Трыганаметрычныя функцыі

Графікі трыганаметрычных функцый: Шаблон:Легенда Шаблон:Легенда Шаблон:Легенда Шаблон:Легенда Шаблон:Легенда Шаблон:Легенда

Трыганаметры́чныя фу́нкцыі — элементарныя функцыі, якія гістарычна ўзніклі пры разгляданні прамавугольных трохвугольнікаў і выражалі залежнасці старон такіх трохвугольнікаў ад вострых вуглоў пры гіпатэнузе (ці, што раўназначна, залежнасць хорд і вышынь ад цэнтральнага вугла ў крузе). Гэтыя функцыі шырока прымяняюцца ў самых розных галінах навукі. У далейшым азначэнне трыганаметрычных функцый было пашырана спачатку на ўсе рэчаісныя лікі, а пасля і на ўсе камплексныя. Раздзел матэматыкі, які займаецца вывучэннем уласцівасцей трыганаметрычных функцый, называецца трыганаметрыяй.

Да трыганаметрычных функцый адносяцца:

прамыя трыганаметрычныя функцыі

• сінус ($\sin x$)
• косінус ($\cos x$)

вытворныя трыганаметрычныя функцыі

• тангенс ($\mathrm{tg}x$)
• катангенс ($\mathrm{ctg}x$)

іншыя трыганаметрычныя функцыі

• секанс ($\sec x$)
• касеканс ($\mathrm{cosec}x$)

У заходняй літаратуры тангенс, катангенс і касеканс часта абазначаюцца $\tan x,\cot x,\csc x$.

Акрамя гэтых шасці, існуюць таксама некаторыя малаўжывальныя трыганаметрычныя функцыі (версінус і г.д.), а таксама адваротныя трыганаметрычныя функцыі (арксінус, арккосінус і г. д.).

Сінус і косінус рэчаіснага аргумента з'яўляюцца перыядычнымі непарыўнымі і неабмежавана дыферэнцавальнымі рэчаісназначнымі функцыямі. Астатнія чатыры функцыі на рэчаіснай восі таксама рэчаісназначныя, перыядычныя і неабмежавана дыферэнцавальныя на вобласці вызначэння, але маюць разрывы. Тангенс і секанс маюць разрывы другога роду ў пунктах $\pm \pi n+\frac{\pi }{2}$, а катангенс і касеканс — у пунктах $\pm \pi n$.

Спосабы вызначэння

Геаметрычнае азначэнне

Праз адносіны старон прамавугольнага трохвугольніка

Прамавугольны трохвугольнік

Звычайна трыганаметрычныя функцыі вызначаюцца геаметрычна. У многіх падручніках па элементарнай геаметрыі да цяперашняга часу трыганаметрычныя функцыі вострага вугла вызначаюцца як адносіны старон прамавугольнага трохвугольніка. Няхай Шаблон:Math — трохвугольнік з вуглом Шаблон:Math. Тады:

• Сінусам вугла $\alpha$ называецца дзель $\frac{AB}{OB}$ (адносіна процілеглага катэта да гіпатэнузы).
• Косінусам вугла $\alpha$ называецца дзель $\frac{OA}{OB}$ (адносіна прылеглага катэта да гіпатэнузы).
• Тангенсам вугла $\alpha$ называецца дзель $\frac{AB}{OA}$ (адносіна процілеглага катэта к прылегламу).
• Катангенсам вугла $\alpha$ называецца дзель $\frac{OA}{AB}$ (адносіна прылеглага катэта да процілеглага).
• Секансам вугла $\alpha$ называецца дзель $\frac{OB}{OA}$ (адносіна гіпатэнузы да прылеглага катэта).
• Касекансам вугла $\alpha$ называецца дзель $\frac{OB}{AB}$ (адносіна гіпатэнузы да процілеглага катэта).

Пабудаваўшы сістэму каардынат з пачаткам у пункце Шаблон:Math, напрамкам восі абсцыс уздоўж Шаблон:Math і ў выпадку неабходнасці памяняўшы арыентацыю (перавярнуўшы) трохвугольнік так, каб ён знаходзіўся ў першай чвэрці сістэмы каардынат, і затым, пабудаваўшы акружнасць з радыусам, роўным гіпатэнузе, адразу знаходзім, што такое азначэнне функцый дае такі ж вынік, як і прыведзенае ніжэй вызначэнне праз каардынаты пункта на акружнасці.

Азначэнне праз адносіны старон прамавугольнага трохвугольніка пры выкладанні мае пэўныя перавагі, бо не патрабуе ўвядзення паняцця сістэмы каардынат. Але такое азначэнне мае і істотны недахоп: не дае магчымасці вызначыць трыганаметрычныя функцыі для тупых вуглоў, якія неабходна ведаць для рашэння элементарных задач пра тупавугольныя трохвугольнікі (гл.: Тэарэма сінусаў, Тэарэма косінусаў).

