Адзінкавая акружнасць

Параметрычнае заданне адзінкавай акружнасці.

Адзі́нкавая акру́жнасць — акружнасць з радыусам 1 і цэнтрам у пачатку каардынат.

Для каардынат Шаблон:Math усіх пунктаў на адзінкавай акружнасці, згодна з тэарэмай Піфагора, выконваецца роўнасць:

$x^2+y^2=1.$

Паняцце адзінкавай акружнасці абагульняецца да n-мернай прасторы ($n>2$), у такім выпадку кажуць аб «адзінкавай сферы».

Трыганаметрычныя функцыі

Геаметрычнае азначэнне трыганаметрычных функцый вугла α пры дапамозе адзінкавай акружнасці.

З дапамогай адзінкавай акружнасці могуць быць наглядна апісаны трыганаметрычныя функцыі.

Сінус і косінус могуць быць апісаны наступным чынам: калі злучыць любую кропку $(x,y)$ на адзінкавай акружнасці з пачаткам каардынат $(0,0)$, атрымліваецца адрэзак, які знаходзіцца пад вуглом $\alpha$ адносна дадатнай паўвосі абсцыс. Тады сапраўды:

$\cos \alpha =x,$

$\sin \alpha =y.$

Пры падстаноўцы гэтых значэнняў ва ўраўненне акружнасці $x^2+y^2=1$ атрымліваецца:

${\cos }^2\alpha +{\sin }^2\alpha =1.$

(Выкарыстоўваецца наступнае агульнапрынятае абазначэнне: ${\cos }^{2}x=(\cos x{)}^2$.)

Тут жа наглядна апісваецца перыядычнасць трыганаметрычных функцый, бо адпаведнае вуглу становішча адрэзка не залежыць ад колькасці «поўных абаротаў»:

$\sin (x+2\pi k)=\sin (x)$

$\cos (x+2\pi k)=\cos (x)$

для ўсіх цэлых лікаў $k$, г.зн. для $k\in \mathbb{Z}$.

Камплексная плоскасць

Геаметрычны сэнс формулы Эйлера.

На камплекснай плоскасці адзінкавая акружнасць — гэта наступнае мноства $G\subset ℂ$:

$G=\{z:|z|=1\}=\{e^{i\varphi }:0\le \varphi <2\pi \}.$

Мноства $G$ з'яўляецца падгрупай групы камплексных лікаў па множанню, яе нейтральны элемент — гэта $e^{i0}=1$.

Гл. таксама

• Адзінкавая сфера
• Адзінкавы круг
• Адзінкавы квадрат
• Адзінкавы куб