Формула Эйлера

Геаметрычны сэнс формулы Эйлера

Формула Эйлера звязвае камплексную экспаненту з трыганаметрычнымі функцыямі. Названа ў гонар Леанарда Эйлера, які яе ўвёў.

Формула Эйлера сцвярджае, што для любога камплекснага ліку (рэчаіснага ў прыватнасці) $x$ выконваецца наступная роўнасць:

$e^{ix}=\cos x+i\sin x$,

дзе

$e$ — адна з найважнейшых матэматычных пастаянных, вызначаная наступнай формулай: $e=\underset{x\to \mathrm{\infty }}{\lim }{(1+\frac{1}{x})}^x$,

$i$ — уяўная адзінка.

Гісторыя

Формула Эйлера ўпершыню была прыведзена ў артыкуле англійскага матэматыка Роджэра Котса (памочніка Ньютана) «Лагаметрыя» (Шаблон:Lang-la), апублікаваным у часопісе «Філасофскія працы Каралеўскага таварыства» ў 1714 годзе і перадрукавана ў кнізе «Гармонія мер» (Шаблон:Lang-la), якая была выдадзена ў 1722 годзе, ужо пасля смерці аўтара. Котс прывёў яе як невялікае сцвярджэнне сярод мноства геаметрычных пабудоў, якое пасля перакладу на сучасную матэматычную мову і выпраўлення памылкі ў знаку, мае выгляд:

$\ln (\cos x+i\sin x)=ix.$

Эйлер апублікаваў формулу ў яе звыклым выглядзе ў артыкуле 1740 года і ў кнізе «Уводзіны ў аналіз бесканечна малых» (Шаблон:Lang-la) (1748), пабудаваўшы доказ на роўнасці бесканечных раскладанняў у ступенныя рады правай і левай частак. Ні Эйлер, ні Котс не ўяўлялі сабе геаметрычнага вытлумачэння формулы: уяўленне аб камплексных ліках як кропках на камплекснай плоскасці з’явілася прыкладна на 50 год пазней у К. Веселя.

Вытворныя формулы

З дапамогай формулы Эйлера можна вызначыць функцыі $\sin$ і $\cos$ наступным чынам:

$\sin x=\frac{e^{ix}-e^{-ix}}{2i},$

$\cos x=\frac{e^{ix}+e^{-ix}}{2}.$

Далей можна ўвесці паняцце трыганаметрычных функцый камплекснай зменнай. Няхай $x=iy$, тады:

$\sin iy=\frac{e^{-y}-e^y}{2i}=i\mathrm{s}\mathrm{h}y,$

$\cos iy=\frac{e^{-y}+e^y}{2}=\mathrm{c}\mathrm{h}y.$

Вядомая тоеснасць Эйлера, якая звязвае пяць фундаментальных матэматычных канстант:

$e^{i\pi }+1=0$

з’яўляецца асобным выпадкам формулы Эйлера пры $x=\pi$.

Прымяненне ў камплексным аналізе

Дзякуючы формуле Эйлера з’явіўся так званы трыганаметрычны і паказчыкавы запіс камплекснага ліку:

$x=a+ib=|x|(\cos \phi +i\sin \phi )=|x|e^{i\phi }.$

Таксама значным вынікам можна лічыць формулы ўзвядзення камплекснага ліку ў адвольную ступень:

$x=|x|e^{i\phi }$, $x^n=|x{|}^n{e}^{ni\phi }.$

Геаметрычны сэнс дадзенай формулы наступны: пры ўзвядзенні ліку $x$ ў ступень $n$ яго адлегласць да цэнтра ўзводзіцца ў ступень $n$, а вугал павароту адносна восі $OX$ павялічваецца ў $n$ разоў.

Формула ўзвядзення ў ступень верная не толькі для цэлых $n$, але і для рэчаісных. У прыватнасці, паказчыкавы запіс ліку дазваляе знаходзіць карані любой ступені з любога камплекснага ліку.

Узаемасувязь з трыганаметрыяй

Формула Эйлера выяўляе сувязь паміж матэматычным аналізам і трыганаметрыяй, а таксама дазваляе інтэрпрэтаваць функцыі сінуса і косінуса як узважаныя сумы экспаненцыяльнай функцыі:

$\cos x=\mathrm{R}\mathrm{e}\{e^{ix}\}=\frac{e^{ix}+e^{-ix}}{2}$

$\sin x=\mathrm{I}\mathrm{m}\{e^{ix}\}=\frac{e^{ix}-e^{-ix}}{2i}.$

Вышэйпрыведзеныя ўраўненні можна атрымаць складваючы ці аднімаючы формулы Эйлера:

$e^{ix}=\cos x+i\sin x$

$e^{-ix}=\cos (-x)+i\sin (-x)=\cos x-i\sin x$

з наступным рашэннем адносна сінуса ці косінуса.