Як каардынаты пункта на адзінкавай акружнасці

Лікавыя значэнні трыганаметрычных функцый вугла $\alpha$ ў адзінкавай акружнасці з цэнтрам у пачатку каардынат

Няхай зададзена дэкартава сістэма каардынат на плоскасці, і пабудавана акружнасць радыуса Шаблон:Math з цэнтрам у пачатку каардынат Шаблон:Math. Вымераем вуглы як павароты ад дадатнага напрамку восі абсцыс да прамяня Шаблон:Math. Напрамак супраць гадзіннікавай стрэлкі лічыцца дадатным, па гадзіннікавай стрэлцы — адмоўным. Абсцысу пункта Шаблон:Math абазначым $x_B$, ардынату — $y_B$.

• Сінусам называецца дзель $\sin \alpha =\frac{y_B}{R}.$
• Косінусам называецца дзель $\cos \alpha =\frac{x_B}{R}.$
• Тангенс вызначаецца як $\mathrm{tg}\alpha =\frac{\sin \alpha }{\cos \alpha }=\frac{y_B}{x_B}.$
• Катангенс вызначаецца як $\mathrm{ctg}\alpha =\frac{\cos \alpha }{\sin \alpha }=\frac{x_B}{y_B}.$
• Секанс вызначаецца як $\sec \alpha =\frac{1}{\cos \alpha }=\frac{R}{x_B}.$
• Касеканс вызначаецца як $\mathrm{cosec}\alpha =\frac{1}{\sin \alpha }=\frac{R}{y_B}.$

Ясна, што значэнні трыганаметрычных функцый не залежаць ад велічыні радыуса акружнасці Шаблон:Math дзякуючы ўласцівасцям падобных фігур. Часта гэты радыус прымаюць роўным адзінцы, тады сінус роўны проста ардынаце $y_B$, а косінус — абсцысе $x_B$. На рысунку 3 паказаны велічыні трыганаметрычных функцый для адзінкавай акружнасці.

Калі $\alpha$ — рэчаісны лік, то сінусам $\alpha$ ў матэматычным аналізе называецца сінус вугла, радыянная мера якога роўная $\alpha$, гэтак жа і для іншых трыганаметрычных функцый.

Як рашэнні дыферэнцыяльных ураўненняў

Функцыі косінус і сінус можна вызначыць як цотнае (косінус) і няцотнае (сінус) рашэнне дыферэнцыяльнага ўраўнення

$\frac{d^2}{d{\phi }^2}R(\phi )=-R(\phi ),$

з пачатковымі ўмовамі

$\cos (0)={\sin }^{\prime }(0)=1.$

Гэта значыць як функцыі адной зменнай, другая вытворная якіх раўняецца ім самім, узятым з процілеглым знакам:

$(\cos x)=-\cos x,$

$(\sin x)=-\sin x.$

Як рашэнні функцыянальных ураўненняў

Функцыі косінус і сінус можна вызначыць як непарыўныя рашэнні ($f$ і $g$ адпаведна) сістэмы функцыянальных ураўненняў:

$\{\begin{array}{ccc}f(x+y)& =& f(x)f(y)-g(x)g(y),\\ g(x+y)& =& g(x)f(y)+f(x)g(y).\end{array}$

Праз рады

Скарыстаўшы геаметрыю і ўласцівасці граніц, можна даказаць, што вытворная сінуса раўняецца косінусу, а вытворная косінуса раўняецца мінус сінусу. Тады можна скарыстаць тэорыю радоў Тэйлара і прадставіць сінус і косінус у выглядзе ступенных радоў:

$\sin x=x-\frac{x^3}{3!}+\frac{x^5}{5!}-\frac{x^7}{7!}+\frac{x^9}{9!}-\cdots =\sum _{n=0}^{\mathrm{\infty }}\frac{(-1{)}^n{x}^{2n+1}}{(2n+1)!},$

$\cos x=1-\frac{x^2}{2!}+\frac{x^4}{4!}-\frac{x^6}{6!}+\frac{x^8}{8!}-\cdots =\sum _{n=0}^{\mathrm{\infty }}\frac{(-1{)}^n{x}^{2n}}{(2n)!}.$

Карыстаючыся гэтымі формуламі, а таксама тоеснасцямі

$\mathrm{tg}x=\frac{\sin x}{\cos x},\mathrm{ctg}x=\frac{\cos x}{\sin x},\sec x=\frac{1}{\cos x},\mathrm{cosec}x=\frac{1}{\sin x},$

можна знайсці раскладанні ў рад Тэйлара і іншых трыганаметрычных функцый:

$\mathrm{tg}x=x+\frac{1}{3}{x}^3+\frac{2}{15}{x}^5+\frac{17}{315}{x}^7+\frac{62}{2835}{x}^9+\dots =\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}\frac{2^{2n}(2^{2n}-1)|B_{2n}|}{(2n)!}{x}^{2n-1},(-\frac{\pi }{2}<x<\frac{\pi }{2}),$

