3}(\sqrt{5}+1)-\sqrt{2(5+\sqrt{5})}}{2},$

$\mathrm{ctg}\frac{7\pi }{30}=\mathrm{tg}\frac{8\pi }{30}=\mathrm{ctg}42^{\circ }=\mathrm{tg}48^{\circ }=\frac{\sqrt{3}(3-\sqrt{5})+\sqrt{2(25-11\sqrt{5})}}{2},$

$\mathrm{tg}\frac{\pi }{120}=\mathrm{ctg}\frac{59\pi }{120}=\mathrm{tg}1.5^{\circ }=\mathrm{ctg}88.5^{\circ }=\sqrt{\frac{8-\sqrt{2(2-\sqrt{3})(3-\sqrt{5})}-\sqrt{2(2+\sqrt{3})(5+\sqrt{5})}}{8+\sqrt{2(2-\sqrt{3})(3-\sqrt{5})}+\sqrt{2(2+\sqrt{3})(5+\sqrt{5})}}},$

$\cos \frac{\pi }{240}=\sin \frac{119\pi }{240}=\cos 0.75^{\circ }=\sin 89.25^{\circ }=\frac{1}{16}(\sqrt{2-\sqrt{2+\sqrt{2}}}(\sqrt{2(5+\sqrt{5})}+\sqrt{3}(1-\sqrt{5}))+$ $+\sqrt{2+\sqrt{2+\sqrt{2}}}(\sqrt{6(5+\sqrt{5})}+\sqrt{5}-1)),$

Асобыя вуглы

$\cos \frac{\pi }{17}=\sin \frac{15\pi }{34}=\frac{1}{8}\sqrt{2(2\sqrt{3\sqrt{17}-\sqrt{2(85+19\sqrt{17})}+17}+\sqrt{2(17-\sqrt{17})}+\sqrt{17}+15)}.$