Таксама гэтыя формулы могуць служыць вызначэннем трыганаметрычных функцый камплекснай зменнай. Напрыклад, робячы падстаноўку x = iy, атрымліваем:

$\cos (iy)=\frac{e^{-y}+e^y}{2}=\cosh (y),$

$\sin (iy)=\frac{e^{-y}-e^y}{2i}=-\frac{1}{i}\frac{e^y-e^{-y}}{2}=i\sinh (y).$

Камплексныя экспаненты дазваляюць спрасціць трыганаметрычныя разлікі, бо імі прасцей маніпуляваць, чым сінусоіднымі кампанентамі. Адзін з падыходаў прадугледжвае пераўтварэнне сінусоід ў адпаведныя экспаненцыяльныя выразы. Пасля спрашчэння вынік выразу застаецца рэчаісным. Напрыклад:

$\begin{array}{cc}\cos x\cdot \cos y& =\frac{(e^{ix}+e^{-ix})}{2}\cdot \frac{(e^{iy}+e^{-iy})}{2}\\ & =\frac{1}{2}\cdot \frac{e^{i(x+y)}+e^{i(x-y)}+e^{i(-x+y)}+e^{i(-x-y)}}{2}\\ & =\frac{1}{2}[\underset{\cos (x+y)}{\underbrace{\frac{e^{i(x+y)}+e^{-i(x+y)}}{2}}}+\underset{\cos (x-y)}{\underbrace{\frac{e^{i(x-y)}+e^{-i(x-y)}}{2}}}].\end{array}$

Сутнасць іншага падыходу ў прадстаўленні сінусоід ў якасці рэчаісных частак камплекснага выразу і правядзення маніпуляцый непасрэдна з камплексным выразам. Напрыклад:

$\begin{array}{cc}\cos (nx)& =\mathrm{R}\mathrm{e}\{e^{inx}\}=\mathrm{R}\mathrm{e}\{e^{i(n-1)x}\cdot e^{ix}\}\\ & =\mathrm{R}\mathrm{e}\{e^{i(n-1)x}\cdot (e^{ix}+e^{-ix}-e^{-ix})\}\\ & =\mathrm{R}\mathrm{e}\{e^{i(n-1)x}\cdot \underset{2\cos (x)}{\underbrace{(e^{ix}+e^{-ix})}}-e^{i(n-2)x}\}\\ & =\cos [(n-1)x]\cdot 2\cos (x)-\cos [(n-2)x].\end{array}$

Гэта формула выкарыстоўваецца для рэкурсіўнага вылічэння значэнняў cos(nx) для цэлых значэнняў n і адвольных значэнняў x (у радыянах).

Доказ

Доказ формулы Эйлера можна правесці з выкарыстаннем рада Маклорэна. Раскладзём функцыю $e^{ix}$ у рад Маклорэна ў наваколлі кропкі a = 0 па ступенях $x$. Атрымаем:

$e^{ix}=1+\frac{ix}{1!}+\frac{(ix{)}^2}{2!}+\frac{(ix{)}^3}{3!}+\dots =(1-\frac{x^2}{2!}+\frac{x^4}{4!}-\frac{x^6}{6!}+\dots )+i(\frac{x}{1!}-\frac{x^3}{3!}+\frac{x^5}{5!}-\frac{x^7}{7!}+\dots )$

Але

$1-\frac{x^2}{2!}+\frac{x^4}{4!}-\frac{x^6}{6!}+\dots =\cos x$

$\frac{x}{1!}-\frac{x^3}{3!}+\frac{x^5}{5!}-\frac{x^7}{7!}+\dots =\sin x$

Таму $e^{ix}=\cos x+i\sin x$, што і трэба было даказаць.

Паказчыкавая форма камплекснага ліку

Паказчыкавая і трыганаметрычная формы камплексных лікаў звязаныя паміж сабой формулай Эйлера.

Няхай камплексны лік $z$ у трыганаметрычнай форме мае выгляд $z=r(\cos \phi +i\sin \phi )$. Згодна з формулай Эйлера выраз у дужках можна замяніць на паказчыкавы выраз. У выніку атрымаем:

$z=r{e}^{i\phi }$

Гэты запіс называецца паказчыкавай формай камплекснага ліку. Гэтак жа, як і ў трыганаметрычнай форме, тут $r=|z|$ , $\phi =\arg z$.

Гл. таксама

• Формула Муаўра
• Спіс аб'ектаў, названых у гонар Леанарда Эйлера

Літаратура

• Гутов А. З. Аналог формулы Эйлера для обобщённых синуса и косинуса // Современные методы физико-математических наук. Труды международной конференции. Орёл, 2006. С. 35—37. Шаблон:Архівавана
• Шаблон:Кніга
• Шаблон:Кніга

Спасылкі

• Шаблон:SpringerEOM