$\mathrm{ctg}x=\frac{1}{x}-\frac{x}{3}-\frac{x^3}{45}-\frac{2x^5}{945}-\frac{x^7}{4725}-\dots =\frac{1}{x}-\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}\frac{2^{2n}|B_{2n}|}{(2n)!}{x}^{2n-1},(-\pi <x<\pi ),$

$\sec x=1+\frac{1}{2}{x}^2+\frac{5}{24}{x}^4+\frac{61}{720}{x}^6+\frac{277}{8064}{x}^8+\dots =\sum _{n=0}^{\mathrm{\infty }}\frac{|E_n|}{(2n)!}{x}^{2n},(-\frac{\pi }{2}<x<\frac{\pi }{2}),$

$\mathrm{cosec}x=\frac{1}{x}+\frac{1}{6}x+\frac{7}{360}{x}^3+\frac{31}{15120}{x}^5+\frac{127}{604800}{x}^7+\dots =\frac{1}{x}+\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}\frac{2(2^{2n-1}-1)|B_{2n}|}{(2n)!}{x}^{2n-1},(-\pi <x<\pi ),$

дзе

$B_n$ — лікі Бернулі,

$E_n$ — лікі Эйлера.

Значэнні трыганаметрычных фунцый для некаторых вуглоў

Значэнні сінуса, косінуса, тангенса, катангенса, секанса і касеканса для некаторых вуглоў прыведзены ў табліцы. Сімвал «∞» значыць, што функцыя ў таком пункце не вызначана, і ў яго наваколлі імкнецца к бесканечнасці.

$\alpha$	0°(0 рад)	30° (Шаблон:Math/6)	45° (Шаблон:Math/4)	60° (Шаблон:Math/3)	90° (Шаблон:Math/2)	180° (Шаблон:Math)	270° (3Шаблон:Math/2)	360° (2Шаблон:Math)
$\sin \alpha$	$0$	$\frac{1}{2}$	$\frac{\sqrt{2}}{2}$	$\frac{\sqrt{3}}{2}$	$1$	$0$	$-1$	$0$
$\cos \alpha$	$1$	$\frac{\sqrt{3}}{2}$	$\frac{\sqrt{2}}{2}$	$\frac{1}{2}$	$0$	$-1$	$0$	$1$
$\mathrm{tg}\alpha$	$0$	$\frac{\sqrt{3}}{3}$	$1$	$\sqrt{3}$	$\mathrm{\infty }$	$0$	$\mathrm{\infty }$	$0$
$\mathrm{ctg}\alpha$	$\mathrm{\infty }$	$\sqrt{3}$	$1$	$\frac{\sqrt{3}}{3}$	$0$	$\mathrm{\infty }$	$0$	$\mathrm{\infty }$
$\sec \alpha$	$1$	$\frac{2\sqrt{3}}{3}$	$\sqrt{2}$	$2$	$\mathrm{\infty }$	$-1$	$\mathrm{\infty }$	$1$
$\mathrm{cosec}\alpha$	$\mathrm{\infty }$	$2$	$\sqrt{2}$	$\frac{2\sqrt{3}}{3}$	$1$	$\mathrm{\infty }$	$-1$	$\mathrm{\infty }$

Значэнні косінуса і сінуса на акружнасці.

Уласцівасці трыганаметрычных функцый

Найпрасцейшыя тоеснасці

Раз сінус і косінус — гэта ардыната і абсцыса пункта, які на адзінкавай акружнасці адпавядае вуглу Шаблон:Math, то, згодна з ураўненнем адзінкавай акружнасці ці тэарэмаю Піфагора, маем:

${\sin }^2\alpha +{\cos }^2\alpha =1.$

Гэта роўнасць называецца асноўнай трыганаметрычнай тоеснасцю.

Дзелячы гэту тоеснасць на квадрат косінуса і сінуса соответственно имеем далее:

$1+{\mathrm{tg}}^2\alpha =\frac{1}{{\cos }^2\alpha },$

$1+{\mathrm{ctg}}^2\alpha =\frac{1}{{\sin }^2\alpha }.$

Акрамя таго, непасрэдна з азначэння тангенса і катангенса вынікае тоеснасць:

$\mathrm{tg}\alpha \cdot \mathrm{c}\mathrm{t}\mathrm{g}\alpha =1.$

Непарыўнасць

Сінус і косінус — непарыўныя функцыі. Тангенс і секанс маюць пункты разрыву $\pm 90^{\circ },\pm 270^{\circ },\pm 450^{\circ },\dots ;$ катангенс і касеканс — $0^{\circ },\pm 180^{\circ },\pm 360^{\circ },\dots .$

Цотнасць

Косінус і секанс — цотныя. Астатнія чатыры функцыі — няцотныя, гэта значыць:

$\sin (-\alpha )=-\sin \alpha ,$

$\cos (-\alpha )=\cos \alpha ,$

$\mathrm{tg}(-\alpha )=-\mathrm{tg}\alpha ,$

$\mathrm{ctg}(-\alpha )=-\mathrm{ctg}\alpha ,$

$\sec (-\alpha )=\sec \alpha ,$

$\mathrm{cosec}(-\alpha )=-\mathrm{cosec}\alpha .$

Перыядычнасць

Функцыі $y=\sin x,$ $y=\cos x,$ $y=\sec x,$ $y=\mathrm{cosec}x$ — перыядычныя з перыядам $2\pi$, функцыі $y=\mathrm{tg}x$ і $y=\mathrm{ctg}x$ — з перыядам $\pi$.

Формулы прывядзення

Формуламі прывядзення называюцца формулы наступнага выгляду:

$f(n\pi +\alpha )=\pm f(\alpha ),$

$f(n\pi -\alpha )=\pm f(\alpha ),$

$f(\frac{(2n+1)\pi }{2}+\alpha )=\pm g(\alpha ),$

$f(\frac{(2n+1)\pi }{2}-\alpha )=\pm g(\alpha ).$

Тут $f$ — любая трыганаметрычная функцыя, $g$ — адпаведная ёй кафункцыя (г. зн. косінус для сінуса, сінус для косінуса, тангенс для катангенса, катангенс для тангенса, секанс для касеканса і касеканс для секанса), Шаблон:Math — цэлы лік. Перад атрыманаю функцыяй ставіцца той знак, які мае зыходная функцыя ў зададзенай каардынатнай чвэрці пры ўмове, што вугал Шаблон:Math востры, напрыклад:

$\cos (\frac{\pi }{2}-\alpha )=\sin \alpha ,$

Некаторыя формулы прывядзення:

$\beta$	$\frac{\pi }{2}+\alpha$	$\pi +\alpha$	$\frac{3\pi }{2}+\alpha$	$\frac{\pi }{2}-\alpha$	$\pi -\alpha$	$\frac{3\pi }{2}-\alpha$	$2\pi -\alpha$
$\sin \beta$	$\cos \alpha$	$-\sin \alpha$	$-\cos \alpha$	$\cos \alpha$	$\sin \alpha$	$-\cos \alpha$	$-\sin \alpha$
$\cos \beta$	$-\sin \alpha$	$-\cos \alpha$	$\sin \alpha$	$\sin \alpha$	$-\cos \alpha$	$-\sin \alpha$	$\cos \alpha$
$\mathrm{tg}\beta$	$-\mathrm{ctg}\alpha$	$\mathrm{tg}\alpha$	$-\mathrm{ctg}\alpha$	$\mathrm{ctg}\alpha$	$-\mathrm{tg}\alpha$	$\mathrm{ctg}\alpha$	$-\mathrm{tg}\alpha$
$\mathrm{ctg}\beta$	$-\mathrm{tg}\alpha$	$\mathrm{ctg}\alpha$	$-\mathrm{tg}\alpha$	$\mathrm{tg}\alpha$	$-\mathrm{ctg}\alpha$	$\mathrm{tg}\alpha$	$-\mathrm{ctg}\alpha$

Формулы складання

Значэнні трыганаметрычных функцый сумы і рознасці двух вуглоў:

$\sin (\alpha \pm \beta )=\sin \alpha \cos \beta \pm \cos \alpha \sin \beta ,$

$\cos (\alpha \pm \beta )=\cos \alpha \cos \beta \mp \sin \alpha \sin \beta ,$

$\mathrm{tg}(\alpha \pm \beta )=\frac{\mathrm{tg}\alpha \pm \mathrm{tg}\beta }{1\mp \mathrm{tg}\alpha \mathrm{tg}\beta },$

$\mathrm{ctg}(\alpha \pm \beta )=\frac{\mathrm{ctg}\alpha \mathrm{ctg}\beta \mp 1}{\mathrm{ctg}\beta \pm \mathrm{ctg}\alpha }.$

Падобныя формулы для сумы трох вуглоў:

$\sin (\alpha +\beta +\gamma )=\sin \alpha \cos \beta \cos \gamma +\cos \alpha \sin \beta \cos \gamma +\cos \alpha \cos \beta \sin \gamma -\sin \alpha \sin \beta \sin \gamma ,$

$\cos (\alpha +\beta +\gamma )=\cos \alpha \cos \beta \cos \gamma -\sin \alpha \sin \beta \cos \gamma -\sin \alpha \cos \beta \sin \gamma -\cos \alpha \sin \beta \sin \gamma .$

Формулы для кратных вуглоў

Формулы двайнога вугла:

$\sin 2\alpha =2\sin \alpha \cos \alpha =\frac{2\mathrm{tg}\alpha }{1+{\mathrm{tg}}^2\alpha }=\frac{2\mathrm{ctg}\alpha }{1+{\mathrm{ctg}}^2\alpha }=\frac{2}{\mathrm{tg}\alpha +\mathrm{ctg}\alpha },$

$\cos 2\alpha ={\cos }^2\alpha -{\sin }^2\alpha =2{\cos }^2\alpha -1=1-2{\sin }^2\alpha =\frac{1-{\mathrm{tg}}^2\alpha }{1+{\mathrm{tg}}^2\alpha }=\frac{{\mathrm{ctg}}^2\alpha -1}{{\mathrm{ctg}}^2\alpha +1}=\frac{\mathrm{ctg}\alpha -\mathrm{tg}\alpha }{\mathrm{ctg}\alpha +\mathrm{tg}\alpha },$

$\mathrm{tg}2\alpha =\frac{2\mathrm{tg}\alpha }{1-{\mathrm{tg}}^2\alpha }=\frac{2\mathrm{ctg}\alpha }{{\mathrm{ctg}}^2\alpha -1}=\frac{2}{\mathrm{ctg}\alpha -\mathrm{tg}\alpha },$

$\mathrm{ctg}2\alpha =\frac{{\mathrm{ctg}}^2\alpha -1}{2\mathrm{ctg}\alpha }=\frac{\mathrm{ctg}\alpha -\mathrm{tg}\alpha }{2}.$

Формулы трайнога вугла:

$\sin 3\alpha =3\sin \alpha -4{\sin }^3\alpha ,$

$\cos 3\alpha =4{\cos }^3\alpha -3\cos \alpha ,$

$\mathrm{tg}3\alpha =\frac{3\mathrm{tg}\alpha -{\mathrm{tg}}^3\alpha }{1-3{\mathrm{tg}}^2\alpha },$

$\mathrm{ctg}3\alpha =\frac{{\mathrm{ctg}}^3\alpha -3\mathrm{ctg}\alpha }{3{\mathrm{ctg}}^2\alpha -1}.$

Іншыя формулы для кратных вуглоў:

$\sin 4\alpha =\cos \alpha (4\sin \alpha -8{\sin }^3\alpha ),$

$\cos 4\alpha =8{\cos }^4\alpha -8{\cos }^2\alpha +1,$

$\mathrm{tg}4\alpha =\frac{4\mathrm{tg}\alpha -4{\mathrm{tg}}^3\alpha }{1-6{\mathrm{tg}}^2\alpha +{\mathrm{tg}}^4\alpha },$

$\mathrm{ctg}4\alpha =\frac{{\mathrm{ctg}}^4\alpha -6{\mathrm{ctg}}^2\alpha +1}{4{\mathrm{ctg}}^3\alpha -4\mathrm{ctg}\alpha },$

$\sin 5\alpha =16{\sin }^5\alpha -20{\sin }^3\alpha +5\sin \alpha ,$

$\cos 5\alpha =16{\cos }^5\alpha -20{\cos }^3\alpha +5\cos \alpha ,$

$\mathrm{tg}5\alpha =\mathrm{tg}\alpha \frac{{\mathrm{tg}}^4\alpha -10{\mathrm{tg}}^2\alpha +5}{5{\mathrm{tg}}^4\alpha -10{\mathrm{tg}}^2\alpha +1},$

$\mathrm{ctg}5\alpha =\mathrm{ctg}\alpha \frac{{\mathrm{ctg}}^4\alpha -10{\mathrm{ctg}}^2\alpha +5}{5{\mathrm{ctg}}^4\alpha -10{\mathrm{ctg}}^2\alpha +1},$

$\sin (n\alpha )=2^{n-1}\prod _{k=0}^{n-1}\sin (\alpha +\frac{\pi k}{n})$

Апошняя роўнасць вынікае з формулы дапаўнення і формулы Гауса для Гама-функцыі.

З формулы Муаўра можна атрымаць наступныя агульныя выразы для кратных вуглоў:

$\sin (n\alpha )=\sum _{k=0}^{[n/2]}(-1{)}^k(\genfrac{}{}{0ex}{}{n}{2k+1}){\cos }^{n-2k-1}\alpha {\sin }^{2k+1}\alpha ,$

$\cos (n\alpha )=\sum _{k=0}^{[n/2]}(-1{)}^k(\genfrac{}{}{0ex}{}{n}{2k}){\cos }^{n-2k}\alpha {\sin }^{2k}\alpha ,$

$\mathrm{t}\mathrm{g}(n\alpha )=\frac{\sin (n\alpha )}{\cos (n\alpha )}=\frac{\sum _{k=0}^{[n/2]}(-1{)}^k(\genfrac{}{}{0ex}{}{n}{2k+1}){\mathrm{t}\mathrm{g}}^{2k+1}\alpha }{\sum _{k=0}^{[n/2]}(-1{)}^k(\genfrac{}{}{0ex}{}{n}{2k}){\mathrm{t}\mathrm{g}}^{2k}\alpha },$

$\mathrm{c}\mathrm{t}\mathrm{g}(n\alpha )=\frac{\cos (n\alpha )}{\sin (n\alpha )}=\frac{\sum _{k=0}^{[n/2]}(-1{)}^k(\genfrac{}{}{0ex}{}{n}{2k}){\mathrm{c}\mathrm{t}\mathrm{g}}^{n-2k}\alpha }{\sum _{k=0}^{[n/2]}(-1{)}^k(\genfrac{}{}{0ex}{}{n}{2k+1}){\mathrm{c}\mathrm{t}\mathrm{g}}^{n-2k-1}\alpha },$

дзе $[n]$ — цэлая частка ліку $n$, $(\genfrac{}{}{0ex}{}{n}{k})$ — біномны каэфіцыент.

Формулы палавіннага вугла:

$\sin \frac{\alpha }{2}=\sqrt{\frac{1-\cos \alpha }{2}},0⩽\alpha ⩽2\pi ,$

$\cos \frac{\alpha }{2}=\sqrt{\frac{1+\cos \alpha }{2}},-\pi ⩽\alpha ⩽\pi ,$

$\mathrm{tg}\frac{\alpha }{2}=\frac{1-\cos \alpha }{\sin \alpha }=\frac{\sin \alpha }{1+\cos \alpha },$

$\mathrm{ctg}\frac{\alpha }{2}=\frac{\sin \alpha }{1-\cos \alpha }=\frac{1+\cos \alpha }{\sin \alpha },$

$\mathrm{tg}\frac{\alpha }{2}=\sqrt{\frac{1-\cos \alpha }{1+\cos \alpha }},0⩽\alpha <\pi ,$

$\mathrm{ctg}\frac{\alpha }{2}=\sqrt{\frac{1+\cos \alpha }{1-\cos \alpha }},0<\alpha ⩽\pi .$

Здабыткі

Формулы для здабыткаў функцый двух вуглоў:

$\sin \alpha \sin \beta =\frac{\cos (\alpha -\beta )-\cos (\alpha +\beta )}{2},$

$\sin \alpha \cos \beta =\frac{\sin (\alpha -\beta )+\sin (\alpha +\beta )}{2},$

$\cos \alpha \cos \beta =\frac{\cos (\alpha -\beta )+\cos (\alpha +\beta )}{2},$

$\mathrm{tg}\alpha \mathrm{tg}\beta =\frac{\cos (\alpha -\beta )-\cos (\alpha +\beta )}{\cos (\alpha -\beta )+\cos (\alpha +\beta )},$

$\mathrm{tg}\alpha \mathrm{ctg}\beta =\frac{\sin (\alpha -\beta )+\sin (\alpha +\beta )}{\sin (\alpha +\beta )-\sin (\alpha -\beta )},$

$\mathrm{ctg}\alpha \mathrm{ctg}\beta =\frac{\cos (\alpha -\beta )+\cos (\alpha +\beta )}{\cos (\alpha -\beta )-\cos (\alpha +\beta )}.$

Аналагічныя формулы для здабыткаў сінусаў і косінусаў трох вуглоў:

$\sin \alpha \sin \beta \sin \gamma =\frac{\sin (\alpha +\beta -\gamma )+\sin (\beta +\gamma -\alpha )+\sin (\alpha -\beta +\gamma )-\sin (\alpha +\beta +\gamma )}{4},$

$\sin \alpha \sin \beta \cos \gamma =\frac{-\cos (\alpha +\beta -\gamma )+\cos (\beta +\gamma -\alpha )+\cos (\alpha -\beta +\gamma )-\cos (\alpha +\beta +\gamma )}{4},$

$\sin \alpha \cos \beta \cos \gamma =\frac{\sin (\alpha +\beta -\gamma )-\sin (\beta +\gamma -\alpha )+\sin (\alpha -\beta +\gamma )-\sin (\alpha +\beta +\gamma )}{4},$

$\cos \alpha \cos \beta \cos \gamma =\frac{\cos (\alpha +\beta -\gamma )+\cos (\beta +\gamma -\alpha )+\cos (\alpha -\beta +\gamma )+\cos (\alpha +\beta +\gamma )}{4}.$

Формулы для здабыткаў тангенсаў і катангенсаў трох вуглоў можна атрымаць, падзяліўшы правыя і левыя часткі адпаведных роўнасцей, прадстаўленых вышэй.

Ступені

${\sin }^2\alpha =\frac{1-\cos 2\alpha }{2},$	${\mathrm{tg}}^2\alpha =\frac{1-\cos 2\alpha }{1+\cos 2\alpha },$
${\cos }^2\alpha =\frac{1+\cos 2\alpha }{2},$	${\mathrm{ctg}}^2\alpha =\frac{1+\cos 2\alpha }{1-\cos 2\alpha },$
${\sin }^3\alpha =\frac{3\sin \alpha -\sin 3\alpha }{4},$	${\mathrm{tg}}^3\alpha =\frac{3\sin \alpha -\sin 3\alpha }{3\cos \alpha +\cos 3\alpha },$
${\cos }^3\alpha =\frac{3\cos \alpha +\cos 3\alpha }{4},$	${\mathrm{ctg}}^3\alpha =\frac{3\cos \alpha +\cos 3\alpha }{3\sin \alpha -\sin 3\alpha },$
${\sin }^4\alpha =\frac{\cos 4\alpha -4\cos 2\alpha +3}{8},$	${\mathrm{tg}}^4\alpha =\frac{\cos 4\alpha -4\cos 2\alpha +3}{\cos 4\alpha +4\cos 2\alpha +3},$
${\cos }^4\alpha =\frac{\cos 4\alpha +4\cos 2\alpha +3}{8},$	${\mathrm{ctg}}^4\alpha =\frac{\cos 4\alpha +4\cos 2\alpha +3}{\cos 4\alpha -4\cos 2\alpha +3}.$

Сумы

$\sin \alpha \pm \sin \beta =2\sin \frac{\alpha \pm \beta }{2}\cos \frac{\alpha \mp \beta }{2}$

$\cos \alpha +\cos \beta =2\cos \frac{\alpha +\beta }{2}\cos \frac{\alpha -\beta }{2}$

$\cos \alpha -\cos \beta =-2\sin \frac{\alpha +\beta }{2}\sin \frac{\alpha -\beta }{2}$

$\mathrm{tg}\alpha \pm \mathrm{tg}\beta =\frac{\sin (\alpha \pm \beta )}{\cos \alpha \cos \beta }$

$\mathrm{ctg}\alpha \pm \mathrm{ctg}\beta =\frac{\sin (\beta \pm \alpha )}{\sin \alpha \sin \beta }$

$1\pm \sin 2\alpha =(\sin \alpha \pm \cos \alpha {)}^2.$

Для функцый ад аргумента $x$ існуе прадстаўленне:

$A\sin x+B\cos x=\sqrt{A^2+B^2}\sin (x+\varphi ),$

дзе вугал $\varphi$ вызначаецца з суадносін:

$\sin \varphi =\frac{B}{\sqrt{A^2+B^2}},\cos \varphi =\frac{A}{\sqrt{A^2+B^2}}.$

Аднапараметрычнае прадстаўленне

Усе трыганаметрычныя функцыі можна выразіць праз тангенс палавіннага вугла.

$\sin x=\frac{\sin x}{1}=\frac{2\sin \frac{x}{2}\cos \frac{x}{2}}{{\sin }^2\frac{x}{2}+{\cos }^2\frac{x}{2}}=\frac{2\mathrm{tg}\frac{x}{2}}{1+{\mathrm{tg}}^2\frac{x}{2}}$

$\cos x=\frac{\cos x}{1}=\frac{{\cos }^2\frac{x}{2}-{\sin }^2\frac{x}{2}}{{\cos }^2\frac{x}{2}+{\sin }^2\frac{x}{2}}=\frac{1-{\mathrm{tg}}^2\frac{x}{2}}{1+{\mathrm{tg}}^2\frac{x}{2}}$

$\mathrm{tg}x=\frac{\sin x}{\cos x}=\frac{2\mathrm{tg}\frac{x}{2}}{1-{\mathrm{tg}}^2\frac{x}{2}}$

$\mathrm{ctg}x=\frac{\cos x}{\sin x}=\frac{1-{\mathrm{tg}}^2\frac{x}{2}}{2\mathrm{tg}\frac{x}{2}}$

$\sec x=\frac{1}{\cos x}=\frac{1+{\mathrm{tg}}^2\frac{x}{2}}{1-{\mathrm{tg}}^2\frac{x}{2}}$

$\mathrm{cosec}x=\frac{1}{\sin x}=\frac{1+{\mathrm{tg}}^2\frac{x}{2}}{2\mathrm{tg}\frac{x}{2}}$

Вытворныя і першаісныя

Усе трыганаметрычныя функцыі непарыўна і неабмежавана дыферэнцавальныя на ўсёй вобласці вызначэння:

$(\sin x{)}^{\prime }=\cos x,$

$(\cos x{)}^{\prime }=-\sin x,$

$(\mathrm{tg}x{)}^{\prime }=\frac{1}{{\cos }^{2}x},$

$(\mathrm{ctg}x{)}^{\prime }=-\frac{1}{{\sin }^{2}x},$

$(\sec x{)}^{\prime }=\frac{\sin x}{{\cos }^{2}x},$

$(\mathrm{cosec}x{)}^{\prime }=-\frac{\cos x}{{\sin }^{2}x}.$

Нявызначаныя інтэгралы трыганаметрычных функцый на вобласці вызначэння выражаюцца праз элементарныя функцыі наступным чынам:

$\int \sin xdx=-\cos x+C,$

$\int \cos xdx=\sin x+C,$

$\int \mathrm{tg}xdx=-\ln |\cos x|+C,$

$\int \mathrm{ctg}xdx=\ln |\sin x|+C,$

$\int \sec xdx=\ln |\mathrm{tg}(\frac{\pi }{4}+\frac{x}{2})|+C,$

$\int \mathrm{cosec}xdx=\ln |\mathrm{tg}\frac{x}{2}|+C.$

Трыганаметрычныя функцыі камплекснай зменнай

Азначэнне

Формула Эйлера:

$e^{i\vartheta }=\cos \vartheta +i\sin \vartheta$

дазваляе вызначыць трыганаметрычныя функцыі ад камплексных аргументаў праз паказчыкавую функцыю ці (з дапамогай радоў) як аналітычны працяг іх рэчаісных адпаведнікаў:

$\sin z=\sum _{n=0}^{\mathrm{\infty }}\frac{(-1{)}^n}{(2n+1)!}{z}^{2n+1}=\frac{e^{iz}-e^{-iz}}{2i}=\frac{\mathrm{sh}iz}{i};$

$\cos z=\sum _{n=0}^{\mathrm{\infty }}\frac{(-1{)}^n}{(2n)!}{z}^{2n}=\frac{e^{iz}+e^{-iz}}{2}=\mathrm{ch}iz;$

$\mathrm{tg}z=\frac{\sin z}{\cos z}=\frac{e^{iz}-e^{-iz}}{i(e^{iz}+e^{-iz})};$

$\mathrm{ctg}z=\frac{\cos z}{\sin z}=\frac{i(e^{iz}+e^{-iz})}{e^{iz}-e^{-iz}};$

$\sec z=\frac{1}{\cos z}=\frac{2}{e^{iz}+e^{-iz}};$

$\mathrm{cosec}z=\frac{1}{\sin z}=\frac{2i}{e^{iz}-e^{-iz}},$

дзе $i^2=-1.$

Адпаведна, для рэчаіснага Шаблон:Math,

$\cos x=\mathrm{Re}(e^{ix}),$

$\sin x=\mathrm{Im}(e^{ix}).$

Камплексныя сінус і косінус цесна звязаны з гіпербалічнымі функцыямі:

$\sin (x+iy)=\sin x\mathrm{ch}y+i\cos x\mathrm{sh}y,$

$\cos (x+iy)=\cos x\mathrm{ch}y-i\sin x\mathrm{sh}y.$

Большасць пералічаных вышэй уласцівасцей трыганаметрычных функцый захоўваюцца і ў камплексным выпадку. Некаторыя дадатковыя ўласцівасці:

• камплексныя сінус і косінус, у адрозненне ад рэчаісных, могуць прымаць неабмежавана вялікія па модулю значэнні;
• усе нулі камплексных сінуса і косінуса ляжаць на рэчаіснай восі.

Камплексныя графікі

На наступных графіках адлюстрована камплексная плоскасць, а значэнні функцый выдзелены колерам. Яркасць адпавядае абсалютнаму значэнню (чорны — нуль). Колер змяняецца ад аргумента і вугла згодна з картаю.

Трыганаметрычныя функцыі ў камплекснай плоскасці

$\sin z$	$\cos z$	$\mathrm{tg}z$	$\mathrm{ctg}z$	$\sec z$	$\mathrm{cosec}z$

Гісторыя назваў

Лінія сінуса ў індыйскіх матэматыкаў першапачаткова называлася «арха-джыва» («паўцеціва», г. зн. палавіна хорды), затым слова «арха» было адкінута і лінію сінуса сталі называць проста «джыва». Арабскія перакладчыкі не пераклалі слова «джыва» арабскім словам «ватар», якое абазначае цеціву і хорду, а проста запісалі арабскімі буквамі і сталі называть лінію сінуса «джыба». У арабскай мове кароткія галосныя не абазначаюцца, акрамя таго, доўгае «і» ў слове «джыба» абазначаецца гэтак жа, як і паўгалоснае «й». У выніку, арабы сталі вымаўляць назву лініі сінуса як «джайб», што літаральна значыць «упадзіна», «пазуха». Пры перакладзе арабскіх твораў на латынь еўрапейскія перакладчыкі пераклалі слова «джайб» лацінскім словам sinus, якое мае тое ж значэнне.

Сучасныя кароткія абазначэнні Шаблон:Math і Шаблон:Math уведзены Уільямам Оўтрэдам і замацаваны ў працах Эйлера.

Тэрміны «тангенс» (ад Шаблон:Lang-la — датычны) і «секанс» (Шаблон:Lang-la — сякучы) былі ўведзены дацкім матэматыкам Томасам Фінке (1561—1656) у яго кнізе «Геаметрыя круглага» (Geometria rotundi, 1583).

Сам тэрмін трыганаметрычныя функцыі ўведзен Клюгелем у 1770 годзе.

Гл. таксама

• Адваротныя трыганаметрычныя функцыі
• Гіпербалічныя функцыі
• Эліптычныя функцыі
• Інтэгральны сінус
• Інтэгральны косінус
• Рашэнне трохвугольнікаў
• Сінус-верзус
• Сферычная трыганаметрыя
• Функцыя Гудэрмана
• Чатырохзначныя матэматычныя табліцы (Табліцы Брадзіса)

Літаратура

• Шаблон:Кніга
• Шаблон:Кніга
• Maor, Eli, Trigonometric Delights, Princeton Univ. Press. (1998). Reprint edition (February 25, 2002): ISBN 0-691-09541-8.
• Шаблон:Крыніцы/БелЭн
• Шаблон:ВСЭ3

Спасылкі

• Шаблон:MathWorld
• Анлайн калькулятар: вылічэнне значэнняў трыганаметрычных функцый
• Інтэрактыўная карта значэнняў трыганаметрычных функцый Шаблон:Архівавана